This article is about quaternions i

This article is about quaternions in mathematics. For other uses, see Quaternion (disambiguation).
Quaternion multiplication
× 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k −j
j j −k −1 i
k k j −i −1
In mathematics, the quaternions are a number system that extends the complex numbers. They were first described by Irish mathematician William Rowan Hamilton in 1843[1][2] and applied to mechanics in three-dimensional space. A feature of quaternions is that multiplication of two quaternions is noncommutative. Hamilton defined a quaternion as the quotient of two directed lines in a three-dimensional space[3] or equivalently as the quotient of two vectors.[4]
Quaternions find uses in both theoretical and applied mathematics, in particular for calculations involving three-dimensional rotations such as in three-dimensional computer graphics, computer vision and crystallographic texture analysis.[5] In practical applications, they can be used alongside other methods, such as Euler angles and rotation matrices, or as an alternative to them, depending on the application.
In modern mathematical language, quaternions form a four-dimensional associative normed division algebra over the real numbers, and therefore also a domain. In fact, the quaternions were the first noncommutative division algebra to be discovered. The algebra of quaternions is often denoted by H (for Hamilton), or in blackboard bold by (Unicode U+210D, ℍ). It can also be given by the Clifford algebra classifications Cℓ0,2(R) ≅ Cℓ03,0(R). The algebra H holds a special place in analysis since, according to the Frobenius theorem, it is one of only two finite-dimensional division rings containing the real numbers as a proper subring, the other being the complex numbers. These rings are also Euclidean Hurwitz algebras, of which quaternions are the largest associative algebra.
The unit quaternions can therefore be thought of as a choice of a group structure on the 3-sphere S3 that gives the group Spin(3), which is isomorphic to SU(2) and also to the universal cover of SO(3).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทความนี้เกี่ยวกับ quaternions ในวิชาคณิตศาสตร์ได้ สำหรับการใช้งานอื่น ๆ ดูควอเทอร์เนียน (แก้ความกำกวม)การคูณควอเทอร์เนียน× 1 ฉันเจเค1 1 ฉันเจเคฉันฉัน −1 k −jเจเจ −k −1 ฉันk k เจ −i −1ในวิชาคณิตศาสตร์ quaternions เป็นระบบเลขที่ขยายจำนวนเชิงซ้อน พวกเขาได้ก่อนอธิบาย โดยนักคณิตศาสตร์ไอริช William Rowan Hamilton ใน 1843 [1] [2] และใช้กลไกในพื้นที่สามมิติ คุณลักษณะของ quaternions คือว่า คูณสอง quaternions noncommutative ฮามิลตันกำหนดเป็นควอเทอร์เนียน เป็นผลหารของสองบรรทัดโดยตรงในพื้นที่สามมิติ [3] หรือ equivalently เป็นผลหารของสองเวกเตอร์ [4]Quaternions พบใช้ในทั้งทฤษฎี