Abstract:his research paper is a ge

Abstract:
his research paper is a general
overview of Sequence and Series.A
sequence is an ordered list of numbers.
The sum of the terms of a sequence is
called a series. While some sequences
are simply random values, other
sequences have a definite pattern that
is used to arrive at the sequence's
terms. In this paper, we have studied
about Progression(s) and their types
which includes Arithmetic Progression,
Geometric Progression and Harmonic
Progression. Further we have studied
properties of these progressions.
Formulas for finding nth term, selections
of n terms, sum of n terms for a given
progression and insertion of n number
of mean(s) between two given numbers
are also studied.

Keywords:
AP; GP; HP; Sequence; Series ; Am; Gm;
H
m; Sn

Introduction

A sequence is a list of numbers. Any time
you write numbers in a list format, you are
creating a sequence. Something as simple
as1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .is a sequence.Rather
than just listing the numbers, we usually
identify it as a sequence with the
notationan = 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .Usually there
is some type of pattern to a sequence. In
the sequence above, you are adding one to
each term to get the next term.A term of a
sequence is just a number that is in the
sequence. Terms can be identified by their
location. We note the 1st term in a
sequence as a1 and we would call the 5th
term in the sequence a5.We described the
pattern in the sequence as adding one to
each term to get the next term[1]. We can
express this as a recursive formula by
writing (an = an-1 + 1).This says to get any
term in the sequence (an), add one (+1) to
the previous term (an-1).
A recursive formula is written in such a way
that in order to find any term in a sequence,
you must know the previous terms. In other
words, to find the 12th term, you would
need to know the first 11. There are times
when this can be a difficult task and there
will be other ways to write sequences. But it
is important to know that many sequences
are best described using recursive
formulas.The simple sequence we have
been looking at is called an arithmetic
sequence. Any time you are adding the
same number to each term to complete the
sequence, it is called an arithmetic
sequence. The number that is added to
each term is called the common difference
and denoted with the letter d. So in our
example we would say that d = 1. The
common difference can be subtracting two
consecutive terms. You can subtract any
two terms as long as they are consecutive.
So we could find d by taking 5 - 4 = 1 or 2 - 1
= 1. Notice that we will always use the term
that appears later in the sequence first and
then subtract the term that is right in front
of it.If we looked at a sequence like bn = 1,
3, 9, 27, 81, 243, . . . this would not fit our
definition of an arithmetic sequence. We
are not adding the same number to each
term. However, notice that we are
multiplying each term by the same number
(3) each time. When you multiply every
term by the same number to get the next
term in the sequence, you have a geometric
sequence. Geometric sequences can also be
written in recursive form. In this case, we
would write. Remember that in the
language of sequences we are saying, to
find any term in the sequence (bn), multiply
the previous term (bn-1) by 3.
Just as arithmetic sequences have a
common difference, geometric sequences
have a common ratio which is denoted with
the letter r. The common ratio is found by
dividing successive terms in the sequence.
So in our geometric sequence example, we
could use 9/3 = 3 or 243/81=3 to find that r
= 3. As with finding a common difference,
when we find a common ratio, we must use
the term that appears later in the sequence
as our numerator and the number right
before it as our denominator[2].

Progression
It is not necessary that the terms of a
sequence always follow a certain pattern or
they are described by some explicit
formula. Those sequences whose terms
follow certain pattern are called
progression.

1. Arithmetic Progression (AP)
A sequence is called an arithmetic
progression if the difference of a term and
the previous term is always same, i.e., an+1-
an = constant (=d), for each n belongs to N.
The constant difference, generally denoted
by d is called the common difference[3].
e.g.
i. 1, 4, 7, 10,.....is an AP whose first
term is 1 and common difference is
4 – 1 = 3.
ii. 11, 7, 3, -1,.... is an AP whose first
term is 11 and the common
difference is 7 – 11 = -4.
1.1 Method to determine whether a
Sequence is an AP or not when its nth term
is given
i. Obtain an
ii. Replace n by n+1 in an to get an+1.
iii. Calculate an+1 - an.
If an+1 - an is independent of n, the given
sequence is an AP otherwise it is not an AP.
1.2 General Term of an AP
Let a be the first term and d be the
common difference of an AP. Then the nth
term is a + (n - 1)d.
i.e., Tn= a + (n - 1)d

If l is the last term of a sequence, then
l= T
n= a + (n - 1)d
1.3 nth term of an AP from the end
Let a be the first term and d be the
com

