Archimedes' Method of Estimating Pi

Archimedes' Method of Estimating Pi


Date: 5/29/96 at 21:24:35
From: Larry Sherman
Subject: Archimedes' method of estimating pi - ?

Tell me about Archimedes' method for estimating pi using inscribed and
circumscribed polygons about a circle.

Thanks,

Corinna


Date: 5/30/96 at 14:38:30
From: Doctor Darrin
Subject: Re: Archimedes' method of estimating pi - ?

Archimedes knew that the area of a circle was pi * r^2. He estimated
the value of pi by estimating the area of a circle with radius 1 (and
area pi).

To do this, he would calculate the area of a regular polygon inscribed
in the circle. Since the polygon would be entirely contained in the
circle, it would have an area less than the area of the circle. For
instance, if we inscribed a regular hexagon in a circle of radius 1,
we could divide the hexagon into 6 equilateral triangles, each having
sides of length one. The area of the triangles would then be about
.433, so the area of the hexagon is 6*.433=2.60. Thus, we see that pi
is greater than 2.6.

If we circumscribe a hexagon around a circle, then we can divide it
into six equilateral triangles each having area .577, so the hexagon
has area 3.46. Since the circle is inside the hexagon, it has area
less than 3.46, so we see that pi is less than 3.46.

Archimedes did much better than this - he used regular polygons with
96 sides, and found that pi is between 3+(10/71) and 3+(1/7).

I hope this helps.

-Doctor Darrin, The Math Forum
Check out our web site! http://mathforum.org/dr.math/

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ของอาร์คิมิดีวิธีการประมาณค่า Piวัน: 5/29/96 เวลา 21:24:35จาก: Larry Shermanเรื่อง: วิธีของอาร์คาดผี -บอกฉันเกี่ยวกับวิธีการของอาร์คิมิดีสำหรับประมาณปี่ใช้จารึก และ รูปหลายเหลี่ยมที่อ้างเกี่ยวกับวงกลมขอบคุณCorinnaวัน: 5/30/96 เวลา 14:38:30จาก: หมอ Darrinเรื่อง: Re: วิธีของอาร์คาดผี -อาร์คิมิดีรู้ว่า พื้นที่ของวงกลมคือ pi * r ^ 2 เขาประมาณ ค่าของ pi โดยการประเมินพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี 1 (และ พี่ตั้ง) การทำเช่นนี้ เขาจะคำนวณพื้นที่ของรูปเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ ในวงการ เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมจะมีอยู่ทั้งหมดในการ วงกลม มันจะมีพื้นที่น้อยกว่าพื้นที่ของวงกลม สำหรับ อินสแตนซ์ ถ้าเราจารึกไว้หกเหลี่ยมปกติเป็นวงกลมรัศมี 1 เราอาจแบ่งรูปหกเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า 6 แต่ละ ด้านความยาวหนึ่ง พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแล้วเป็นเกี่ยวกับ .433 ดังนั้นพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมเป็น 6 * 433 = 2.60 ดังนั้น เราเห็นว่า pi มีค่ามากกว่า 2.6 ถ้าเรา circumscribe หกเหลี่ยมรอบวง แล้วเราสามารถแบ่งได้ เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าหกแต่ละคนมีพื้นที่.577 ดังนั้นรูปหกเหลี่ยม มีพื้นที่ 3.46 ตั้งแต่วงกลมภายในรูปหกเหลี่ยม มีบริเวณ น้อยกว่า 3.46 เพื่อให้เราเห็นว่า pi เป็น 3.46 น้อยกว่า อาร์คิมิดีได้กว่านี้ - เขาใช้อภิปรายด้วย ด้าน 96 และ pi ที่อยู่ระหว่าง 3+(10/71) และ 3+(1/7) ฉันหวังว่า นี้ช่วย-แพทย์ Darrin หมวดหมู่: ตรวจสอบเว็บไซต์ของเรา http://mathforum.org/dr.math/

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

'วิธีการประมาณค่า Pi Archimedes


วันที่: 5/29/96 ที่ 21:24:35
จากคุณ: ลาร์รีเชอร์แมน
เรื่อง Archimedes'? วิธีการประเมิน Pi -

บอกฉันเกี่ยวกับวิธีการ Archimedes 'สำหรับการประเมิน Pi ใช้จารึกและ
รูปหลายเหลี่ยม circumscribed เกี่ยวกับวงกลม .

