คำศัพท์คณิตศาสตร์Definition 2.4. Defi

คำศัพท์คณิตศาสตร์
Definition 2.4. Define a binary relation ≤ on KK-algebra X by letting x ≤ y if and only if y∗x =0 .
A structure of KK-algebras and its properties 1037
Proposition 2.5. If (X;∗,0) is a KK-algebra, then (X;≤) is a partially order set. Proposition 2.6. If (X;∗,0) be a KK-algebra and x ≤ 0, then x =0 , for any x ∈ X. Moreover, 0 is called a minimal element in X. Proof. Let x ≤ 0, then 0∗x =0 . By KK-2, 0∗x = x, and thus x =0 .  It is easy to show that the following properties are true for a KK-algebra. Theorem 2.7. Let (X;∗,0) be a KK-algebra if and only if it satisfies the following conditions: for all x,y,z ∈ X, (1) ((y∗z)∗(x∗z)) ≤ (x∗y); (2) ((x∗y)∗y)≤ x; (3) x ≤ y if and only if y∗x =0 . Proposition 2.8. Let x,y,z be any element in a KK-algebra X. Then (1) x ≤ y implies y∗z ≤ x∗z. (2) x ≤ y implies z∗x ≤ z∗y. Proposition 2.9. Let x,y,z be any element in a KK-algebra X. Then x∗(y∗ z)=y∗(x∗z). Proof. Since theorem 2.7(2), (x∗z)∗z ≤ x, and by proposition 2.8(1), we get that x∗(y ∗z) ≤ ((x∗z)∗z)∗(y ∗z). Putting x = y and y = x∗z in theorem 2.7(1), it follows that ((x∗z)∗z)∗(y ∗z) ≤ y ∗(x∗z). By the transitivity of ≤ gives x∗(y ∗z) ≤ y ∗(x∗z). And we replacing x by y and y by x, we obtain y ∗(x∗z) ≤ x∗(y ∗z). By the anti-symmetry of ≤, thus x∗(y∗z)=y∗(x∗z) and finishing the proof.  Corollary 2.10. Let x,y,z be any element in a KK-algebra X. Then (1) y∗z ≤ x if and only if x∗z ≤ y. (2) (z∗x)∗(z∗y)≤ x∗y. (3) x ≤ y implies x∗z ≤ y∗z. Proposition 2.11. Let x,y,z be any element in a KK-algebra X. Then (1) ((x∗y)∗y)∗y = x∗y. (2) (x∗y)∗0=( x∗0)∗(y∗0). Proof. (1) From theorem 2.3(2) and theorem 2.7(1) , (((x∗y)∗y)∗y)∗ (x ∗ y) ≤ x ∗((x ∗ y)∗ y)=0 . Thus (((x ∗y)∗ y)∗y)∗ (x ∗ y)=0 . Since (x ∗ y)∗ (((x ∗ y)∗y)∗ y) = (( x ∗ y)∗y)∗ ((x ∗ y)∗y)=0 . So, by KK-3, (x∗y)∗y = x∗y. (2) Since (x∗0)∗(y∗0) = (x∗0)∗(y∗((x∗y)∗(x∗y))) = (x∗0)∗((x∗y)∗(y∗ (x∗y))) = (x∗0)∗((x∗y)∗(x∗(y∗y))) = (x∗y)∗((x∗0)∗(x∗0)) = (x∗y)∗0. The proof is complete. 
