Example 1.14 Find a series solution

Example 1.14

Find a series solution for the following second order ODE:
u − xu − u = 0. (1.92)

Substituting the series assumption for u(x), u (x) and u (x) gives
2a + 6a x + 12a x2 + 20a x3 + 30a x4 + 42a x5 + · · ·
2 3 4 5 6 7
−a x − 2a x2 − 3a x3 − 4a x4 − 5a x5 − · · ·
1 2 3 4 5
−a − a x − a x2 − a x3 − a x4 − a x5 − · · · = 0, (1.93)
0 1 2 3 4 5

that can be rewritten by
(−a + 2a ) + (−2a + 6a )x + (−3a + 12a )x2 + (−4a + 20a )x3
0 2 1 3 2 4 3 5
+(30a − 5a )x4 + (42a − 6a )x5 + · · · = 0. (1.94)
6 4 7 5
This equation is satisfied only if the coefficient of each power of x is zero.
This gives the recurrence relation
−a0 + 2a2 = 0, −2a1 + 6a3 = 0, −3a2 + 12a4 = 0,
(1.95)
−4a3 + 20a5 = 0, −5a4 + 30a6 = 0, −6a5 + 42a7 = 0, · · ·
where by solving this recurrence relation we find
1 1 1 1
a2 = a0 , a3 = a1, a4 = − a2 = a0 ,
2 3 4 8 (1.96)
1 1 1 1 1 1
a5 = a3 = a1, a6 = a4 = a0 , a7 = a5 = a1, · · ·
5 15 6 48 7 105
The solution in a series form is given by
u(x) = a0 1 − 1x2 + 1x4 + 1 x6 + · · ·

2 8 48
1x3 1 x5 1 x7
+a1 x + + + + · · · , (1.97)
3 15 105

where a0 and a1 are constants, where a0 = u(0) and a1 = u (0). It is clear that
a closed form solution is not obtainable. If a particular solution is required,
then initial conditions u(0) and u (0) should be specified to determine the

coefficients a0 and a1.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1.14 ตัวอย่าง

หาทางออกชุดสำหรับบทกวีลำดับต่อไปนี้ที่สอง:
U - xu - u = 0 (1.92)

แทนสมมติฐานชุดสำหรับ U (x), U (x) และ U (x) จะช่วยให้
2a 6a x 12a 20a x2 x3 x4 30A 42A x5 ···
2 3 4 5 6 7
ขวาน - 2a x2 - x3 3a - 4a x4 - 5a x5 - ···
1 2 3 4 5
- ขวาน - x2 - x3 - x4 - x5 - ··· = 0 (1.93)
0 1 2 3 4 5

ที่สามารถนำมาเขียนใหม่โดย
(-2a) (-2a 6a) x (-3a 12a) x2 (4a-20a) x3
0 2 1 3 2 4 3 5
(30A - 5A) x4 (42a - 6a) x5 ··· = 0 (1.94)
6 4 7 5
สมการนี​​้มีความพึงพอใจเฉพาะในกรณีที่ค่าสัมประสิทธิ์ของการใช้พลังงานของแต่ละ x มีค่าเป็นศูนย์
นี้จะช่วยให้ความสัมพันธ์กลับมาอีก
-2A2 a0 = 0-2A1 6a3 = 0-3A2 12a4 = 0
(1.95)
-4A3 20a5 = 0-5A4 30a6 = 042a7-6A5 = 0 ···
โดยการแก้ที่ความสัมพันธ์เกิดขึ้นนี้เราพบ
1 1 1 1
a2 = a0, a1 = a3, a4 = - a2 = a0
2 3 4 8 (1.96)
1 1 1 1 1 1
a5 = a1 = A3, A6 = A4 = a0, a7 = a5 = a1, ···
5 15 6 48 7 105
การแก้ปัญหาในรูปแบบซีรีส์จะได้รับโดย
U (x) = a0 1 - 1x2 1x4 1 x6 ···

2 8 48
1x3 1 x5 1 x7
a1 x ···, (1.97)
3 15 105

ที่ a0 และ a1 เป็นค่าคงที่ a0 u = (0) และ a1 = U (0) เป็นที่ชัดเจนว่ารูปแบบการแก้ปัญหา
ปิดไม่ได้ ถ้าแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นสิ่งจำเป็น
แล้วเงื่อนไขเริ่มต้น U (0) และ U (0) ควรมีการระบุในการกำหนด
สัมประสิทธิ์ a0 และ a1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตัวอย่าง 1.14

หาโซลูชันชุดสำหรับการต่อไปนี้ที่สองสั่ง ODE:
xu u −− u = 0 (1.92)

