In mathematics, a function[1] is a

In mathematics, a function[1] is a relation between a set of inputs and a set of permissible outputs with the property that each input is related to exactly one output. An example is the function that relates each real number x to its square x2. The output of a function f corresponding to an input x is denoted by f(x) (read "f of x"). In this example, if the input is −3, then the output is 9, and we may write f(−3) = 9. Likewise, if the input is 3, then the output is also 9, and we may write f(3) = 9. (The same output may be produced by more than one input, but each input gives only one output.) The input variable(s) are sometimes referred to as the argument(s) of the function.

Functions of various kinds are "the central objects of investigation"[2] in most fields of modern mathematics. There are many ways to describe or represent a function. Some functions may be defined by a formula or algorithm that tells how to compute the output for a given input. Others are given by a picture, called the graph of the function. In science, functions are sometimes defined by a table that gives the outputs for selected inputs. A function could be described implicitly, for example as the inverse to another function or as a solution of a differential equation.

The input and output of a function can be expressed as an ordered pair, ordered so that the first element is the input (or tuple of inputs, if the function takes more than one input), and the second is the output. In the example above, f(x) = x2, we have the ordered pair (−3, 9). If both input and output are real numbers, this ordered pair can be viewed as the Cartesian coordinates of a point on the graph of the function.

In modern mathematics,[3] a function is defined by its set of inputs, called the domain; a set containing the set of outputs, and possibly additional elements, as members, called its codomain; and the set of all input-output pairs, called its graph. Sometimes the codomain is called the function's "range", but more commonly the word "range" is used to mean, instead, specifically the set of outputs (this is also called the image of the function). For example, we could define a function using the rule f(x) = x2 by saying that the domain and codomain are the real numbers, and that the graph consists of all pairs of real numbers (x, x2). The image of this function is the set of non-negative real numbers. Collections of functions with the same domain and the same codomain are called function spaces, the properties of which are studied in such mathematical disciplines as real analysis, complex analysis, and functional analysis.