In this paper we will denote N for the set of all nonnegative integers, i.e.,
1038 S. Asawasamrit and A. Sudprasert
0,1,2,..., and N∗ for the set of all natural numbers, i.e., 1,2,3,..., and we will also use the following notation in brevity: y0 ∗x = x,y n ∗x = y∗(...∗(y∗(y∗x)))    ntimes , where x,y are any elements in a KK-algebra and n ∈ N∗. Proposition 2.12. Let x,y be any element in a KK-algebra X. Then (1) ((y∗x)∗x)n ∗x = yn ∗x for any n ∈ N. (2) (xn ∗0)∗0=(x∗0)n ∗0 for any n ∈ N. Proof. Let X be a KK-algebra and x,y ∈ X and n,m ∈ N. (1) Proceed by induction on n and defined the statement P(n),((y ∗x)∗x )n∗x = yn∗x. We see that P(0) is true, ((y∗x)∗x)0∗x = x = y0∗x. Assume that P(k) is true for some arbitrary k ≥ 0, that is ((y∗x)∗x)k ∗x = yk ∗x. Since ((y∗x)∗x)k+1∗x = (( y∗x)∗x)∗(((y∗x)∗x)k∗x) = (( y∗x)∗x)∗(yk∗x)= yk∗(((y∗x)∗x)∗x)=yk∗(y∗x)=yk+1∗x. This show that P(k +1) is true and by the principle of mathematical induction, P(n) is true for each n ∈ N∗. (2) Since (xn ∗0)∗0=( x∗(xn−1 ∗0))∗0=( x∗0)∗((xn−1 ∗0)∗0) = (x∗0)∗((x∗(xn−2 ∗0))∗0) = (x∗0)∗((x∗0)∗((xn−2 ∗0)∗0)) = (x∗0)2 ∗ ((xn−2 ∗0)∗0) = ... =( x∗0)n ∗0  Given x ∈ X if it satisfies x∗0=0 , that is 0 ≤ x, the element x is calleda positive element of X. By definition, the zero element 0 of X is positive. Proposition 2.12. Let x be any element in a KK-algebra X. Then ((x∗0)∗ 0)∗x is a positive element of X for every x ∈ X. Proof. Since (((x∗0)∗0)∗x)∗0 = (((x∗0)∗0)∗0))∗(x∗0) = (x∗0)∗(x∗0) = 0. Therefore ((x∗0)∗0)∗x is a positive element of X. 

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คำศัพท์คณิตศาสตร์2.4 ภาษา กลุ่ม≤ความสัมพันธ์ไบนารีบน X KK พีชคณิต โดยให้ x ≤ y ถ้าและเฉพาะในกรณี y∗x = 0โครงสร้างของฉาก KK และคุณสมบัติของ 1037เรื่องที่ 2.5 ถ้า (X ∗ 0) จะเป็นเคพีชคณิต แล้ว (X ≤) เป็นชุดสั่งบางส่วน เรื่องที่ 2.6 ถ้า (X ∗ 0) เป็น KK พีชคณิต และ x ≤ 0 แล้ว x = 0, X x ∈ ใด ๆ นอกจากนี้ 0 จะเรียกว่าองค์ประกอบน้อยที่สุดในหลักฐาน X. ปล่อยให้ x ≤ 0 แล้ว 0∗x = 0 โดยเคเค-2, 0∗x = x และดังนั้น x = 0 มันง่ายที่จะแสดงว่า คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับเคเคพีชคณิต ทฤษฎีบท 2.7 ให้ (X ∗ 0) เป็น KK-พีชคณิตถ้า และถ้ามันอันเงื่อนไขต่อไปนี้: สำหรับทุก x, y, z ∈ X, (1) ((y∗z)∗(x∗z)) ≤ (x∗y); (2) (∗y (x∗y)) ≤ x (3) x ≤ y ถ้าหาก y∗x = 0 เรื่องที่ 2.8 ให้ x, y, z เป็นองค์ประกอบใด ๆ ใน X KK พีชคณิต แล้ว y x ≤ (1) หมายถึง y∗z ≤ x∗z y x ≤ (2) หมายถึง z∗x ≤ z∗y ข้อเสนอที่ 2.9 ให้ x, y, z เป็นองค์ประกอบใด ๆ ใน X KK พีชคณิต แล้ว x∗ (y∗ z)=y∗(x∗z) หลักฐาน ตั้งแต่ทฤษฎีบท 2.7(2), (x∗z) ∗z ≤ x และ โดยข้อเสนอ 2.8(1) เราได้ที่ x∗ (y ∗z) ≤ (∗z (x∗z)) ∗ (y ∗z) วาง x = y และ y = x∗z ในทฤษฎีบท 2.7(1) มันเป็นไปที่ (∗z (x∗z)) ∗ (y ∗z) ≤ y ∗(x∗z) โดย transitivity ≤ให้ x∗(y ∗z) ≤ y ∗(x∗z) และเราแทน x โดย y และ y โดย x เราได้รับ x∗ ≤ ∗(x∗z) y (y ∗z) โดยสมมาตรต่อต้านของ≤ x∗(y∗z)=y∗(x∗z) และ finishing หลักฐานดังนั้น Corollary 2.10 ให้ x, y, z เป็นองค์ประกอบใด ๆ ใน X KK พีชคณิต แล้ว (1) y∗z ≤ x ถ้าหาก x∗z ≤วาย (2) (z∗x) (z∗y) ∗≤ x∗y y x ≤ (3) หมายถึง x∗z ≤ y∗z เสนอ 2.11 ให้ x, y, z เป็นองค์ประกอบใด ๆ ใน X KK พีชคณิต แล้ว (1) (∗y (x∗y)) ∗y = x∗y (2) (x∗y) ∗0 (x∗0)∗(y∗0) = หลักฐาน (1) จากทฤษฎีบท 2.3(2) และทฤษฎีบท 2.7(1), x ∗ ≤∗ (x ∗ y) (∗y (∗y (x∗y))) ((x ∗ y) ∗ y) = 0 ดังนั้น (((x ∗y) ∗ y) ∗y) ∗ (x ∗ y) = 0 ตั้งแต่∗ (x ∗ y) (y ∗ (∗y (x ∗ y))) =∗ (∗y (x ∗ y)) ((x ∗ y) ∗y) = 0 เช่นนั้น โดยเคเค-3, ∗y (x∗y) = x∗y (2) ตั้งแต่ (x∗0)∗(y∗0) = (x∗0)∗(y∗((x∗y)∗(x∗y))) = (x∗0) ∗ (∗ (x∗y) (y∗ (x∗y))) = (x∗0)∗((x∗y)∗(x∗(y∗y))) = (x∗y)∗((x∗0)∗(x∗0)) = ∗0 (x∗y) หลักฐานเสร็จสิ้น ในเอกสารนี้ เราจะแสดง N สำหรับชุดของจำนวนเต็ม nonnegative ทั้งหมด เช่น1038 ปา Asawasamrit และอ.สุดประเสริฐ0,1,2,..., and N∗ for the set of all natural numbers, i.e., 1,2,3,..., and we will also use the following notation in brevity: y0 ∗x = x,y n ∗x = y∗(...∗(y∗(y∗x)))    ntimes , where x,y are any elements in a KK-algebra and n ∈ N∗. Proposition 2.12. Let x,y be any element in a KK-algebra X. Then (1) ((y∗x)∗x)n ∗x = yn ∗x for any n ∈ N. (2) (xn ∗0)∗0=(x∗0)n ∗0 for any n ∈ N. Proof. Let X be a KK-algebra and x,y ∈ X and n,m ∈ N. (1) Proceed by induction on n and defined the statement P(n),((y ∗x)∗x )n∗x = yn∗x. We see that P(0) is true, ((y∗x)∗x)0∗x = x = y0∗x. Assume that P(k) is true for some arbitrary k ≥ 0, that is ((y∗x)∗x)k ∗x = yk ∗x. Since ((y∗x)∗x)k+1∗x = (( y∗x)∗x)∗(((y∗x)∗x)k∗x) = (( y∗x)∗x)∗(yk∗x)= yk∗(((y∗x)∗x)∗x)=yk∗(y∗x)=yk+1∗x. This show that P(k +1) is true and by the principle of mathematical induction, P(n) is true for each n ∈ N∗. (2) Since (xn ∗0)∗0=( x∗(xn−1 ∗0))∗0=( x∗0)∗((xn−1 ∗0)∗0) = (x∗0)∗((x∗(xn−2 ∗0))∗0) = (x∗0)∗((x∗0)∗((xn−2 ∗0)∗0)) = (x∗0)2 ∗ ((xn−2 ∗0)∗0) = ... =( x∗0)n ∗0  Given x ∈ X if it satisfies x∗0=0 , that is 0 ≤ x, the element x is calleda positive element of X. By definition, the zero element 0 of X is positive. Proposition 2.12. Let x be any element in a KK-algebra X. Then ((x∗0)∗ 0)∗x is a positive element of X for every x ∈ X. Proof. Since (((x∗0)∗0)∗x)∗0 = (((x∗0)∗0)∗0))∗(x∗0) = (x∗0)∗(x∗0) = 0. Therefore ((x∗0)∗0)∗x is a positive element of X. 

