2 Poisson regressionPoisson regress

2 Poisson regression
Poisson regression is generally used to model counts data. It assumes that the response variable has a Poisson distribution and the logarithm of its expected value
can be modeled by a linear combination of unknown parameters. Let yi be the response variable. We assume that yi follows a Poisson distribution with mean ki, defined as a function of covariates xi . Thus, the Poisson regression is given by the equation below:
PðyiÞ¼
ekikyi i yi! where the conditional mean is specified by ki ¼ Eðyi xi j Þ¼expðx0bÞ. The vector x0 i ¼ xi;1;xi;2;... ;xi;P contains the covariates and b0 ¼ b1;b2;... ;bP ðÞ is the vector of unknown parameters. The number P defines the dimension of the vector of the covariates incorporated in the model. Maximum likelihood techniques may be used to estimate the parameters of the Poisson regression. Given the assumption that the observations (yi xi j ) areindependent, the log-likelihood function is given by: lnL bðÞ¼X n i¼1 ½yix0bexpðx0 ibÞlnðyi!Þ The likelihood equations are: olnL ob ¼X n i¼1 ðyi kiÞxi ¼ 0 Therefore, the Hessian is: o2 lnL obob0 ¼X n i¼1 kixix0 i The Hessian of the model is negative for all x and b. The log-likelihood function is, then, concave. Hence, Newton–Raphson iterative algorithm will converge rapidly and provide unique parameters estimate. The estimator of the asymptotic covariance matrix is given by:
Varð^ bÞ¼ X n i¼1
^ kixix0 i ! 1
The hypothesis tests of the nullity of a single parameter or a set of parameters simultaneously can be carried using Wald test, Lagrange Multiplier test or Likelihood Ratio test. The Wald statistic is given by:
W ¼ ^ b0 X n i¼1
^ kixix0 i ! 1 ^ b
Under the null hypothesis, the Wald statistic follows a Chi-square with one degree of freedom. The Likelihood Ratio statistic is given by: LR ¼ 2X n i¼1 ln ^ Pi ^ PRestricted;i !
The Lagrange Multiplier statistic of Poisson model is given by: LM ¼ X n i¼1 xiðyi ^ kiÞ "# 0 X n i¼1 xix0 iðyi ^ kiÞ2 "# 1 X n i¼1 xiðyi ^ kiÞ "# where k0 i is computed using a restricted model. The LM statistic is to compare with a Chi-square with one degree of freedom. The interpretation of a Poisson model differs according to the goals of the study. A researcher can be interested in the expected counts or in the distribution of counts. When the analysis of the expected value is the aim of the study, several measures namely the partial effects, the factor change and/or the percentage change can be computed to assess the change of the expected value for a change in an independent variable (i.e. a covariate) keeping other variables constant. If the interest is in the distribution of counts or just the probability of a specific count, the probability of a count for a given level of the independent variables can be computed [17]. The partial effect of E(y x j Þ with respect to xk is given by: oEðyx j Þ oxk ¼bk expðx0bÞ¼Eðyx j Þbk It is clear that the partial effects in Poisson models depend on both the coefficient of xk, that is bk, and the value of the expected value of y given x. Therefore, partial effects of non linear models cannot be interpreted as a change of the expected value for a unit change in xk as in linear models. The factor change in E(y x j Þfor a change d in xkholding all other factors constantis given by: Eðyx ;xk þdj Þ E(y x;xk j Þ ¼ expðbkdÞ Therefore,theexpectedvalueofygivenxincreasesbythefactorexpðbkdÞfollowing a change d in xk keeping other variables constant. When d has the specific value one, the expected counts increases by the factor expðbkdÞfollowing a unit change in xk. The percentage change in the expected value of y given x following a d change in xk, holding other variables constant [17] is given by:
100
Eðyx ;xk þdj ÞEðyx ;xkj Þ E(y x,xk j Þ ¼ 100ðexpðbkdÞ1Þ Another way to interpret count model is to compute with the predicted probability:
^ Pr y ¼ mx j ð Þ¼ expð^ kÞ^ km m!
where ^ k¼ expðx0bÞ:
The mean predicted probability for each count m is:
 Pr y ¼ m ð Þ¼ 1 NX N i¼1
expð^ kiÞ^ km i m!