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อ:ผลงานวิจัยของเขาได้ทั่วไปภาพรวมของลำดับและ Series.Aลำดับจะเป็นรายการลำดับเลขผลรวมของลำดับเรียกว่าชุด ขณะที่บางลำดับมีค่าเพียงแค่สุ่ม อื่น ๆลำดับมีความแน่นอนรูปแบบที่ใช้มาเป็นลำดับเงื่อนไขการ ในเอกสารนี้ เรามีศึกษาเกี่ยวกับ Progression(s) และประเภทของซึ่งรวมถึงการก้าวหน้าเลขคณิตการก้าวหน้าเรขาคณิตและ Harmonicก้าวหน้า ต่อไป เรามีศึกษาคุณสมบัติของก้าวหน้าเหล่านี้สูตรหาระยะ เลือกเงื่อนไข n ผลบวกของ n เงื่อนไขในการกำหนดก้าวหน้าและแทรกจำนวน nของ mean(s) ระหว่างสองตัวเลขที่กำหนดจะยังเรียนคำสำคัญ:AP GP HP ลำดับ ชุด น. กรัมHm Snแนะนำรายการหมายเลขลำดับนั้น ตลอดเวลาคุณเขียนเลขในรูปแบบรายการ คุณสร้างลำดับ บางสิ่งบางอย่างง่ายas1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ก็ลำดับ ค่อนข้างกว่ารายการหมายเลข เรามักจะระบุเป็นลำดับที่มีการnotationan = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... มักจะมีมีบางชนิดของรูปแบบการลำดับ ในลำดับข้างต้น คุณจะเพิ่มการแต่ละระยะจะได้รับในระยะต่อไป เงื่อนไขของการลำดับเป็นเพียงตัวเลขที่อยู่ในการลำดับนั้น สามารถระบุเงื่อนไขตามความสถาน เราทราบระยะที่ 1 ในการลำดับ a1 และเราจะโทรในวันที่ 5ระยะใน a5 ลำดับ เราอธิบายการรูปแบบลำดับเป็นการเพิ่มการแต่ละระยะจะได้รับในระยะถัดไป [1] เราสามารถเอ็กซ์เพรสซึ่งเป็นสูตรเกิดซ้ำโดยเขียน (มี = 1 อัน + 1) นี้กล่าวว่า ได้รับการใด ๆระยะในลำดับ (ผิด) เพิ่ม (+ 1) จะก่อนหน้าระยะ (ที่ 1)เขียนในลักษณะสูตรซ้ำที่เพื่อที่จะหาคำใด ๆ ในลำดับคุณต้องทราบเงื่อนไขก่อนหน้านี้ ในที่อื่น ๆคำ หาระยะ 12 คุณจำเป็นต้องทราบ 11 แรก มีเวลาเมื่อสามารถเป็นงานที่ยาก และมีจะมีวิธีอื่นในการเขียนลำดับ แต่มันจะต้องทราบลำดับให้ส่วนไว้ใช้ซ้ำสูตร ลำดับเรื่องที่เรามีการเรียกว่าเลขคณิตเป็นลำดับนั้น ตลอดเวลาที่คุณจะเพิ่มการเลขเดียวกันในแต่ละระยะการดำเนินการลำดับ เรียกว่าเลขคณิตเป็นลำดับนั้น หมายเลขที่ถูกเพิ่มเข้าไปเรียกว่าแต่ละระยะแตกต่างทั่วไปและสามารถบุ ด้วยตัวอักษร d ดังนั้นในของเราอย่างที่เราพูดว่า d = 1 ที่ความแตกต่างทั่วไปสามารถจะลบสองเงื่อนไขต่อเนื่องกัน คุณสามารถลบใด ๆสองเงื่อนไขตราบใดที่จะติดต่อกันดังนั้นเราสามารถหา d โดยใช้เวลา 5-4 = 1 หรือ 2-1= 1 สังเกตว่า เราจะใช้คำว่าที่ปรากฏในภายหลังในลำดับก่อน และแล้ว ลบคำที่เหมาะสมหน้าของมัน ถ้าเรามองที่ลำดับเช่นพัน = 13, 9, 27, 81, 243,...นี้จะไม่พอดีของเรานิยามของลำดับเลขคณิตเป็น เราจะเพิ่มหมายเลขเดียวกันแต่ละระยะเวลาการ อย่างไรก็ตาม โปรดสังเกตว่า เรามีการคูณแต่ละระยะเป็นตัวเลขเดียวกัน(3) each time. When you multiply everyterm by the same number to get the nextterm in the sequence, you have a geometricsequence. Geometric sequences can also bewritten in recursive form. In this case, wewould write. Remember that in thelanguage of sequences we are saying, tofind any term in the sequence (bn), multiplythe previous term (bn-1) by 3.Just as arithmetic sequences have acommon difference, geometric sequenceshave a common ratio which is denoted withthe letter r. The common ratio is found bydividing successive terms in the sequence.So in our geometric sequence example, wecould use 9/3 = 3 or 243/81=3 to find that r= 3. As with finding a common difference,when we find a common ratio, we must usethe term that appears later in the sequenceas our numerator and the number rightbefore it as our denominator[2].ProgressionIt is not necessary that the terms of asequence always follow a certain pattern orthey are described by some explicitformula. Those sequences whose termsfollow certain pattern are calledprogression.1. Arithmetic Progression (AP)A sequence is called an arithmeticprogression if the difference of a term andthe previous term is always same, i.e., an+1-an = constant (=d), for each n belongs to N.The constant difference, generally denotedby d is called the common difference[3].e.g.i. 1, 4, 7, 10,.....is an AP whose firstterm is 1 and common difference is4 – 1 = 3.ครั้งที่สอง 11, 7, 3, -1,...เป็น AP เป็นที่แรกเป็นระยะ 11 และมวลความแตกต่างคือ 7 – 11 = - 41.1 วิธีการตรวจสอบว่าเป็นลำดับจะเป็น AP หรือไม่เมื่อเป็นระยะจะได้รับi. รับการครั้งที่สองแทน n โดย n + 1 ในการจะได้รับการ + 1iii. การ + 1 - คำนวณผิดถ้ามี + 1 - ความเป็นอิสระ n การกำหนดมี AP คือลำดับก็ไม่มี AP1.2 ข้อกำหนดของ AP เป็นให้การเป็นคำแรก และ dความแตกต่างทั่วไปของ AP เป็น แล้วมีคำเป็น + (n - 1) dเช่น Tn =เป็น + (n - 1) dถ้า l เป็นระยะสุดท้ายของลำดับ แล้วl = Tn =เป็น + (n - 1) d1.3 ระยะมี AP จากท้ายให้การเป็นคำแรก และ dcom