Some of the results given here are

Some of the results given here are well-known, but it would appear that others are less so. In fact, several of the identities obtained in this paper do not appear on the authoritative website [1]. After stating three properties of the golden ratio, which will be used throughout, we go on to provide a number of examples that illustrate how certain golden-ratio equalities give rise, in a quite natural manner, to these identities. Finally, we briefly consider inverse binomial transforms and generalizations of our identities.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ผลลัพธ์บางรายการที่นี่เป็นที่รู้จัก แต่ก็ปรากฏว่า คนอื่น ๆ มีน้อยดังนั้น ในความเป็นจริง หลายรหัสประจำตัวที่ได้รับในกระดาษนี้ไม่ปรากฏบนเว็บไซต์ไทม์ [1] หลังจากระบุคุณสมบัติสามของอัตราทองคำ ที่จะใช้ตลอดเวลา เราไปให้จำนวนตัวอย่างที่แสดงว่าบาง equalities อัตราส่วนทองให้เพิ่มขึ้น ในลักษณะที่ค่อนข้างธรรมชาติ รหัสประจำตัวเหล่านี้ สุดท้าย เราสั้น ๆ พิจารณาแปลงผกผันทวินามและ generalizations ข้อมูลเฉพาะตัวของเรา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บางส่วนของผลการให้ที่นี่เป็นที่รู้จักกันดี แต่ก็จะปรากฏว่าคนอื่นมีน้อยดังนั้น ในความเป็นจริงหลายตัวตนที่ได้รับในบทความนี้จะไม่ปรากฏบนเว็บไซต์ของเผด็จการ [1] หลังจากที่สามที่ระบุคุณสมบัติของอัตราส่วนทองซึ่งจะถูกนำมาใช้ตลอดเราไปให้จำนวนตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าเท่ากันบางอัตราส่วนทองให้สูงขึ้นในลักษณะที่เป็นธรรมชาติค่อนข้างจะตัวตนเหล่านี้ สุดท้ายพวกเราได้สรุปการแปลงทวินามผกผันและภาพรวมของตัวตนของเรา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บางผลลัพธ์ให้ที่นี่เป็นที่รู้จักกันดี แต่ปรากฎว่า คนอื่นจะน้อยกว่าดังนั้น ในความเป็นจริงหลายของข้อมูลที่ได้รับในบทความนี้ไม่ได้ปรากฏบนเว็บไซต์เผด็จการ [ 1 ] หลังจากระบุคุณสมบัติสามของอัตราส่วนโกลเด้นซึ่งจะใช้ตลอด เราไปเพื่อให้จำนวนของตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงวิธีการ equalities อัตราส่วนทองคำบางให้ลุกขึ้นในลักษณะที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติ เพื่อเอกลักษณ์เหล่านี้ สุดท้าย เราสั้นพิจารณาแปลงผกผันและการแจกแจงทวินามทั่วไปของตัวตนของเรา