Each area has a distinct focus, alt

Each area has a distinct focus, although many techniques and results are shared among multiple areas. The borderlines amongst these fields, and the lines separating mathematical logic and other fields of mathematics, are not always sharp. Godel's incompleteness theorem marks not only a milestone in recursion theory and proof theory, but has also led to Lob's theorem in modal logic. The method of forcing is employed in set theory, model theory, and recursion theory, as well as in the study of intuitionistic mathematics.
The mathematical field of category theory uses many formal axiomatic methods, and includes the study of categorical logic, but category theory is not ordinarily considered a subfield of mathematical logic. Because of its applicability in diverse fields of mathematics, mathematicians including Saunders Mac Lane have proposed category theory as a foundational system for mathematics, independent of set theory. These foundations use toposes, which resemble generalized models of set theory that may employ classical or nonclassical logic.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แต่ละพื้นที่มีความสำคัญแตกต่างกัน แม้ว่าเทคนิคและผลลัพธ์หลายห้องหลายพื้นที่ Borderlines เขตข้อมูลเหล่านี้ และบรรทัดแยกตรรกะคณิตศาสตร์และสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ มักไม่คมชัด ทำเครื่องหมายไม่เพียงแต่สำคัญในทฤษฎีการเกิดซ้ำและพิสูจน์ทฤษฎีทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของ Godel แต่ยังนำไปสู่ทฤษฎีบทของ Lob ในตรรกะ modal วิธีการบังคับให้เป็นลูกจ้าง ในทฤษฎี ทฤษฎีแบบจำลอง และทฤษฎีการเกิดซ้ำ รวม ทั้ง ในการศึกษาคณิตศาสตร์ intuitionisticด้านคณิตศาสตร์ของทฤษฎีประเภทใช้หลายวิธีซึ่งเป็นจริงอย่างเป็นทางการ และมีการศึกษาของตรรกะที่แน่ชัด แต่ประเภททฤษฎีเป็นปกติถือว่าย่อยของตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ เนื่องจากการใช้งานในหลากหลายสาขาของคณิตศาสตร์ mathematicians เลนแซนเดอ Mac รวมทั้งมีประเภทเสนอทฤษฎีเป็นระบบพื้นฐานสำหรับคณิตศาสตร์ อิสระทฤษฎี มูลนิธิเหล่านี้ใช้ toposes ซึ่งมีลักษณะทั่วไปรูปแบบของทฤษฎีที่ใช้ตรรกะคลาสสิก หรือ nonclassical

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แต่ละพื้นที่มีความสำคัญที่แตกต่างกันแม้ว่าหลายเทคนิคและผลที่จะได้ร่วมกันระหว่างหลายพื้นที่ ชายแดนหมู่เขตข้อมูลเหล่านี้และสายแยกตรรกะทางคณิตศาสตร์และสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ไม่ได้คมชัดเสมอ ทฤษฎีบทไม่สมบูรณ์ของGödelเครื่องหมายไม่เพียง แต่เหตุการณ์สำคัญในทฤษฎีการเรียกซ้ำและพิสูจน์ทฤษฎี แต่ยังได้นำไปสู่ทฤษฎีบท Lob ในคำกริยาตรรกศาสตร์ วิธีการบังคับให้มีการจ้างงานในการตั้งทฤษฎีทฤษฎีแบบจำลองและทฤษฎีการเรียกซ้ำเช่นเดียวกับในการศึกษาคณิตศาสตร์ intuitionistic ได้.
สนามทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีประเภทใช้วิธีการซึ่งเป็นจริงอย่างเป็นทางการจำนวนมากและรวมถึงการศึกษาของตรรกะเด็ดขาด แต่ทฤษฎีหมวดหมู่ จะไม่ถือว่าเป็นปกติฟิลด์ของตรรกะทางคณิตศาสตร์ เพราะการบังคับใช้ในหลากหลายสาขาของคณิตศาสตร์คณิตศาสตร์รวมถึงแซนเดอแม็คเลนได้เสนอทฤษฎีหมวดหมู่เป็นระบบพื้นฐานสำหรับคณิตศาสตร์เป็นอิสระจากการตั้งทฤษฎี มูลนิธิเหล่านี้ใช้ toposes ซึ่งมีลักษณะคล้ายกับรุ่นทั่วไปของการตั้งทฤษฎีว่าอาจใช้ตรรกะคลาสสิกหรือ nonclassical

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แต่ละพื้นที่มีโฟกัสที่แตกต่างกัน แม้ว่าหลายเทคนิคและผลร่วมระหว่างพื้นที่หลาย การ borderlines ท่ามกลางทุ่งนา และสายแยกตรรกะทางคณิตศาสตร์และสาขาอื่น ๆของคณิตศาสตร์มีคม เกอเดลก็ขาดความเชื่อ มาร์คไม่เพียงขั้นในทฤษฎีการเรียกซ้ำทฤษฎีและหลักฐาน แต่ยังนำไปสู่ทฤษฎีบทของลูกเทนนิสในคำกริยาตรรกศาสตร์ วิธีการบังคับให้มีการจ้างงานในทฤษฎีเซตทฤษฎีแบบจำลองและทฤษฎีการเรียกซ้ำ เช่นเดียวกับในการศึกษาคณิตศาสตร์ intuitionistic .ด้านคณิตศาสตร์ ทฤษฎี ประเภทที่ใช้วิธีการทางสัจพจน์ มากมาย และรวมถึงการศึกษาของเหตุผลอย่างแท้จริง แต่ทฤษฎีประเภทไม่โดยปกติถือว่าเป็น subfield ของตรรกะทางคณิตศาสตร์ เพราะความเกี่ยวข้องของในหลากหลายสาขาของคณิตศาสตร์ , นักคณิตศาสตร์รวมทั้ง Saunders Mac Lane ได้เสนอทฤษฎีหมวดหมู่เป็นระบบพื้นฐานคณิตศาสตร์ อิสระของทฤษฎี พื้นฐานเหล่านี้ใช้ toposes ซึ่งมีลักษณะคล้ายกับรูปแบบของทฤษฎีการตั้งค่าทั่วไปที่อาจจ้างคลาสสิก หรือ nonclassical ตรรกะ