และการประยุกต์คณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการหมุนเวียนสามมิติเช่นกราฟิกคอมพิวเตอร์แบบสามมิติ คอมพิวเตอร์วิทัศน์ และการวิเคราะห์พื้นผิว crystallographic [5] ในการประยุกต์ใช้งานจริง พวกเขาสามารถใช้ควบคู่ไปกับวิธีอื่น ๆ มุมออยเลอร์และเมทริกซ์หมุน หรือ เป็นทางเลือกให้พวกเขา ขึ้นอยู่กับโปรแกรมประยุกต์ในภาษาทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ quaternions แบบพีชคณิต four-dimensional สัมพันธ์ normed หารจำนวนจริง และยังโดเมน ในความเป็นจริง การ quaternions ได้พีชคณิต noncommutative ส่วนแรกการค้นพบ พีชคณิตของ quaternions มักจะสามารถระบุ โดย H (ในฮามิลตัน), หรือในกระดานดำเป็นตัวหนา โดย (Unicode U + 210D ℍ) นอกจากนี้ยังได้รับ โดยการคลิฟฟอร์ดพีชคณิตจัดประเภท Cℓ0,2(R) ≅ Cℓ03,0(R) พีชคณิต H ถือเป็นสถานที่พิเศษในการวิเคราะห์เนื่องจาก ตามทฤษฎีบทโฟรเบนีอุส แหวนส่วนจำกัดมิติเพียงสองที่ประกอบด้วยจำนวนจริงเป็นแบบ subring เหมาะสม อื่น ๆ ที่เป็นเชิงซ้อนอย่างใดอย่างหนึ่ง แหวนเหล่านี้ยังมี algebras Euclidean Hurwitz, quaternions กำลังพีชคณิตแบบจับคู่ที่ใหญ่ที่สุดดังนั้นจะคิดของ quaternions หน่วยเป็นทางเลือกของโครงสร้างกลุ่มใน S3 3 ทรงกลมที่ให้กลุ่ม Spin(3) ซึ่งเป็น isomorphic SU(2) และยังครอบคลุมสากลของ SO(3)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทความนี้เป็นเรื่อง quaternions ในวิชาคณิตศาสตร์ สำหรับความหมายอื่นดู Quaternion (disambiguation).
Quaternion คูณ
× 1 IJK
1 1 IJK
ii -1 k -j
jj -k -1 ฉัน
k KJ -i -1
ในคณิตศาสตร์ quaternions เป็นระบบตัวเลขที่ขยายตัวเลขที่ซับซ้อน . พวกเขาได้รับครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวไอริชวิลเลียมโรวันแฮมิลตันใน 1843 [1] [2] และนำไปใช้กลศาสตร์ในพื้นที่สามมิติ คุณสมบัติของ quaternions คือคูณสอง quaternions เป็น noncommutative แฮมิลตันที่กำหนดไว้ quaternion เป็นความฉลาดของทั้งสองสายการกำกับในพื้นที่สามมิติ [3] หรือเท่ากันเป็นความฉลาดของสองเวกเตอร์. [4]
Quaternions หาใช้ทั้งในทางทฤษฎีและคณิตศาสตร์ประยุกต์โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับสามมิติ ผลัดเช่นคอมพิวเตอร์กราฟิกสามมิติคอมพิวเตอร์วิสัยทัศน์และการวิเคราะห์พื้นผิว crystallographic. [5] ในการใช้งานจริงที่พวกเขาสามารถนำมาใช้ควบคู่ไปกับวิธีการอื่น ๆ เช่นมุมออยเลอร์และการฝึกอบรมการหมุนหรือเป็นทางเลือกที่จะให้พวกเขาขึ้นอยู่กับ แอพลิเคชัน.
ในภาษาทางคณิตศาสตร์ที่ทันสมัย ​​quaternions รูปแบบเชื่อมโยงสี่มิติพีชคณิตส่วนเกณฑ์กว่าตัวเลขจริงและดังนั้นจึงยังโดเมน ในความเป็นจริงเป็น quaternions พีชคณิต noncommutative ส่วนแรกที่ถูกค้นพบ พีชคณิตของ quaternions มักจะแสดงโดยเอช (แฮมิลตัน) หรือในกระดานดำหนาโดย (Unicode U + 210D, ℍ) นอกจากนี้ยังสามารถได้รับจากการจำแนกประเภทพีชคณิต Clifford Cℓ0,2 (R) ≅Cℓ03,0 (R) H พีชคณิตถือเป็นสถานที่พิเศษในการวิเคราะห์เนื่องจากตามทฤษฎีบท Frobenius ก็เป็นเพียงหนึ่งในสองวง จำกัด ส่วนมิติที่มีจำนวนจริงเป็น subring ที่เหมาะสมอื่น ๆ ที่เป็นตัวเลขที่ซับซ้อน แหวนเหล่านี้ยังมีจีบ Hurwitz ยุคลิดซึ่ง quaternions พีชคณิตเป็นสมาคมที่ใหญ่ที่สุด.