แทนสมมติฐานชุด สำหรับ you(x), u (x) (x) ให้
2a 6a x 12a x 2 20a x 30a 3 x 42a 4 x 5 ···
2 3 4 5 6 7
2A x − −a x 3a − 2 x 3 − 4a x 4 ของ 5a − x − 5 ···
1 2 3 4 5
−a −การ x − x เป็น− 2 x เป็น 3 − x เป็น− 4 x เป็น 5 −··· = 0, (1.93)
0 1 2 3 4 5

ที่สามารถจิตโดย
(−a 2a) (−2a 6a) x (−3a 12a) x 2 (−4a 20a) x 3
0 2 1 3 2 4 3 5
(30a −ของ 5a) x 4 (42a − 6a) x 5 ··· = 0 (1.94)
6 4 7 5
สมการนี้เป็น satisfied เมื่อ coefficient ของแต่ละอำนาจของ x เป็นศูนย์
ซึ่งทำให้ความสัมพันธ์เกิดขึ้น
−a0 2a2 = 0, −2a1 6a3 = 0, −3a2 12a4 = 0,
(1.95)
−4a3 20a5 = 0, −5a4 30a6 = 0 −6a5 42a7 = 0, ···
ที่ โดยแก้ความสัมพันธ์นี้เกิดขึ้นเรา find
1 1 1 1
a2 = a0, a3 = a1, a4 =− a2 = a0,
2 3 4 8 (1.96)
1 1 1 1 1 1
a5 = a3 = a1, a6 = a4 = a0, a7 = a5 = a1, ···
5 15 6 48 7 105
โซลูชันในชุดรูปแบบถูกกำหนดโดย
u(x) = a0 1 − 1 x 2 1 1 x 4 x 6 ···

2 8 48
1 1 x 3 x 1 5 x 7
a1 x ··· , (1.97)
3 15 105

a1 และ a0 คือ ค่าคงที่ ที่ a0 = u(0) และ a1 = u (0) ก็ล้างที่
ปิดฟอร์มไม่สิทธิได้รับการ ถ้าโซลูชันเฉพาะจำเป็น,
u(0) เงื่อนไขเริ่มต้นและคุณ (0) ควร เป็น specified เพื่อกำหนด

coefficients a0 และ a1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวอย่างเช่น 1.14

ค้นหาโซลูชัน Series สำหรับโคลงสั่งซื้อที่สองต่อไปนี้:
u - Xu - U = 0 . ( 1.92 )

แทนซึ่งเป็นชุดสมมุติฐานสำหรับ U ( X ), U ( X )และ U ( x )ช่วยให้
26 x 12 x 220 x 330 x 442 X 5 ???
234567
- x - 2 x 2 - 3 x 3 - 4 x 4 - 5 x 5 - ???
12345
- - x - x 2 - X 3 - x 4 - x 5 - ???= 0 ,( 1.93 )
012345

ที่สามารถเขียนซ้ำด้วย
( - 2 )( - 2 A 6 a ) x ( - 3 A 12 A ) x 2 ( - 4 A 20 A ) x 3
02132435
( 30 - 5 ) x 4 ( 42 - 6 ) x 5 ???= 0 . ( 1.94 )
6475
สมการนี้คือ satisfied เท่านั้นหาก coefficient ของพลังงานแต่ละของ X เป็นศูนย์.
นี้จะช่วยให้การเกิดซ้ำความสัมพันธ์
- 02 A 2 = 0 - 2 ที่ 163 = 0 - 3 A 212 ที่ 4 = 0
( 1.95 )
- 4 a 3205 = 0 - 5 ที่ 430 A 6 = 0- 6 A 542 A 7 = 0 ,???
ซึ่งการแก้ไขนี้การเกิดซ้ำความสัมพันธ์เรา find
1111
ที่ 2 = 0 ,ที่ 3 = A 1 , A 4 = - 2 = 0 ,
2348 ( 1.96 )
111111
ที่ 5 = 3 = A 1 , A 6 = A 4 = a 0 , A 7 = A 5 = A 1 ,???
5156487105
ที่โซลูชันในรูปแบบจะให้บริการใน
U ( X )= 01 - 1 x 21 x 4 x 16 ???

2848
1 x 31 x 5 x 17
ที่ 1 x ???( 1.97 )

105315
ที่ 0 และที่ 1 เป็นสิ่งที่ 0 = U ( 0 )และ 1 = U ( 0 ) เป็นที่ชัดเจนว่า
โซลูชันแบบปิดที่มีหาได้ไม่ หากโซลูชันเฉพาะที่มีความจำเป็น
แล้วเบื้องต้นเงื่อนไข U ( 0 )และ U ( 0 )จะต้องทำการตรวจสอบ

specified coefficients ที่ 0 และที่ 1