Proof. To prove this theorem we fir

Proof. To prove this theorem we first consider the labeled glued graph and
apply the result to the glued graph. Let G1 and G2 be any nontrivial connected
graphs, H1 ⊆ G1, H2 ⊆ G2. Let H0 be the labeled clone of the labeled glued
graph G1✁✄¯
H0
G2 and i be a natural number. The vertices (ui
, v0),(u0, vi) and
(ui
, vi) are the vertices obtained from only ui of G1H1, only vi of G2H2 and
both ui of H1 and vi of H2, respectively. And each vertex (ui
, vi) in the labeled
glued graph related with wi of the labeled clone. First, suppose that G1✁✄¯
H0
G2 is
Eulerian, that is, every vertex of G1✁✄¯
H0
G2 has even degree. If the labeled clone
does not contain all odd vertices of two labeled original graphs, an odd vertex
will appear in G1✁✄¯
H0
G2, which is a contradiction. Therefore, all odd vertices of
the two labeled original graphs must be contained in the labeled clone. Consider
each even vertex in the labeled clone. Since degG1✁✄¯
H0
G2
(ui
, vi) and degH0 wi are
both even, degG1
ui and degG2
vi must be both odd or both even (Lemma 2.1).
A similar argument holds for the odd vertices. Because degG1✁✄¯
H0
G2
(ui
, vi) is even
but degH0 wi
is odd, degG1
ui + degG2
vi must be odd by Lemma 2.1, that is one
must be odd and another one must be even. Conversely, assume that the labeled
clones of the two labeled original graphs contain all odd vertices in their two
labeled original graphs. Also suppose that that every even vertex in the labeled
clones of the two labeled original graphs is obtained from both odd or both even
vertices in the two labeled original graphs, and every odd vertex in those labeled
clones is obtained from one odd and one even vertex in the two original graphs.
So degG1✁✄¯
H0
G2
(ui
, v0) and degG1✁✄¯
H0
G2
(u0, vi) are both even. Consider each even
vertex in each labeled clone which is obtained from both odd or both even vertices
in the two labeled original graphs, degG1
ui + degG2
vi and degH0 wi are even. By
Lemma 2.1, degG1✁✄¯
H0
G2
(ui
, vi) is even. For each odd vertex in each labeled clone
which is obtained from one odd and one even vertex in the two labeled original
graphs, the argument is the same. Since degG1
ui + degG2
vi and degH0 wi are odd.
Clearly, by Lemma 2.1, degG1✁✄¯
H0
G2
(ui
, vi) is even. Hence each vertex of G1✁✄¯
H0
G2
is an even vertex. This concludes that the labeled glued graph is Eulerian and so
is its image. ¥