This measure is to compare with the observed proportions of the sample at each count. Large differences between the mean probabilities and the observed proportions suggest that the model is inappropriate. However, small differences do not imply that the model is appropriate because an incorrect model can provide predictions close to observed proportions [17].

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2 Poisson ถดถอย
ปัวซองถดถอยโดยทั่วไปจะใช้รูปแบบข้อมูลนับ ก็ถือว่าตัวแปรตอบสนองมีการกระจาย Poisson และลอการิทึมของค่าที่คาดหวังของตน
สามารถจำลองโดยการรวมกันเชิงเส้นของพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก ให้ Yi เป็นตัวแปรการตอบสนอง เราคิดยี่ที่เป็นไปตามการกระจาย Poisson ที่มีค่าเฉลี่ย Ki, เดนิยามเป็นหน้าที่ของตัวแปรสิบเอ็ด ดังนั้นการถดถอยปัวซองจะได้รับจากสมการดังต่อไปนี้:
PðyiÞ¼
? E kikyi ฉัน Yi! ที่มีค่าเฉลี่ยอยู่ในเงื่อนไข speci Fi ed โดย ki ¼Eðyi Xi J Þ¼expðx0bÞ X 0 เวกเตอร์ฉัน¼ Xi; 1; Xi; 2; ... ; Xi; P มีตัวแปรและ B0 ¼ B1; B2; ... ; bP DTH เป็นเวกเตอร์ของพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก จำนวน P เด Fi NES มิติของเวกเตอร์ของตัวแปรที่จัดตั้งขึ้นในรูปแบบ เทคนิคโอกาสสูงสุดอาจถูกใช้เพื่อประมาณค่าพารามิเตอร์ของการถดถอยปัวส์ซอง ได้รับการสันนิษฐานว่าข้อสังเกต (Yi Xi ญ) areindependent ฟังก์ชั่นการเข้าสู่ระบบจะได้รับโอกาสโดย:?! LNL bðÞ¼X n i¼1½yix0bexpðx0ibÞlnðyi Th? สมการความน่าจะเป็น: olnL OB ¼X n i¼1 DYI kiÞxi¼ 0 ดังนั้นรัฐคือ? O2 LNL obob0 ¼ X n i¼1 kixix0 ฉันรัฐของรูปแบบที่เป็นลบสำหรับ X และ B ฟังก์ชั่นการเข้าสู่ระบบความน่าจะเป็นแล้วเว้า ดังนั้น Newton-Raphson ขั้นตอนวิธีการทำซ้ำจะมาบรรจบกันอย่างรวดเร็วและให้พารามิเตอร์ประมาณการที่ไม่ซ้ำกัน ประมาณการของเมทริกซ์ความแปรปรวน asymptotic จะได้รับโดย:
วาร์ด ^ bÞ¼ X n i¼1
^ kixix0 ฉัน! 1
การทดสอบสมมติฐานของการเป็นโมฆะของพารามิเตอร์เดียวหรือชุดของพารามิเตอร์พร้อมกันสามารถดำเนินการใช้การทดสอบ Wald ที่ Lagrange คูณทดสอบหรืออัตราส่วนการทดสอบ สถิติ Wald จะได้รับโดย:
W ¼ ^ B0 X n i¼1
^ kixix0 ฉัน! ? 1 ^ B
ภายใต้สมมติฐานที่สถิติ Wald ดังนี้ Chi-square กับหนึ่งระดับของเสรีภาพ สถิติความน่าจะเป็นอัตราส่วนที่กำหนดโดย: LR ¼ 2X n i¼1 LN ^ Pi ^ PRestricted ฉัน!