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คำศัพท์คณิตศาสตร์
De Fi nition 2.4 ภาคตะวันออกเฉียงเหนือฐานความสัมพันธ์ De Fi ≤บน KK-X พีชคณิตโดยให้ x ≤ y ถ้าหากว่า Y * x = 0.
โครงสร้างของ KK-จีบและคุณสมบัติของ 1037
โจทย์ 2.5 ถ้า (X *, 0) คือ KK-พีชคณิตแล้ว (X; ≤) เป็นบางส่วนชุดคำสั่ง โจทย์ 2.6 ถ้า (X *, 0) เป็น KK-พีชคณิตและ x ≤ 0 แล้ว x = 0 สำหรับการใด ๆ x ∈เอ็กซ์นอกจากนี้ 0 เรียกว่าเป็นองค์ประกอบที่น้อยที่สุดในเอ็กซ์หลักฐาน ให้ x ≤ 0 แล้ว 0 * x = 0 โดย KK-2, 0 * x = x และทำให้ x = 0 ? มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติดังต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับ KK-พีชคณิต ทฤษฎีบท 2.7 Let (X *, 0) เป็น KK-พีชคณิตและถ้าหากมัน satis Fi ES เงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับทุก x, y, z ∈เอ็กซ์ (1) ((y * z) * (x * z)) ≤ (x * y); (2) ((x * y) * y) ≤ x; (3) Y x ≤ถ้าหากว่า Y * x = 0 โจทย์ 2.8 Let X, Y, Z เป็นองค์ประกอบใด ๆ ในเอ็กซ์ KK-พีชคณิตแล้ว (1) x ≤ Y หมายถึง Y * Z ≤ X * Z (2) x ≤ Y หมายถึง Z * x ≤ Z * Y โจทย์ 2.9 Let X, Y, Z เป็นองค์ประกอบใด ๆ ในพีชคณิต KK-X ได้แล้ว X * (y * z) y = * (x * z) พิสูจน์ ตั้งแต่ทฤษฎีบท 2.7 (2), (X * z) * Z ≤ X และข้อเสนอ 2.8 (1) เราได้รับที่ * x (y * z) ≤ ((X * z) * z) * (y * Z ) วาง X = Y และ Y = x * Z ในทฤษฎีบท 2.7 (1) มันตามที่ ((X * z) * z) * (y * z) ≤ Y * (x * z) โดยกริยาของ≤ให้ X * (y * z) ≤ Y * (x * z) และเราแทนที่ X โดย Y และ Y โดย X, Y เราได้รับ * (x * Z) ≤ X * (y * z) โดยป้องกันสมมาตรของ≤จึง X * (y * z) y = * (x * z) และ Fi nishing หลักฐาน ? ควันหลง 2.10 Let X, Y, Z เป็นองค์ประกอบใด ๆ ในพีชคณิต KK-X ได้แล้ว (1) * Y Z ≤ x ถ้าหากว่า X * Z ≤ Y (2) (Z * x) * (Z * y) ≤ X * Y (3) x ≤ Y หมายถึง X * Z ≤ Y * Z โจทย์ 2.11 Let X, Y, Z เป็นองค์ประกอบใด ๆ ในเอ็กซ์ KK-พีชคณิตแล้ว (1) ((x * y) * y) * การ y = x * Y (2) (x * y) * 0 = (x * 0) * (y * 0) พิสูจน์ (1) จากทฤษฎีบท 2.3 (2) และทฤษฎีบท 2.7 (1), (((x * y) * y) * y) * (x * y) ≤ X * ((x * y) * y) = 0 ดังนั้น (((x * y) * y) * y) * (x * y) = 0 ตั้งแต่ (x * y) * (((x * y) * y) * y) = ((x * y) * y) * ((x * y) * y) = 0 ดังนั้นโดย KK-3 (x * y) * การ y = x * Y (2) ตั้งแต่ (x * 0) * (y * 0) = (x * 0) * (y * ((x * y) * (x * y))) = (x * 0) * ((x * Y) * (y * (x * y))) = (x * 0) * ((x * y) * (* x (y * y))) = (x * y) * ((x * 0) * (x * 0)) = (x * y) * 0 หลักฐานเสร็จสมบูรณ์ ?