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐานการ การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เรามาพิจารณาดูกราฟกาวป้าย และผลกับกราฟกาว ให้ G1 และ G2 เป็น nontrivial การเชื่อมต่อกราฟ H1 ⊆ G1, H2 ⊆ G2 ให้ H0 จะโคลนป้ายของที่มีป้ายชื่อติดกาวกราฟ G1✁✄¯H0G2 และเป็นตัวเลขธรรมชาติ จุดยอด (ui, v0),(u0, vi) และ(ui, vi) มีจุดยอดที่ได้รับจาก ui ของ G1H1, vi ของ G2H2 และทั้ง ui ของ H1 และ vi ของ H2 ตามลำดับ และแต่ละจุดยอด (ui, vi) ในการป้ายจมปลักกราฟที่เกี่ยวข้องกับอินเตอร์ของโคลนป้าย ครั้งแรก สมมติว่า G1✁✄¯H0มี G2แบบออยเลอร์ คือ ทุกจุดของ G1✁✄¯H0G2 ได้แม้แต่ปริญญา ถ้าโคลนป้ายประกอบด้วยจุดยอดคี่ทั้งหมดของสองป้ายเดิมกราฟ มีจุดยอดคี่จะปรากฏใน G1✁✄¯H0G2 ซึ่งเป็นความขัดแย้ง ดังนั้น ทั้งหมดรอบจุดยอดของกราฟต้นฉบับป้ายสองต้องอยู่ในโคลนป้าย พิจารณาแต่ละจุดยอดที่แม้ในโคลนป้าย ตั้งแต่ degG1✁✄¯H0G2(ui, vi) และอินเตอร์ degH0ทั้งคู่ degG1ui และ degG2vi ต้องทั้งแปลก หรือทั้งสองอย่างได้ (จับมือ 2.1)มีอาร์กิวเมนต์คล้ายกันสำหรับจุดยอดคี่ เนื่องจาก degG1✁✄¯H0G2(ui, vi) จะได้แต่อินเตอร์ degH0เป็นคี่ degG1ui + degG2vi ต้องแปลก ด้วยการจับมือ 2.1 ที่หนึ่งต้องเป็นคี่และอีกหนึ่งต้องได้ ในทางกลับกัน สมมุติว่าที่ป้ายโคลนของกราฟเดิมป้ายสองประกอบด้วยจุดยอดคี่ทั้งหมดในสองของพวกเขาป้ายกราฟเดิม สมมติว่า ที่จุดยอดทุกคู่ในการป้ายโคลนของกราฟเดิมป้ายสองได้รับมาจากทั้งคู่หรือคี่ทั้งคู่จุดยอดในสองชื่อกราฟเดิม และป้ายทุกจุดยอดคี่ในผู้โคลนได้รับหนึ่งที่แปลกและจุดหนึ่งแม้ในกราฟต้นฉบับสองDegG1✁✄¯ ดังนั้นH0G2(ui, v0) และ degG1✁✄¯H0G2(u0, vi) ใจได้ พิจารณาแต่ละแม้จุดยอดในโคลนแต่ละป้ายที่ได้รับจากทั้งคี่หรือจุดยอดทั้งคู่ในสองชื่อกราฟเดิม degG1ui + degG2vi และ degH0 อินเตอร์แม้จะ โดยจับมือ 2.1, degG1✁✄¯H0G2(ui, vi) จะได้ สำหรับแต่ละจุดยอดคี่ในโคลนแต่ละป้ายที่ได้รับจากคี่และแม้แต่จุดในสองชื่อเดิมกราฟ อาร์กิวเมนต์จะเหมือนกัน ตั้งแต่ degG1ui + degG2vi และ degH0 อินเตอร์มีคี่เห็นได้ชัด โดยจับมือ 2.1, degG1✁✄¯H0G2(ui, vi) จะได้ ดังนั้นแต่ละจุดของ G1✁✄¯H0G2มีจุดยอดแม้ นี้สรุปว่า ป้ายกาวกราฟแบบออยเลอร์และเป็นรูปภาพ ¥