สถิติ Lagrange คูณของรูปแบบ Poisson จะได้รับโดย: LM ¼ X n i¼1xiðyi ^ Kith "# 0 X n i¼1 xix0 iðyi? ^ kiÞ2 "#? 1 X n i¼1xiðyi? ^ kith" # ที่ K0 ฉันจะคำนวณโดยใช้แบบจำลองที่ถูก จำกัด . สถิติ LM คือการเปรียบเทียบกับ Chi-square กับหนึ่งระดับของเสรีภาพ. ในความหมายของรูปแบบ Poisson แตกต่างกันตาม เป้าหมายของการศึกษา. นักวิจัยสามารถมีความสนใจในการนับจำนวนที่คาดหวังหรือในการกระจายของการนับ. เมื่อวิเคราะห์ค่าคาดว่าเป็นจุดมุ่งหมายของการศึกษาหลายมาตรการคือผลกระทบบางส่วนการเปลี่ยนแปลงปัจจัยและ / หรือ อัตราการเปลี่ยนแปลงสามารถคำนวณเพื่อประเมินการเปลี่ยนแปลงของมูลค่าที่คาดว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรอิสระ (เช่นตัวแปรร่วม) การรักษาตัวแปรอื่น ๆ อย่างต่อเนื่อง. ถ้าหากคุณสนใจที่อยู่ในการจัดจำหน่ายของการนับหรือเพียงแค่ความน่าจะเป็นของ speci Fi C นับที่ ความน่าจะเป็นของการนับเป็นระดับที่กำหนดของตัวแปรอิสระสามารถคำนวณได้ [17] ผลกระทบบางส่วนของ E (yxj Þด้วยความเคารพ XK จะได้รับโดย: oEðyxที่ j oxk ¼bkexpðx0bÞ¼Eðyx J Þbkเป็นที่ชัดเจนว่าผลกระทบบางส่วนในรูปแบบ Poisson ขึ้นอยู่กับทั้งประสิทธิภาพ COEF Fi ของ XK ที่เป็น BK และความคุ้มค่าของ มูลค่าที่คาดหวังของ x ได้รับ Y. ดังนั้นผลกระทบบางส่วนของรูปแบบไม่ใช่เชิงเส้นไม่สามารถตีความได้ว่าการเปลี่ยนแปลงของมูลค่าที่คาดว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงหน่วย XK เป็นในรูปแบบเชิงเส้น. การเปลี่ยนแปลงปัจจัยในการอี (yxj thfor งการเปลี่ยนแปลงใน xkholding ปัจจัยอื่น ๆ ทั้งหมด constantis โดย: Eðyx; XK þdjÞ E (YX; XK ที่ j ¼expðbkdÞดังนั้นtheexpectedvalueofygivenxincreasesbythefactorexpðbkdÞfollowingการเปลี่ยนแปลงที่ดีใน XK รักษาตัวแปรอื่น ๆ คงที่เมื่องมี speci Fi C คุ้มค่าหนึ่งที่คาดว่าจะนับเพิ่มขึ้นโดยปัจจัยexpðbkdÞfollowing. การเปลี่ยนแปลงหน่วย XK เปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลงในมูลค่าที่คาดหวังของ Y รับ x เปลี่ยนแปลงโฆษณาต่อไปนี้ใน XK ถือตัวแปรอื่น ๆ คงที่ [17] จะได้รับโดย:.
100
? Eðyx; XK þdjÞEðyx; xkj Þ E (YX, XK ? ที่ j ¼100ðexpðbkdÞ 1th วิธีการตีความรูปแบบนับหนึ่งคือการคำนวณที่มีความน่าจะเป็นที่คาดการณ์ไว้:
? ^ Pr Y ¼ MX J ÐÞ¼expð ^ KTH ^ กม. m!
ที่ ^ k¼expðx0bÞ:
ค่าเฉลี่ยที่คาดการณ์ความน่าจะเป็นของแต่ละนับ m คือ :
? Pr Y ¼เมตรÐÞ¼ 1 NX N i¼1
expð? ^ ^ Kith กม IM!
