PropositionsProposition 1.To find t

Propositions

Proposition 1.
To find the center of a given circle.
Corollary. If in a circle a straight line cuts a straight line into two equal parts and at right angles, then the center of the circle lies on the cutting straight line.

Proposition 2.
If two points are taken at random on the circumference of a circle, then the straight line joining the points falls within the circle.
Proposition 3.
If a straight line passing through the center of a circle bisects a straight line not passing through the center, then it also cuts it at right angles; and if it cuts it at right angles, then it also bisects it.
Proposition 4.
If in a circle two straight lines which do not pass through the center cut one another, then they do not bisect one another.
Proposition 5.
If two circles cut one another, then they do not have the same center.
Proposition 6.
If two circles touch one another, then they do not have the same center.
Proposition 7.
If on the diameter of a circle a point is taken which is not the center of the circle, and from the point straight lines fall upon the circle, then that is greatest on which passes through the center, the remainder of the same diameter is least, and of the rest the nearer to the straight line through the center is always greater than the more remote; and only two equal straight lines fall from the point on the circle, one on each side of the least straight line.
Proposition 8.
If a point is taken outside a circle and from the point straight lines are drawn through to the circle, one of which is through the center and the others are drawn at random, then, of the straight lines which fall on the concave circumference, that through the center is greatest, while of the rest the nearer to that through the center is always greater than the more remote, but, of the straight lines falling on the convex circumference, that between the point and the diameter is least, while of the rest the nearer to the least is always less than the more remote; and only two equal straight lines fall on the circle from the point, one on each side of the least.
Proposition 9.
If a point is taken within a circle, and more than two equal straight lines fall from the point on the circle, then the point taken is the center of the circle.
Proposition 10.
A circle does not cut a circle at more than two points.
Proposition 11.
If two circles touch one another internally, and their centers are taken, then the straight line joining their centers, being produced, falls on the point of contact of the circles.
Proposition 12.
If two circles touch one another externally, then the straight line joining their centers passes through the point of contact.
Proposition 13.
A circle does not touch another circle at more than one point whether it touches it internally or externally..
Proposition 14.