ในบทความนี้เราจะแสดง N สำหรับชุดของจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมดคือ
1038 เอสเอและ Asawasamrit สุดประเสริฐ
0,1,2, ... , และ N * สำหรับชุดของตัวเลขทั้งหมดจากธรรมชาติคือ 1 , 2,3, ... , และเราจะยังใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้ในระยะเวลาสั้น ๆ : y0 * x = x, yn * x = Y * ( ... * (* Y (Y * x)))? ?? ? ntimes ที่ x, y เป็นองค์ประกอบใด ๆ ใน KK-พีชคณิตและ n ∈ N * โจทย์ 2.12 ให้ x, y เป็นองค์ประกอบใด ๆ ในพีชคณิต KK-X ได้แล้ว (1) ((y * x) * x) n * x = x * yn สำหรับ n ใด ๆ ∈เอ็น (2) (xn * 0) * 0 = (x * 0) n * 0 สำหรับ n ใด ๆ ∈เอ็นหลักฐาน ให้ X เป็น KK-พีชคณิตและ x, y ∈ X และ N, M ∈เอ็น (1) ดำเนินการโดยการเหนี่ยวนำบน n และนิยามคำสั่ง P (n), ((y * x) * x) n * x = yn * x เราจะเห็นว่า P (0) เป็นความจริง ((y * x) * x) 0 * x = x = x * y0 สมมติว่า P (k) เป็นจริงสำหรับบาง K พล≥ 0, ที่อยู่ ((y * x) * x) k * x = x * YK ตั้งแต่ ((y * x) * x) + 1 k * x = ((y * x) * x) * (((y * x) * x) k * x) = ((y * x) * x) * (YK * x) = YK * (((y * x) * x) * x) = YK * (y * x) = YK + 1 * x การแสดงนี้ว่า P (k +1) เป็นความจริงและตามหลักการของการเหนี่ยวนำคณิตศาสตร์, P (n) เป็นจริงสำหรับแต่ละ n ∈ N * (2) ตั้งแต่ (xn * 0) * 0 = (x * (xn-1 * 0)) * 0 = (x * 0) * ((xn-1 * 0) * 0) = (x * 0) * ((x * (xn-2 * 0)) * 0) = (x * 0) * ((x * 0) * ((xn-2 * 0) * 0)) = (x * 0) 2 * ( (xn-2 * 0) * 0) = ... = (x * 0) n * 0? ได้รับ x ∈ X ถ้ามัน satis Fi ES X * 0 = 0 นั่นคือ 0 ≤ x องค์ประกอบ x เป็น calleda องค์ประกอบในเชิงบวกของเอ็กซ์โดย nition de fi, องค์ประกอบศูนย์ 0 ของ X เป็นบวก โจทย์ 2.12 ให้ x เป็นองค์ประกอบใด ๆ ในเอ็กซ์ KK-พีชคณิตแล้ว ((X * 0) * 0) * x เป็นองค์ประกอบในเชิงบวกของ X สำหรับทุก x ∈เอ็กซ์หลักฐาน ตั้งแต่ (((X * 0) * 0) * x) * 0 = (((X * 0) * 0) * 0)) * (x * 0) = (x * 0) * (x * 0) = 0. ดังนั้น ((x * 0) * 0) * x เป็นองค์ประกอบในเชิงบวกของเอ็กซ์?