In analogy with arithmetic, it is possible to define addition, subtraction, multiplication, and division of functions, in those cases where the output is a number. Another important operation defined on functions is function composition, where the output from one function becomes the input to another function.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน [1] เป็นความสัมพันธ์ระหว่างชุดของปัจจัยการผลิตและชุดของผลอนุญาตคุณสมบัติว่า แต่ละอินพุตเกี่ยวข้องผลลัพธ์เดียว ตัวอย่างคือ ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง x แต่ละตัวเลขจริงของตาราง x 2 ผลลัพธ์ของ f เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับอินพุต x จะเขียนแทน ด้วย f(x) (อ่าน "f ของ x") ในตัวอย่างนี้ ถ้าอินพุตเป็น −3 ผลลัพธ์คือ 9 แล้ว เราอาจเขียน f(−3) = 9 ในทำนองเดียวกัน ถ้าอินพุต 3 แล้ว ผลลัพธ์เป็น 9 และเราอาจเขียน f(3) = 9 (ผลลัพธ์เดียวกันอาจจะผลิต โดยการป้อนข้อมูลมากกว่าหนึ่ง แต่ให้ป้อนข้อมูลแต่ละผลลัพธ์เดียวเท่านั้น) Variable(s) สัญญาณบางครั้งเรียกว่า argument(s) ของฟังก์ชันฟังก์ชันชนิดต่าง ๆ ถูก "กลางสอบสวน" [2] ในสุดเขตของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ มีหลายวิธีที่จะอธิบาย หรือแสดงฟังก์ชัน ฟังก์ชันบางอย่างอาจถูกกำหนด โดยสูตรหรืออัลกอริทึมที่บอกวิธีการคำนวณการแสดงผลสำหรับป้อนข้อมูลให้ อื่น ๆ ได้ โดยรูปภาพ กราฟของฟังก์ชันเรียกว่า วิทยาศาสตร์ ฟังก์ชันบางครั้งกำหนด โดยตารางที่ให้ผลเลือกอินพุต ฟังก์ชันอาจจะอธิบายนัย ผกผันฟังก์ชันอื่น หรือ เป็นการแก้ไขปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์การเช่นป้อนข้อมูลและผลลัพธ์ของฟังก์ชันที่แสดงเป็นคู่สั่ง สั่งซื้อเพื่อให้องค์ประกอบแรกคือ การป้อนข้อมูล (หรือ tuple ของอินพุต ถ้าฟังก์ชันการป้อนข้อมูลมากกว่าหนึ่ง) , และสองคือ การแสดงผลได้ ในตัวอย่างข้างต้น f(x) = x 2 เรามีสั่งคู่ (−3, 9) ถ้าทั้งอินพุต และแสดงผลเป็นตัวเลขจำนวนจริง นี้สั่ง คู่สามารถดูเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดบนกราฟของฟังก์ชันในคณิตศาสตร์สมัยใหม่, [3] ฟังก์ชันที่กำหนด โดยการตั้งค่าของปัจจัยการผลิต เรียกว่าโดเมน ชุดที่ประกอบด้วยการตั้งค่าของเอาต์พุต และอาจจะเพิ่มเติมองค์ประกอบ เป็นสมาชิก เรียกว่าเป็น codomain และชุดของอินพุตเอาท์พุตคู่ เรียกกราฟของ บางครั้ง codomain ที่เรียกว่าการทำงาน "ช่วง" แต่โดยทั่วไปใช้คำ "ช่วง" หมายความว่า แต่ โดยเฉพาะชุดของผล (นี้จะเรียกว่าภาพของการทำงาน) ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนดฟังก์ชันโดยใช้ f(x) กฎ = x 2 โดยบอกว่า โดเมนและ codomain จำนวนจริง และว่า กราฟประกอบด้วยคู่ของจำนวนจริง (x, x 2) ภาพของฟังก์ชันนี้เป็นชุดของตัวเลขจำนวนจริงไม่เป็นลบ คอลเลกชันของฟังก์ชันที่มีโดเมนเดียวและ codomain เดียวจะเรียกว่าฟังก์ชันพื้นที่ คุณสมบัติซึ่งจะศึกษาในสาขาวิชาคณิตศาสตร์นั้นเป็นจริงวิเคราะห์ วิเคราะห์ที่ซับซ้อน และทำงานในการเปรียบเทียบกับเลขคณิต จำเป็นต้องกำหนดเพิ่ม ลบ คูณ และส่วนของฟังก์ชัน ในกรณีส่วนใหญ่ที่แสดงผลเป็นตัวเลข