Equal straight lines in a circle are equally distant from the center, and those which are equally distant from the center equal one another.
Proposition 15.
Of straight lines in a circle the diameter is greatest, and of the rest the nearer to the center is always greater than the more remote.
Proposition 16.
The straight line drawn at right angles to the diameter of a circle from its end will fall outside the circle, and into the space between the straight line and the circumference another straight line cannot be interposed, further the angle of the semicircle is greater, and the remaining angle less, than any acute rectilinear angle.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ข้อเสนอเรื่องที่ 1การค้นหาศูนย์กลางของวงกลมให้Corollary ถ้าในวงกลม เส้นตรงตัดเส้นตรงออก เป็นสองส่วนเท่ากัน และ ที่มุมขวา ศูนย์กลางของวงกลมอยู่บนเส้นตรงตัดเรื่องที่ 2ถ้าสองจุดถ่ายที่สุ่มบนเส้นรอบวง เส้นตรงที่เชื่อมจุดตกอยู่ภายในวงกลมเรื่องที่ 3ถ้าเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมตรงร้านเป็นเส้นตรงไม่ผ่านศูนย์ แล้วมันยังตัดได้ที่มุมขวา และถ้ามันลดมันอยู่ที่มุมขวา แล้วมันยังร้านมันเรื่องที่ 4ในกรณีมีวงกลมเส้นตรงสองเส้นที่ไม่ผ่านศูนย์การตัดอีกแบบหนึ่ง แล้วพวกเขาไม่ bisect อื่นเรื่องที่ 5ถ้าสองวงตัดกัน พวกเขาไม่มีศูนย์เดียวกันเรื่องที่ 6ถ้าสองวงสัมผัสกัน พวกเขาไม่มีศูนย์เดียวกันเรื่องที่ 7ถ้าบนเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม จุดจะนำมาซึ่งเป็นศูนย์กลางของวงกลม และจากจุดที่เส้นตรงกับวงกลม แล้วตกที่ ยิ่งใหญ่ที่สุดในศูนย์ ที่ผ่านส่วนที่เหลือของเส้นผ่าศูนย์กลางเดียวกันอย่างน้อย และส่วน ที่เหลือที่ใกล้เส้นผ่านศูนย์กลางมีค่าเสมอมากกว่ายิ่งระยะไกล และเส้นตรงเท่ากับสองเท่าที่ตกจากจุดบนวงกลม หนึ่งในแต่ละด้านของเส้นตรงอย่างน้อยเรื่องที่ 8ถ้าจุดที่อยู่นอกวงกลม และ จากจุด ตรงเส้นผ่านวงกลม ซึ่งจะผ่านศูนย์กลาง และอื่น ๆ มาสุ่ม แล้ว เส้นตรงที่อยู่บนเส้นรอบวงเว้า ที่ผ่านศูนย์กลางมากที่สุด ในขณะที่ของ เหลือที่ช้อปปิ้งที่ผ่านศูนย์กลางจะมากกว่าระยะไกลมากขึ้น แต่ เส้นตรงตกบนเส้นรอบวงนูน ระหว่างจุดเส้นผ่าศูนย์กลางน้อยที่สุด ในขณะที่เหลือการช้อปปิ้งให้น้อยที่สุดจะน้อยกว่าระยะไกลมากขึ้น และเส้นตรงเท่ากับสองเท่าที่ตกอยู่ในวงกลมจากจุด หนึ่งในแต่ละด้านอย่างน้อยเรื่องที่ 9ถ้าจุดอยู่ภายในวงกลม และเส้นตรงเท่ากันมากกว่าสองตกจากจุดบนวงกลม แล้วจุดที่ดำเนินเป็นศูนย์กลางของวงกลมเรื่องที่ 10วงกลมตัดวงกลมที่มากกว่าสองจุดเรื่องที่ 11ถ้าสองวงสัมผัสกันภายใน และศูนย์การถ่าย เส้นที่รวมศูนย์ของพวกเขา ผลิต ตกไปที่จุดติดต่อของวงกลมเรื่องที่ 12ถ้าสองวงสัมผัสกันภายนอก แล้วเส้นตรงที่รวมศูนย์ของพวกเขาผ่านผ่านจุดติดต่อเรื่องที่ 13วงกลมสัมผัสวงกลมอีกจุดหนึ่งว่าสัมผัสมันภายใน หรือภายนอก...