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คำศัพท์คณิตศาสตร์เดอ จึง nition 2.4 . เดอจึงต้องการความสัมพันธ์ทวิภาค≤ใน KK พีชคณิต x โดยให้ x ≤ Y Y ถ้าและเพียงถ้า∗ x = 0โครงสร้างของ KK พีชคณิตและคุณสมบัติของมันตอนนี้ข้อเสนอ 2.5 ถ้า ( x ; ∗ , 0 ) เป็น KK พีชคณิตแล้ว ( x ; ≤ ) เป็นบางส่วนเพื่อตั้งค่า ข้อเสนอ 2.6 ถ้า ( x ; ∗ , 0 ) เป็น KK พีชคณิตและ X ≤ 0 แล้ว x = 0 , สำหรับการใด ๆ X ∈ X . นอกจากนี้ , 0 เรียกว่าธาตุ X น้อยที่สุดในการพิสูจน์ ให้ x ≤ 0 แล้ว 0 ∗ x = 0 โดย kk-2 , 0 ∗ x = x ดังนั้น x = 0 มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับ KK พีชคณิต ทฤษฎีบท 2.7 . ให้ ( X ; ∗ , 0 ) เป็น KK พีชคณิตถ้าและเพียงถ้ามันพอจึงเสนอเงื่อนไขต่อไปนี้ : สำหรับ x , y , z ∈ X ( 1 ) ( Y ∗ Z ) ∗ ( X ∗ Z ) ≤ ( X ∗ Y ) ( 2 ) ( ( X ∗∗ Y Y ) ) ≤ x ; ( 3 ) x ≤ Y Y ถ้าและเพียงถ้า∗ x = 0 ข้อเสนอโครงการ . ให้ x , y , z เป็นองค์ประกอบในพีชคณิต KK X แล้ว ( 1 ) X Y Z Y หมายถึง≤∗≤ x ∗ Z ( 2 ) X Y Z ≤หมายถึง∗ x ≤ Z Y ∗ข้อเสนอ 2.9 . ให้ x , y , z เป็นองค์ประกอบใน KK พีชคณิต x แล้ว x ∗ ( Y ∗ Z ) Y ( X = ∗∗ Z ) พิสูจน์ ตั้งแต่ทฤษฎีบท 2.7 ( 2 ) , ( x ∗ Z ) ∗ Z ≤ X , และข้อเสนอ 2.8 ( 1 ) เรารับ∗ X ( Y ∗ Z ) ≤ ( ( X ∗ Z ) ∗ Z ) ∗ ( Y ∗ Z ) ให้ x = y และ y = x ∗ Z ในทฤษฎีบท 2.7 ( 1 ) ไปตาม ( ( X ∗ Z ) ∗ Z ) ∗ ( Y ∗ Z ) Y ( x ≤∗∗ Z ) โดย transitivity ของ≤ให้∗ X ( Y ∗ Z ) Y ( x ≤∗∗ Z ) และเราแทนด้วย X Y และ Y โดย X , Y ( X ∗เราได้รับ∗ Z ) x ( y ≤∗∗ Z ) โดยป้องกันการสมมาตรของ≤จึง∗ X ( Y ∗ Z ) Y ( X = ∗∗ Z ) และจึง nishing พิสูจน์ ควันหลง 2.10 . ให้ x , y , z เป็นองค์ประกอบในพีชคณิต KK X Y Z แล้ว ( 1 ) ∗≤ x ถ้าและเพียงถ้า X Y Z ≤∗ ( 2 ) ( Z ( Z ∗∗∗ x ) Y ) x ∗≤ Y ( 3 ) x ≤ Y หมายถึง x ∗ Z ≤ Y ∗ Z ข้อเสนอ 2.11 . ให้ x , y , z เป็นองค์ประกอบในพีชคณิต KK X แล้ว ( 1 ) ( ( X ∗ Y ) ∗ Y ) y = x ∗∗ Y ( X ( 2 ) ∗ Y ) ∗ 0 = ( x ∗ 0 ) ∗ ( Y ∗ 0 ) พิสูจน์ ( 1 ) จาก ( 1 ) ทฤษฎีบททฤษฎีบท 2.3 และ 2.7 ( 1 ) ) , ( ( ( X ∗∗ Y Y ) ) ∗ Y ( x ) ∗∗ Y ) ≤ x ∗ ( ( X ∗∗ Y ) Y ) = 0 ดังนั้น ( ( ( X ∗∗ Y Y ) ) ∗ Y ( x ) ∗∗ Y ) = 0 ตั้งแต่ ( X ∗ Y ) ∗ ( ( ( X ∗∗ Y Y ) ) ∗ y ) = ( ( X ∗∗ Y Y ) ) ∗ ( ( X ∗∗ Y ) Y ) = 0 