มาตรการนี้คือการเปรียบเทียบกับสัดส่วนสังเกตของกลุ่มตัวอย่างในแต่ละนับ แตกต่างกันมากระหว่างความน่าจะเป็นค่าเฉลี่ยและสัดส่วนสังเกตให้เห็นว่ารูปแบบที่ไม่เหมาะสม แต่แตกต่างเล็ก ๆ ไม่ได้หมายความว่ารูปแบบที่มีความเหมาะสมเพราะเป็นรูปแบบที่ไม่ถูกต้องสามารถให้การคาดการณ์ที่ใกล้เคียงกับสัดส่วนสังเกต [17]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 การถดถอยปัวส์ซองพารามิเตอร์การถดถอยโดยทั่วไปจะใช้แบบจำลองข้อมูลนับ สมมุติว่าการตอบสนองตัวแปรที่มีการแจกแจงปัวส์ซองและลอการิทึมของมูลค่าที่คาดการณ์ไว้สามารถจำลองโดยการรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรที่ไม่รู้จัก ปล่อยยีการตอบสนองตัวแปร เราคิดว่าอีตามการแจกแจงปัวส์ซอง กับหมายถึงกิ เดอ จึงเป็นหน้าที่ของเน็ดความรู้ Xi ดังนั้น การถดถอยปัวชงให้โดยสมการข้างล่างนี้ :ðอีÞ¼ pekikyi ผมอี ซึ่งหมายถึงเงื่อนไขเป็น speci จึงเอ็ดโดยคิ¼ E ðยี ซี เจÞ¼ EXP ð x0b Þ . การ x0 เวกเตอร์ผม¼ Xi Xi ; ; 1 ; 2 ; . . . . . . . ; 11 ; P มีความรู้¼ B1 และ B2 B0 ; ; . . . . . . . ; BP ðÞคือเวกเตอร์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก หมายเลข P de จึงไม่ขนาดของเวกเตอร์ของความรู้รวมอยู่ในรูปแบบ วิธีความควรจะเป็นสูงสุดอาจจะใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของปัวซงสมการถดถอย ให้สันนิษฐานว่า การสังเกต ( อี ซีเค ) areindependent , เข้าสู่ระบบโอกาสการทำงานให้โดย : lnl B ðÞ¼ x ผม¼ 1 ½ yix0bexp ð x0 IB Þในðอี Þโอกาสสมการ : olnl OB ¼ x ผม¼ 1 ðยีกีÞ Xi ¼ 0 ดังนั้น กระสอบ : O2 lnl obob0 ¼ x ผม¼ 1 kixix0 ผมกระสอบของแบบจำลองเชิงลบทั้งหมด x และ บันทึกโอกาสทำงานเป็น แล้ว เว้า ดังนั้น วิธีของนิวตัน และซ้ำจะมาบรรจบกันอย่างรวดเร็ว และให้เฉพาะค่าประมาณ ประมาณการของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเฉลี่ยจะได้รับโดยvar ð ^ b Þ¼ x ผม¼ 1^ kixix0 ฉัน ! 1สมมติฐานการทดสอบความเป็นโมฆะของพารามิเตอร์เดียวหรือชุดของพารามิเตอร์พร้อมกันสามารถดำเนินการใช้ตัวคูณลากรองจ์ Wald ทดสอบ , การทดสอบหรือการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็น แตกต่างกันหรือไม่สถิติให้โดย :W ¼ ^ B0 X ผม¼ 1^ kixix0 ฉัน ! 1 ^ bภายใต้สมมติฐานโมฆะ , Wald สถิติไคสแควร์กับแบบหนึ่งองศาของอิสรภาพ โอกาสอัตราส่วนสถิติให้โดย : LR ¼ 2x ผม¼ 1 ใน ^ pi ^ prestricted ; ฉัน !