เรื่องที่ 14เส้นตรงเท่าในวงกลมอยู่ไกลกันจากศูนย์ และที่อยู่ไกลกันจากศูนย์เท่ากันเรื่องที่ 15เส้นตรงเป็นวงกลม เส้นผ่าศูนย์กลางมากที่สุด และส่วนที่เหลือที่ช้อปปิ้งกลางเสมอมากกว่าระยะไกลมากขึ้นเรื่องที่ 16เส้นตรงที่ลากที่มุมขวาเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมจากปลายของมันจะอยู่นอกวงกลม และต้องลงในช่องว่างระหว่างเส้นตรงและเส้นรอบวง เส้นตรงอื่นไม่ interposed เพิ่มเติมมุมครึ่งวงกลมที่เป็นมากขึ้น และที่เหลือมุมน้อยกว่า มากกว่าทุกมุมเป็นเส้นตรงเฉียบพลัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ข้อเสนอข้อเสนอที่ 1. เพื่อหาจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กำหนด. ควันหลง หากในวงกลมเป็นเส้นตรงตัดเป็นเส้นตรงออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันและที่มุมขวาแล้วจุดศูนย์กลางของวงกลมที่อยู่บนเส้นตรงตัด. โจทย์ 2. หากทั้งสองจุดจะได้รับการสุ่มบนเส้นรอบวงของวงกลม แล้วเส้นตรงที่เชื่อมจุดอยู่ภายในวงกลม. โจทย์ 3. ถ้าเป็นเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมจะแบ่งครึ่งเป็นเส้นตรงไม่ผ่านศูนย์แล้วมันยังลดมันอยู่ที่มุมขวา; และถ้ามันตัดมันอยู่ที่มุมขวาแล้วมันยัง bisects มัน. โจทย์ 4. หากในวงกลมเส้นตรงสองเส้นซึ่งไม่ผ่านศูนย์ตัดอีกคนหนึ่งแล้วพวกเขาก็ไม่ได้แบ่งครึ่งอีกคนหนึ่ง. โจทย์ 5. ถ้าสองวงการ ตัดอีกคนหนึ่งแล้วพวกเขาก็ไม่ได้มีศูนย์เดียวกัน. โจทย์ 6. ถ้าสองวงการสัมผัสอีกคนหนึ่งแล้วพวกเขาก็ไม่ได้มีศูนย์เดียวกัน. โจทย์ 7. ถ้าในวันที่เส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมจุดที่จะนำมาซึ่งไม่ได้เป็น ศูนย์กลางของวงกลมและจากจุดเส้นตรงลดลงเมื่อวงกลมแล้วว่าเป็นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่ผ่านศูนย์ที่เหลือของเส้นผ่าศูนย์กลางเดียวกันเป็นอย่างน้อยและส่วนที่เหลือใกล้ไปยังเส้นตรงผ่านทางศูนย์คือ สูงกว่าเสมอระยะไกลมากขึ้น และมีเพียงสองเส้นตรงเท่ากับตกจากจุดบนวงกลมหนึ่งในแต่ละด้านของเส้นตรงอย่างน้อยได้. โจทย์ 8. หากจุดจะนำมานอกวงกลมและจากจุดเส้นตรงจะมีการวาดวงกลมผ่านไปอย่างใดอย่างหนึ่ง ซึ่งเป็นผ่านทางศูนย์และคนอื่น ๆ จะมีการวาดที่สุ่มแล้วของเส้นตรงซึ่งตกอยู่บนเส้นรอบวงเว้าว่าผ่านศูนย์เป็นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในขณะที่ส่วนที่เหลือใกล้กับที่ผ่านศูนย์กลางอยู่เสมอมากกว่ามากขึ้น ระยะไกล แต่ของเส้นตรงที่ตกลงมาบนเส้นรอบวงนูนว่าระหว่างจุดและเส้นผ่าศูนย์กลางเป็นอย่างน้อยในขณะที่ส่วนที่เหลือใกล้ไปยังน้อยอยู่เสมอน้อยกว่าระยะไกลมากขึ้น และมีเพียงสองเส้นตรงเท่ากับตกอยู่ในวงกลมจากจุดหนึ่งในแต่ละด้านของน้อย. โจทย์ 9. ถ้ามีจุดถ่ายภายในวงกลมและมากกว่าสองเส้นตรงเท่ากับตกจากจุดบนวงกลมแล้ว จุดที่นำมาเป็นศูนย์กลางของวงกลม. โจทย์ 10. วงกลมไม่ตัดเป็นวงกลมที่มากขึ้นกว่าสองจุด. โจทย์ 11. ถ้าสองวงการสัมผัสอีกคนหนึ่งภายในและศูนย์ของพวกเขาจะถูกนำแล้วเส้นตรงมาร่วมงานกับศูนย์ของพวกเขา การผลิตตรงกับจุดของการติดต่อของวงการ. โจทย์ 12. ถ้าสองวงการสัมผัสอีกคนหนึ่งจากภายนอกแล้วเส้นตรงมาร่วมงานกับศูนย์ของพวกเขาผ่านจุดของการติดต่อ. โจทย์ 13. วงกลมไม่ได้สัมผัสวงกลมอีก มากกว่าจุดหนึ่งไม่ว่าจะสัมผัสมันภายในหรือภายนอก .. โจทย์ 14. เส้นตรงที่เท่าเทียมกันในวงกลมไกลอย่างเท่าเทียมกันจากศูนย์และผู้ที่มีความเท่าเทียมกันที่ห่างไกลจากศูนย์เท่ากับคนอื่น. โจทย์ 15 ของเส้นตรงใน วงกลมเส้นผ่าศูนย์กลางเป็นที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและส่วนที่เหลือใกล้ไปยังศูนย์อยู่เสมอมากกว่าห่างไกลมากขึ้น. โจทย์ 16. เส้นตรงวาดที่มุมขวาเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมจากจุดสิ้นสุดของมันจะตกอยู่นอกวงกลมและใน ช่องว่างระหว่างเส้นตรงและเส้นรอบวงอีกเส้นตรงที่ไม่สามารถ interposed ต่อมุมของครึ่งวงกลมที่มีมากขึ้นและมุมที่เหลืออยู่น้อยกว่าเป็นเส้นตรงมุมใดเฉียบพลัน