ดังนั้น โดย kk-3 ( X ∗ Y ) ∗ y = x ∗ Y ( X ( 2 ) ตั้งแต่∗ 0 ) ∗ ( Y ∗ 0 ) = ( x ∗ 0 ) ∗ ( Y ∗ ( ( X ∗∗ ( X ∗ Y Y ) ) ) ) ) ) ) ) = ( x ∗∗ ( 0 ) X ( Y Y ) ∗∗∗ ( X ∗ Y ) ) ) ) ) ) ) = ( x ∗ 0 ) ∗ ( ( X ∗∗ ( Y ) ( Y ∗∗ X Y ) ) ) ) ) ) ) = ( x ∗ Y ) ∗ ( ( X ∗ 0 ) ∗ ( X ∗ 0 ) ) = ( x ∗ Y ) ∗ 0 หลักฐานที่สมบูรณ์ในบทความนี้เราจะแสดง N สำหรับชุดของทั้งหมด nonnegative จำนวนเต็ม เช่น1038 . asawasamrit สายทองยนต์และ0,1,2 , . . . , และ N ∗สำหรับชุดของตัวเลขที่เป็นธรรมชาติทั้งหมด คือ 1 , 2 , 3 . . . . . . . และเราก็จะใช้สัญลักษณ์ในช่วงเวลาต่อไปนี้ : y0 ∗ x = x , y ( x = y ∗∗ ( . . . . . . . ∗ ( Y ∗ ( Y ∗ X ) ) ) ) ) ) ) เท่าที่ X , Y มีองค์ประกอบใน KK พีชคณิตและ∈ N ∗ . ข้อเสนอ 2.12 . ให้ x , y เป็นองค์ประกอบในพีชคณิต KK แล้ว ( 1 ) X ( Y ∗ X ) ∗ X ) N ∗ x = ใน∗ x ใด ๆ ∈ N N ( 2 ) ( คริสเตียน∗ 0 ) ∗ 0 = ( x ∗ 0 ) n ∗ 0 n ใด ๆ∈ , หลักฐาน Let X be a KK-algebra and x,y ∈ X and n,m ∈ N. (1) Proceed by induction on n and defined the statement P(n),((y ∗x)∗x )n∗x = yn∗x. We see that P(0) is true, ((y∗x)∗x)0∗x = x = y0∗x. Assume that P(k) is true for some arbitrary k ≥ 0, that is ((y∗x)∗x)k ∗x = yk ∗x. Since ((y∗x)∗x)k+1∗x = (( y∗x)∗x)∗(((y∗x)∗x)k∗x) = (( y∗x)∗x)∗(yk∗x)= yk∗(((y∗x)∗x)∗x)=yk∗(y∗x)=yk+1∗x. This show that P(k +1) is true and by the principle of mathematical induction, P(n) is true for each n ∈ N∗. ( 2 ) ตั้งแต่ ( คริสเตียน∗ 0 ) ∗ 0 = ( x ∗ ( คริสเตียน− 1 ∗ 0 ) ∗ 0 = ( x ∗ 0 ) ∗ ( ( ซิน− 1 ∗ 0 ) ∗ 0 ) = ( x ∗ 0 ) ∗ ( ( X ∗ ( คริสเตียน− 2 ∗∗ 0 0 ) ) = ( x ∗ 0 ) ∗ ( ( X ∗ 0 ) ∗ ( ( ซิน− 2 ∗ 0 ) ∗ 0 ) ) = ( x ∗ 0 ) 2 ∗ ( ( ซิน− 2 ∗ 0 ) ∗ 0 ) = . . . . . . . = ( x ∗ 0 ) n ∗ 0 ให้ x ∈ X ถ้ามันพอจึง∗ ES x 0 = 0 , 0 ≤ X , ธาตุ X เป็น calleda บวกธาตุ X โดย เดอ จึง nition , ศูนย์องค์ประกอบ 0 x มีค่าเป็นบวก ข้อเสนอ 2.12 . ให้ x เป็นองค์ประกอบในพีชคณิต KK X แล้ว ( ( X ∗ 0 ) ∗ 0 ) ∗ x บวกองค์ประกอบของ x สำหรับทุกๆ x ∈เอ็กซ์ พิสูจน์ ตั้งแต่ ( ( ( X ∗ 0 ) ∗ 0 ) ∗ X ) ∗ 0 = ( ( ( X ∗ 0 ) ∗ 0 ) ∗ 0 ) ∗ ( X ∗ 0 ) = ( x ∗ 0 ) ∗ ( X ∗ 0 ) = 0 ดังนั้น ( ( X ∗ 0 ) ∗ 0 ) ∗ x เป็นองค์ประกอบที่ดีของ X