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พิสูจน์ เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ครั้งแรกที่เราพิจารณากราฟกาวติดป้ายและ
นำผลที่ได้ไปกราฟกาว ให้ G1 และ G2 จะเชื่อมต่อใด ๆ ขี้ปะติ๋ว
กราฟ H1 ⊆ G1, H2 ⊆ G2 ให้ H0 เป็นโคลนติดป้ายที่มีข้อความของกาว
กราฟG1✁✄¯
H0
G2 และฉันเป็นจำนวนธรรมชาติ จุด (UI
, v0) (u0, vi) และ
(UI
, vi) เป็นจุดที่ได้รับจากเพียง UI ของ G1 H1 เพียง vi ของ G2 H2 และ
UI ของ H1 และ vi ของ H2 ตามลำดับ และในแต่ละจุดสุดยอด (UI
, vi) ในการติดป้ายชื่อ
ติดกาวกราฟที่เกี่ยวข้องกับ Wi ของโคลนที่มีข้อความ ครั้งแรกคิดว่าG1✁✄¯
H0
G2 เป็น
Eulerian นั่นคือจุดสุดยอดของทุกG1✁✄¯
H0
G2 มีปริญญาแม้ ถ้าโคลนติดป้าย
ไม่ได้มีจุดแปลกทั้งหมดของทั้งสองกราฟเดิมป้ายจุดสุดยอดคี่
จะปรากฏในG1✁✄¯
H0
G2 ซึ่งเป็นความขัดแย้ง ดังนั้นทุกจุดคี่ของ
สองกราฟเดิมที่ติดฉลากจะต้องมีอยู่ในโคลนที่มีข้อความ พิจารณา
แต่ละจุดสุดยอดแม้จะอยู่ในโคลนที่มีข้อความ ตั้งแต่degG1✁✄¯
H0
G2
(UI
, vi) และ degH0 Wi มี
ทั้งแม้ degG1
UI และ degG2
vi จะต้องเป็นทั้งคี่หรือแม้กระทั่งทั้งสอง (บทแทรก 2.1).
อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันถือสำหรับจุดที่แปลก เพราะdegG1✁✄¯
H0
G2
(UI
, vi) คือแม้
แต่ degH0 Wi
แปลก degG1
UI + degG2
vi จะต้องแปลกโดยบทแทรก 2.1 ที่เป็นหนึ่ง
จะต้องแปลกและอีกคนหนึ่งจะต้องเป็นแม้กระทั่ง ตรงกันข้ามสมมติว่าติดป้าย
โคลนของทั้งสองติดป้ายกราฟเดิมมีทั้งหมดจุดที่แปลกในสองของพวกเขา
ติดป้ายกราฟเดิม นอกจากนี้สมมติว่าว่าทุกจุดสุดยอดแม้ในที่มีข้อความ
โคลนของทั้งสองติดป้ายกราฟเดิมจะได้รับจากทั้งคี่หรือแม้กระทั่งทั้งสอง
จุดในสองกราฟเดิมที่มีข้อความและทุกจุดสุดยอดแปลกในการติดป้ายชื่อผู้
โคลนจะได้รับจากที่หนึ่งที่แปลกและเป็นหนึ่งในจุดสุดยอดแม้ ในสองกราฟเดิม.
ดังนั้นdegG1✁✄¯
H0
G2
(UI
, v0) และdegG1✁✄¯
H0
G2
(u0, vi) มีทั้งแม้กระทั่ง พิจารณาแต่ละแม้
จุดสุดยอดในแต่ละติดป้ายโคลนที่ได้จากทั้งสองคี่หรือแม้กระทั่งทั้งสองจุด
ในสองกราฟเดิมป้าย degG1
UI + degG2
vi และ degH0 Wi แม้กระทั่ง โดย
บทแทรก 2.1 degG1✁✄¯
H0
G2
(UI
, vi) เป็นแม้กระทั่ง สำหรับแต่ละจุดสุดยอดแปลกในแต่ละติดป้ายโคลน
ที่ได้จากหนึ่งที่แปลกและเป็นหนึ่งในจุดสุดยอดแม้จะอยู่ในสองเดิมติดป้าย
กราฟอาร์กิวเมนต์เป็นเดียวกัน ตั้งแต่ degG1
UI + degG2
vi และ degH0 Wi แปลก.
เห็นได้ชัดโดยบทแทรก 2.1 degG1✁✄¯
H0
G2
(UI
, vi) เป็นแม้กระทั่ง ดังนั้นจุดสุดยอดของแต่ละG1✁✄¯
H0
G2
เป็นจุดสุดยอดแม้ นี้สรุปว่าติดกาวติดป้ายกราฟเป็น Eulerian และเพื่อให้
เป็นภาพของ ¥

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิสูจน์ เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เราแรกพิจารณาข้อความและกราฟปะติ
ใช้ผลให้ติดกาวกราฟ ปล่อย G1 G2 จะเชื่อมต่อใด ๆและนอนทริเวียลกราฟ⊆ G1
, H1 , H2 ⊆ G2 . ขอด้วยเป็นป้ายโคลนของป้ายติด✁✄¯ H0