การดำเนินงานสำคัญที่อื่นที่กำหนดไว้ในฟังก์ชันที่เป็นองค์ประกอบฟังก์ชัน ที่ออกจากงานอย่างหนึ่งกลายเป็น การป้อนฟังก์ชันอีก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในวิชาคณิตศาสตร์, ฟังก์ชั่น [1] เป็นความสัมพันธ์ระหว่างชุดของปัจจัยการผลิตและการตั้งค่าของผลที่ได้รับอนุญาตกับทรัพย์สินที่แต่ละการป้อนข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับการส่งออกว่าหนึ่งเป็น ตัวอย่างคือฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องแต่ละจำนวนจริง x เพื่อตาราง X2 ของมัน การส่งออกของฟังก์ชั่น F สอดคล้องกับค่า x จะแสดงโดย f (x) (อ่าน "F ของ X") ในตัวอย่างนี้ถ้าใส่เป็น -3 แล้วออกคือ 9 และเราอาจจะเขียน f (-3) = 9 ในทำนองเดียวกันถ้าใส่เป็น 3 แล้วออกยังเป็น 9 และเราอาจจะเขียน f ( 3) = 9 (เอาท์พุทเดียวกันอาจจะผลิตโดยมากกว่าหนึ่งอินพุต แต่แต่ละการป้อนข้อมูลให้เพียงหนึ่งเอาท์พุท.) ตัวแปรอินพุท (s) บางครั้งเรียกว่าเป็นอาร์กิวเมนต์ (s) ของฟังก์ชั่น. ฟังก์ชั่นต่างๆ ชนิดคือ "วัตถุกลางของการสืบสวน" [2] ในสาขาส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ มีหลายวิธีที่จะอธิบายหรือเป็นตัวแทนของฟังก์ชั่นที่มี ฟังก์ชั่นบางอย่างอาจถูกกำหนดโดยสูตรหรืออัลกอริทึมที่บอกวิธีการคำนวณการส่งออกสำหรับการป้อนข้อมูลที่กำหนด คนอื่น ๆ จะได้รับจากภาพที่เรียกว่ากราฟของฟังก์ชั่น ในสาขาวิทยาศาสตร์ฟังก์ชั่นบางครั้งกำหนดโดยตารางที่ให้ผลสำหรับปัจจัยการผลิตที่เลือก ฟังก์ชั่นสามารถอธิบายได้โดยปริยายเช่นเป็นผกผันฟังก์ชั่นอื่นหรือเป็นวิธีการแก้ปัญหาของสมการที่แตกต่างกันได้. เข้าและการส่งออกของฟังก์ชั่นสามารถแสดงเป็นคู่สั่งซื้อสั่งซื้อเพื่อให้องค์ประกอบแรกคือการใส่ (หรือ tuple ของปัจจัยการผลิตถ้าฟังก์ชั่นใช้เวลามากกว่าหนึ่งการป้อนข้อมูล) และสองคือการส่งออก ในตัวอย่างข้างต้น, f (x) = x2 เรามีคู่ลำดับ (-3, 9) หากทั้งสองเข้าและส่งออกเป็นจำนวนจริงทั้งคู่ได้รับคำสั่งนี้จะถูกมองว่าเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดบนกราฟของฟังก์ชั่นได้. ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ [3] ฟังก์ชั่นจะถูกกำหนดโดยชุดของปัจจัยการผลิตที่เรียกว่าโดเมน; ชุดที่มีชุดของผลผลิตและองค์ประกอบอาจเพิ่มเติมที่เป็นสมาชิกที่เรียกว่าโคโดเมนของตน และชุดของทุกคู่อินพุทที่เรียกว่ากราฟ บางครั้งโคโดเมนที่เรียกว่าฟังก์ชั่นของ "ช่วง" แต่มากกว่าปกติคำว่า "ช่วง" ถูกนำมาใช้ในความหมายแทนโดยเฉพาะชุดของเอาท์พุท (นี้จะเรียกว่าภาพของฟังก์ชั่น) ตัวอย่างเช่นเราสามารถกำหนดฟังก์ชั่นการใช้กฎ F (x) = x2 โดยบอกว่าโดเมนและโคโดเมนเป็นตัวเลขจริงและที่กราฟประกอบด้วยคู่ของจำนวนจริง (x, x2) ภาพของฟังก์ชั่นนี้เป็นชุดของตัวเลขจริงเชิงลบ คอลเลกชันของฟังก์ชั่นที่มีโดเมนเดียวกันและโคโดเมนเดียวกันจะเรียกว่าพื้นที่ทำงานคุณสมบัติของการที่มีการศึกษาในสาขาวิชาคณิตศาสตร์เช่นการวิเคราะห์จริงการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนและการวิเคราะห์การทำงาน. ในการเปรียบเทียบกับเลขคณิตก็เป็นไปได้ที่จะกำหนดนอกจากนี้การลบ คูณและการหารของฟังก์ชั่นในกรณีที่ส่งออกเป็นจำนวน