ที่ลากรองจ์คูณสถิติรูปแบบปัวซอให้โดย : อิม¼ x ผม¼ 1 ซีðยี ^ กีÞ " # 0 x ผม¼ 1 xix0 ผมðยี ^ กีÞ 2 " # 1 x N ฉัน¼ 1 ซีðยี ^ กีÞ " # อยู่ไหน ผมจะคำนวณโดยใช้โมเดลจำกัด k0 . การสอนสถิติเพื่อเปรียบเทียบกับไคสแควร์กับหนึ่งองศาของอิสรภาพ การตีความของปัวซงรูปแบบแตกต่างตามเป้าหมายของการศึกษา นักวิจัยได้สนใจคาดว่านับหรือการกระจายของนับ เมื่อวิเคราะห์มูลค่าที่คาดการณ์ไว้คือเป้าหมายของการศึกษาหลายมาตรการ ได้แก่ ผลย่อย ปัจจัยการเปลี่ยนแปลงและ / หรือเปลี่ยนค่าสามารถคำนวณเพื่อประเมินการเปลี่ยนแปลงของมูลค่าที่คาดการณ์ไว้สำหรับเปลี่ยนในตัวแปรอิสระ ( ตัวแปรตัวแปรอื่น ๆเช่น ) ให้คงที่ ถ้าดอกเบี้ยในการกระจายของค่าหรือแค่ความน่าจะเป็นของประเภท C จึงนับ น่าจะเป็นของ นับ ให้ระดับของตัวแปรอิสระสามารถคำนวณ [ 17 ] ผลบางส่วนของ E ( Y x J Þเกี่ยวกับ XK ให้โดย : OE ð yx J Þ oxk ¼ BK EXP ð x0b Þ¼ E ð yx J Þ BK เป็นที่ชัดเจนว่าผลบางส่วนในรูปแบบปัวซอขึ้นอยู่กับทั้ง coef จึง cient ของ XK ที่บีเค และมูลค่าของ ค่าคาดหมายของ Y ให้เอ็กซ์ ดังนั้นผลบางส่วนของโมเดลเชิงเส้นไม่ไม่สามารถตีความเป็นการเปลี่ยนแปลงของมูลค่าที่คาดการณ์ไว้สำหรับหน่วยการเปลี่ยนแปลงใน XK ในแบบจำลองเชิงเส้น ปัจจัยการเปลี่ยนแปลงใน E ( Y x J Þสำหรับการเปลี่ยนแปลงใน xkholding ทุกปัจจัยอื่น ๆ constantis ให้โดย : e ð yx ; XK þดีเจÞ E ( Y x ; J Þ XK ¼ EXP ð bkd Þดังนั้น theexpectedvalueofygivenxincreasesbythefactorexp ð bkd Þต่อไปนี้การเปลี่ยนแปลงใน XK รักษาตัวแปรอื่นคงที่ เมื่อ D มีกาจึง C ค่าหนึ่ง คาดว่านับเพิ่มขึ้นปัจจัย EXP ð bkd Þตามหน่วยการเปลี่ยนแปลงใน XK . ร้อยละของการเปลี่ยนแปลงในค่าคาดหวังของ Y ให้ x ต่อไปนี้ D เปลี่ยนใน XK ถือตัวแปรอื่นคงที่ [ 17 ] จะได้รับโดย100E ð yx ; XK þดีเจÞ E ð yx ; xkj Þ E ( Y x , J Þ XK ¼ 100 ð EXP ð bkd Þ 1 Þอีกวิธีในการตีความรูปแบบการนับคำนวณกับคาดการณ์ความน่าจะเป็น :^ PR Y ¼ MX J ðÞ¼ EXP ð ^ K Þ ^ km M !ที่ ^ K ¼ EXP ð x0b Þ :หมายถึงคาดการณ์ความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละนับเป็น :ประชาสัมพันธ์¼ M Y ðÞ¼ 1 NX ผม¼ 1EXP ð ^ กีÞ ^ km ผม !วัดนี้คือการเปรียบเทียบจากสัดส่วนของกลุ่มตัวอย่างในแต่ละนับ ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็นและสังเกต พบว่า สัดส่วนนางแบบ ไม่เหมาะสม อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างเล็ก ๆ ไม่บ่งบอกว่ารูปแบบมีความเหมาะสม เพราะเป็นรุ่นที่ไม่ถูกต้องสามารถให้คำทำนายใกล้สังเกตสัดส่วน [ 17 ]