A subset S of a group G is called a

A subset S of a group G is called a generating set if every element of G can be represented by a word in S. If S is a generating set, a relation is a pair of words in S that represent the same element of G. These are usually written as equations, e.g. A set of relations defines G if every relation in G follows logically from those in , using the axioms for a group. A presentation for G is a pair , where S is a generating set for G and is a defining set of relations.

For example, the Klein four-group can be defined by the presentation


Here 1 denotes the empty word, which represents the identity element.

When S is not a generating set for G, the set of elements represented by words in S is a subgroup of G. This is known as the subgroup of G generated by S, and is usually denoted . It is the smallest subgroup of G that contains the elements of S.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ชุดย่อย S กลุ่ม G คือชุดสร้างถ้าทุกองค์ประกอบของสามารถแสดงตามคำใน s ได้ ถ้า S เป็นชุดสร้าง ความสัมพันธ์เป็นคู่คำในที่แสดงถึงองค์ประกอบเดียวของกรัม เหล่านี้มักจะเขียนเป็นสมการ เช่นชุดของความสัมพันธ์ที่กำหนด G ว่าทุกความสัมพันธ์ใน G ตามตรรกะจาก ใช้สัจพจน์กลุ่ม งานนำเสนอให้ G เป็นคู่ ที่เป็นชุดสร้างสำหรับ G และมีการกำหนดชุดของความสัมพันธ์ตัวอย่าง สามารถกำหนด Klein 4 กลุ่ม โดยการนำเสนอนี่ 1 แสดงคำว่าง ซึ่งแสดงถึงเอกลักษณ์เมื่อ S ชุดสร้างสำหรับ G ชุดขององค์ประกอบที่แสดง โดยคำ S เป็นกลุ่มย่อยของกรัม นี้เป็นที่รู้จักกันเป็นกลุ่มย่อยของ G ที่สร้างขึ้น โดย S และมักจะสามารถระบุ เป็นกลุ่มย่อยที่เล็กที่สุดของ G ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของ s ได้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เซตของกลุ่ม G ที่เรียกว่าการสร้างตั้งค่าถ้าองค์ประกอบของ G ทุกคนสามารถแสดงโดยคำในเอสถ้า S เป็นชุดที่ก่อให้เกิดความสัมพันธ์คือคู่ของคำใน S ที่เป็นตัวแทนของธาตุเดียวกันของกรัม เหล่านี้มักจะเขียนเป็นสมการเช่นชุดของความสัมพันธ์ที่กำหนด G ถ้าความสัมพันธ์ใน G ทุกเหตุผลดังต่อไปนี้จากผู้ที่อยู่ในการใช้หลักการของกลุ่ม นำเสนอสำหรับ G เป็นคู่ที่ S เป็นที่ก่อให้เกิดการตั้งค่าสำหรับ G และเป็นชุดที่กำหนดของความสัมพันธ์. ตัวอย่างเช่นไคลน์สี่กลุ่มสามารถกำหนดได้โดยนำเสนอที่นี่ 1 หมายถึงคำที่ว่างเปล่าซึ่งหมายถึงองค์ประกอบตัวตน . เมื่อ S ไม่ได้สร้างชุดสำหรับ G, ชุดขององค์ประกอบที่แสดงโดยคำใน S เป็นกลุ่มย่อยของจีนี้เป็นที่รู้จักกันเป็นกลุ่มย่อยของ G ที่สร้างขึ้นโดย S และมักแสดง มันเป็นกลุ่มย่อยที่เล็กที่สุดของ G ที่มีองค์ประกอบของเอส

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เป็นเซตย่อยของกลุ่ม G เรียกว่าชุดสร้าง ถ้าทุกองค์ประกอบของ G สามารถแทนได้ด้วยคำ s . ถ้าจะสร้างชุด ความสัมพันธ์ที่เป็นคู่ของคำที่เป็นตัวแทนของธาตุเดียวกันของ G . เหล่านี้มักจะเขียนเป็นสมการ เช่นชุดของความสัมพันธ์กำหนด G ถ้าทุก ความสัมพันธ์ในกรัมตามตรรกะจากผู้ใช้สัจพจน์สำหรับกลุ่มเสนอ G คือคู่ที่เป็นชุดสร้าง G และเป็นการกำหนดชุดของความสัมพันธ์ .

เช่น ไคลน์สี่กลุ่มสามารถกำหนดโดยนำเสนอ


ที่นี่ 1 หมายถึงว่างเปล่า คำซึ่งหมายถึงสมาชิกเอกลักษณ์

เมื่อไม่ใช่ชุดสร้าง สำหรับกรัม ชุดขององค์ประกอบที่แสดงโดยคำที่เป็นกลุ่มย่อยของกรัมนี้เรียกว่ากลุ่มย่อยของ G ที่สร้างขึ้นโดย S และมักจะเขียนแทน . มันเป็นน้อยที่สุด กลุ่ม G ที่มีองค์ประกอบของ s