การดำเนินงานที่สำคัญอีกประการหนึ่งที่กำหนดไว้ในฟังก์ชั่นเป็นองค์ประกอบของฟังก์ชั่นที่ส่งออกจากฟังก์ชั่นจะกลายเป็นการป้อนข้อมูลเพื่อฟังก์ชั่นอื่น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน [ 1 ] คือ ความสัมพันธ์ระหว่างชุดของปัจจัยการผลิตและการตั้งค่าของผลผลิตที่อนุญาต ด้วยคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับตรงแต่ละข้อมูลที่ส่งออก ตัวอย่างฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องแต่ละจำนวนจริง x ของตาราง X2 . ผลลัพธ์ของฟังก์ชัน f ที่สอดคล้องกับ input x เขียนโดย f ( x ) ( อ่าน " F X " ) ในตัวอย่างนี้ ถ้าใส่เป็น− 3 แล้วผลคือ 9 และเราอาจเขียน f ( − 1 ) = 9 อนึ่ง ถ้าใส่ 3 แล้วผลผลิตยัง 9 และเราอาจเขียน f ( 1 ) = 9 ( ออกเหมือนกัน อาจจะผลิตได้มากกว่าหนึ่งใส่ แต่แต่ละอินพุตให้เพียงหนึ่งออก ) ใส่ตัวแปร ( s ) บางครั้งจะเรียกว่าเป็นอาร์กิวเมนต์ ( s ) ของฟังก์ชันการทำงานของชนิดต่าง ๆ เป็นวัตถุกลางของการสืบสวน " [ 2 ] ในเขตข้อมูลส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ มีหลายวิธีที่จะอธิบาย หรือเป็นตัวแทนของฟังก์ชัน บางฟังก์ชั่นอาจถูกกำหนดโดยสูตรหรือวิธีที่บอกวิธีการคำนวณผลผลิตสำหรับการป้อนข้อมูล คนอื่นจะได้รับ โดยภาพ เรียกว่า กราฟของฟังก์ชัน ในวิทยาศาสตร์ การทำงานบางครั้งที่กำหนดไว้ตามตารางที่ให้ผลผลิตเพื่อเลือกข้อมูล ฟังก์ชันที่สามารถอธิบายได้โดยปริยาย ตัวอย่างเช่นเป็นผกผันฟังก์ชันอื่น หรือ เป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์ .อินพุตและเอาต์พุตของฟังก์ชันที่สามารถแสดงเป็นคู่สั่ง สั่งเพื่อให้องค์ประกอบแรกคือการป้อนข้อมูล ( หรือทูเปิลของกระผม ถ้าฟังก์ชันใช้เวลามากกว่าหนึ่งใส่ ) และส่วนที่สอง คือ ผลผลิต ในตัวอย่างข้างต้น , f ( x ) = x 2 , เรามีคู่อันดับ ( − 3 , 9 ) ถ้าทั้งอินพุตและเอาต์พุตเป็นจำนวนจริง ซึ่งคู่อันดับสามารถถูกมองว่าเป็นพิกัดของจุดบนกราฟของฟังก์ชันในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ , [ 3 ] เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดยชุดของปัจจัยการผลิต เรียกว่าโดเมน ; ชุดประกอบด้วยชุดของผลผลิต และอาจเพิ่มเติมองค์ประกอบ เป็นสมาชิก เรียกของโจโคโบะ และชุดของคู่ของปัจจัยการผลิตทั้งหมด เรียกว่ากราฟ บางครั้งโคโดเมนเรียกว่า " ฟังก์ชันช่วง " แต่โดยทั่วไปคำว่า " ช่วง " ถูกใช้เพื่อหมายถึง แทน โดยเฉพาะชุดของผล ( นี้จะเรียกว่าภาพฟังก์ชัน ) ตัวอย่างเช่นเราสามารถกำหนดฟังก์ชั่นที่ใช้กฎของ f ( x ) = x 2 โดยบอกว่าโดเมนและโจโคโบะเป็นจำนวนจริง และกราฟที่ประกอบด้วยคู่ของจำนวนจริง ( X ( , X2 ) ภาพนี้เป็นชุดของฟังก์ชันบนจำนวนจริงลบ ตัวเลข คอลเลกชันของฟังก์ชันที่มีโดเมนเดียวกันและโจโคโบะเดียวกันจะเรียกว่าฟังก์ชันเป็น คุณสมบัติที่ศึกษาในสาขาทางคณิตศาสตร์การวิเคราะห์จริงการวิเคราะห์เชิงซ้อนและการวิเคราะห์งานในการเปรียบเทียบกับเลขคณิต มันเป็นไปได้ที่จะนิยามการบวกการลบคูณและการหารของฟังก์ชัน ในกรณีที่ออกคือหมายเลข การกำหนดในหน้าที่สำคัญอีกคือการประกอบฟังก์ชัน ซึ่งผลผลิตจากหนึ่งกลายเป็นฟังก์ชันอินพุตฟังก์ชันอื่น