กราฟ G1 G2 และฉันเป็นจำนวนธรรมชาติ จุด ( UI
, การผลิ ) , ( U0
( 6 ) และ UI
6 ) เป็นจุดที่ได้จาก UI เฉพาะของ G1 n H1 , H2 และ 6 ของ G2
ทั้ง UI ทั้ง 6 H2 และ ตามลำดับ และแต่ละจุดยอด ( UI
6 ) ในป้าย
ติดกาวกราฟที่เกี่ยวข้องกับวีของป้ายโคลน แรก สมมติว่า G1 G2 เป็น✁✄¯
H0

ออยเลอร์ คือทุกจุดยอดของ✁✄¯ G1
H0
G2 ได้ถึงระดับ ถ้าป้ายโคลน
ไม่ได้มีจุดยอดคี่ทั้งหมดสองป้ายกราฟเดิมมีจุดยอดคี่จะปรากฏใน


✁✄¯ H0 G1 G2 ซึ่งมีความขัดแย้งดังนั้น จุดยอดคี่ทั้งหมด
สองป้ายกราฟต้นฉบับต้องที่มีอยู่ในป้ายโคลน พิจารณาแต่ละจุดยอดคู่
ในป้ายโคลน ตั้งแต่ degg1 ✁✄¯
H0
G2
( อุ้ย
6 ) และ degh0 วี มีทั้ง degg1

แม้ UI และ degg2
6 ต้องเป็น คี่ หรือแม้แต่ทั้ง ( พ 2.1 ) .
อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันถือสำหรับจุดยอดคี่ เพราะ degg1 ✁✄¯
H0
G2
( อุ้ย
6 ) แม้แต่ degh0 วี


degg1 เป็นคี่UI degg2
6 ต้องเป็นเลขคี่ โดยแทรก 2.1 ที่เป็นหนึ่ง
ต้องแปลก และ อีกคนหนึ่งจะต้องได้ ในทางกลับกัน สันนิษฐานว่า ป้ายสองป้าย
โคลนของกราฟต้นฉบับมีจุดยอดคี่ทั้งหมดสอง
ป้ายกราฟเดิม ยังคิดว่า ทุกๆ ยอดแม้ในป้าย
โคลนของทั้งสองป้ายกราฟเดิมได้จากทั้ง คี่ หรือแม้แต่
ทั้งจุดในกราฟสองป้ายเดิม และทุกจุดยอดคี่ในที่ข้อความ
โคลนได้มาจากหนึ่งที่แปลกและแม้แต่จุดยอดในสองต้นฉบับกราฟ ✁✄¯ H0


ดังนั้น degg1 G2
( อุ้ย
, การผลิ ) และ degg1 ✁✄¯
H0

( U0 G2 6 ) ทั้งคู่เลย พิจารณาแต่ละจุดยอดในแต่ละโคลนแม้แต่
ข้อความที่ได้รับจากทั้ง คี่ หรือแม้แต่จุดยอดทั้งใน 2 ป้ายกราฟ


degg2 degg1 UI เดิม6 degh0 Wi และแม้ . โดย
พ 2.1 degg1 ✁✄¯
H0
G2
( อุ้ย
6 ) คือ แม้แต่ สำหรับแต่ละจุดยอดคี่ในแต่ละป้ายโคลน
ซึ่งได้มาจากหนึ่งที่แปลกและแม้แต่จุดยอดในสองป้ายกราฟเดิม
, อาร์กิวเมนต์เดียวกันคือ ตั้งแต่ degg1

6 degh0 degg2 UI และ Wi เป็นคี่
อย่างชัดเจน โดยแทรก 2.1 degg1 ✁✄¯
H0
G2
( อุ้ย
6 ) คือ แม้แต่ ดังนั้นแต่ละจุดยอดของ✁✄¯ G1 G2
H0

เป็นจุดสุดยอดด้วยซ้ำนี้พบว่ามีป้ายติดกราฟคือออยเลอร์และ
เป็นรูปภาพ ¥