quaternions หน่วยดังนั้นจึงอาจจะคิดว่าเป็นทางเลือกของโครงสร้างกลุ่ม S3 3 ทรงกลมที่ช่วยให้กลุ่มสปิน (3) ซึ่งเป็น isomorphic เพื่อ SU (2) และยังครอบคลุมสากลของ SO (3)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทความนี้เกี่ยวกับควอเทอร์เนียนในวิชาคณิตศาสตร์ สำหรับการใช้งานอื่น ๆ , เห็นอัลเทอร์เนทีฟ ( แก้ความกำกวม )

× 1 การคูณควอเทอร์เนียน J K
. ,
1 K −− 1 ผม J
J J K −− 1
K K −− 1
; ฉันในคณิตศาสตร์ ควอเทอร์เนียนเป็นจำนวนระบบที่ขยายตัวเลขที่ซับซ้อน .พวกเขาครั้งแรกที่อธิบายโดยนักคณิตศาสตร์ชาวไอริช วิลเลียม เชกสเปียร์ใน 1843 [ 1 ] [ 2 ] และประยุกต์กลศาสตร์ในสามมิติอวกาศ คุณลักษณะของควอเทอร์เนียนคือการคูณควอเทอร์เนียนสองเป็นมูลฐาน . แฮมิลตันกำหนดควอเทอร์เนียนเป็นแบบสองเส้นในพื้นที่สามมิติกำกับ [ 3 ] หรือก้องเป็นหารของ [ 4 ]
2 เวกเตอร์ควอเทอร์เนียนหาใช้ทั้งในทางทฤษฎีและคณิตศาสตร์ประยุกต์ โดยเฉพาะสำหรับการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการหมุนสามมิติเช่นในคอมพิวเตอร์กราฟิกสามมิติ วิสัยทัศน์คอมพิวเตอร์และการวิเคราะห์พื้นผิวทาง [ 5 ] ในการปฏิบัติงาน สามารถใช้ร่วมกับวิธีอื่นๆ เช่นมุมออยเลอร์และเมทริกซ์การหมุน หรือเป็นทางเลือกของพวกเขาทั้งนี้ขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้ .
ในภาษาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ควอเทอร์เนียนรูปแบบส่วนเชื่อมโยง normed สี่มิติพีชคณิตมากกว่าตัวเลขที่แท้จริงและดังนั้นจึงยังโดเมน ในความเป็นจริง ควอเทอร์เนียนเป็นพีชคณิตมูลฐานกองแรกที่ถูกค้นพบ พีชคณิตของควอเทอร์เนียนมักเขียนแทนด้วย H ( แฮมิลตัน ) หรือในกระดานดำหนา ( Unicode 210D ℍ U , )นอกจากนี้ยังสามารถได้รับโดยคลิฟฟอร์ดพีชคณิตประเภท C ℓ 2 ( R ) ≅ C ℓ 03,0 ( R ) พีชคณิต h ถือเป็นสถานที่พิเศษในการวิเคราะห์เนื่องจากตามทฤษฎีบทโฟรเบนีอุสเป็นหนึ่งในเพียงสองมิติ ส่วนแหวนที่มีจำกัดตัวเลขที่แท้จริงเป็น subring เหมาะสม เป็นตัวเลขที่ซับซ้อน แหวนเหล่านี้ยังใช้พีชคณิต Hurwitz ,ที่ใหญ่ที่สุดในควอเทอร์เนียนมีเชื่อมโยงพีชคณิต .
หน่วยควอเทอร์เนียนจึงสามารถคิดเป็นทางเลือกของโครงสร้างกลุ่มบนทรงกลมสี่มิติ S3 ที่ให้กลุ่มปั่น ( 3 ) ซึ่งเป็นพวกเรา ซู ( 2 ) และยังครอบคลุมถึงสากล ( 3 )