Definition 1. An algebra (X; ∗, 1)

Definition 1. An algebra (X; ∗, 1) of type (2, 0) is called a BE-algebra if
(BE1) x ∗ x = 1 for all x ∈ X;
(BE2) x ∗ 1 = 1 for all x ∈ X;
(BE3) 1 ∗ x = x for all x ∈ X;
(BE4) x ∗ (y ∗ z) = y ∗ (x ∗ z) for all x, y, z ∈ X (exchange)
We introduce a relation “≤” on X by x ≤ y if and only if x ∗ y = 1.
Proposition 2. If (X; ∗, 1) is a BE-algebra, then x ∗ (y ∗ x)=1 for any x, y ∈ X.
Proof. Given x, y ∈ X, we have 1 = y ∗ 1 = y ∗ (x ∗ x) = x ∗ (y ∗ x), proving the
proposition.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ข้อกำหนด 1 การพีชคณิต (X หมาย∗ 1) ชนิด (2, 0) เรียกว่าจะพีชคณิตถ้าหมาย∗ x (BE1) x สำหรับทุก x ∈ Xหมาย∗ (BE2) x 1 = 1 สำหรับทุก x ∈ X(BE3) หมาย∗ 1 x = x สำหรับทุก x ∈ Xหมาย∗ x (BE4) (y หมาย∗ z) = y หมาย∗ (x z หมาย∗) สำหรับทุก x, y, z ∈ X (อัตราแลกเปลี่ยน)เราแนะนำความสัมพันธ์ "ไม่เกิน" บน X โดย y x ≤ และเฉพาะถ้า x y หมาย∗ = 1เรื่องที่ 2 ถ้า (X หมาย∗ 1) คือจะพีชคณิต หมาย∗ x แล้ว (y หมาย∗ x) = 1 สำหรับ x, y ∈ Xหลักฐาน กำหนด x, y ∈ X เรามี 1 = y หมาย∗ 1 = y หมาย∗ (หมาย∗ x x) = x หมาย∗ (y หมาย∗ x), พิสูจน์ข้อเสนอนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นิยาม 1. พีชคณิต (X; * 1) ประเภท (2, 0) เรียกว่า BE-พีชคณิตถ้า
(BE1) X * x = 1 สำหรับทุก x ∈ x;
(BE2) x * 1 = 1 สำหรับทุก x ∈ x;
(Be3) * 1 x = x สำหรับทุก x ∈ x;
(be4) x * (y * z) y = * (x * z) สำหรับทุก x, y, z ∈ x (Exchange)
เราแนะนำ ความสัมพันธ์ "≤" ใน x โดย x ≤ y ถ้าหากว่า x * Y = 1.
โจทย์ 2. ถ้า (x * 1) เป็น BE-พีชคณิตแล้ว x * (y * x) = 1 สำหรับการใด ๆ x, y ∈เอ็กซ์
หลักฐาน ได้รับ x, y ∈ X เรามี 1 y = * 1 * y = (x * x) = x * (y * x) พิสูจน์
เรื่อง