ขอบคุณ

Corinna


วันที่: 5/30/96 14:38:30 ที่
มาจาก: หมอ Darrin
เรื่อง: Re: วิธี Archimedes 'การประเมิน Pi -

Archimedes รู้ว่าพื้นที่ของวงกลมเป็น Pi * R ^ 2 เขาคาด
ค่าของ Pi โดยประมาณพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี 1 (และที่
Pi พื้นที่).

การทำเช่นนี้เขาจะคำนวณพื้นที่ของรูปเหลี่ยมปกติจารึก
ในวงกลม ตั้งแต่รูปหลายเหลี่ยมจะมีอยู่ทั้งหมดใน
วงกลมมันจะมีพื้นที่น้อยกว่าพื้นที่ของวงกลม สำหรับ
ตัวอย่างเช่นถ้าเราจารึกไว้หกเหลี่ยมปกติในวงกลมรัศมี 1,
เราสามารถแบ่งออกเป็นหกเหลี่ยม 6 รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าแต่ละคนมี
ความยาวด้านของหนึ่ง พื้นที่ของ triangles ก็จะอยู่ที่ประมาณ
0.433 ดังนั้นพื้นที่หกเหลี่ยมคือ 6 * 0.433 = 2.60 ดังนั้นเราจะเห็นว่าพี่
มีค่ามากกว่า 2.6.

ถ้าเรา จำกัด วงหกเหลี่ยมรอบวงกลมแล้วเราสามารถแบ่งออก
เป็นหกเหลี่ยมด้านเท่ากันหมดแต่ละพื้นที่มี 0.577 ดังนั้นหกเหลี่ยม
มีพื้นที่ 3.46 ตั้งแต่วงกลมอยู่ภายในหกเหลี่ยมมันมีพื้นที่
น้อยกว่า 3.46 ดังนั้นเราจะเห็นว่าพี่น้อยกว่า 3.46.

Archimedes ได้ดีกว่านี้ - เขาใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติกับ
96 ด้านและพบปี่ที่อยู่ระหว่าง 3+ (10 / 71) และ 3+ (1/7).

ฉันหวังว่านี้จะช่วยให้.

-Doctor Darrin, คณิตศาสตร์ฟอรั่ม
ตรวจสอบเว็บไซต์ของเรา! http://mathforum.org/dr.math/

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

อาร์คิมิดีส " วิธีการประมาณ พิวันที่ : 5 / 29 / 96 ที่ 21:24:35จาก : Larry เชอร์แมนหัวข้อ : อาร์คิมิดีส " วิธีการประมาณปี่ - ?บอกฉันเกี่ยวกับอาร์คิมิดีส " วิธีการในการประมาณค่าและใช้จารึกพิพื้นที่ที่ จํากัด รูปหลายเหลี่ยมเกี่ยวกับวงกลมขอบคุณคอรินนาวันที่ : 5 / 30 / 96 ที่ 14:38:30จาก : หมอดารินเรื่อง : Re : อาร์คิมิดีส " วิธีการประมาณปี่ - ?ได้รู้ว่าพื้นที่วงกลม คือ pi * r ^ 2 เขาประมาณค่าของพาย โดยคำนวณพื้นที่วงกลมที่มีรัศมี 1 ( และปี่ พื้นที่ )ที่ต้องทำแบบนี้ เขาจะคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติจารึกในวงกลม ตั้งแต่รูปหลายเหลี่ยมจะมีทั้งหมดอยู่ในวงกลม มันจะมีพื้นที่น้อยกว่าพื้นที่วงกลม สำหรับตัวอย่าง ถ้าเราสลักเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติเป็นวงกลมรัศมี 1เราสามารถแบ่งได้เป็น 6 เหลี่ยม สามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมด แต่ละมีด้านของความยาวหนึ่ง พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้จะเกี่ยวกับ. แล้ว ดังนั้นในพื้นที่ของหกเหลี่ยม 6 * 433 = 2.60 . ดังนั้นเราจึงเห็นว่า พิมากกว่า 2.6ถ้าเราจำกัดหกเหลี่ยมรอบวงกลม แล้วเราสามารถแบ่งมันเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีด้านเท่ากันทุกด้านมีหกแต่ละพื้นที่ มัน ดังนั้น หกเหลี่ยมมีพื้นที่ 3.46 . เนื่องจากวงกลมภายในมีพื้นที่หกเหลี่ยมน้อยกว่าร้อยละ ดังนั้นเราจะเห็นว่าพีน้อยกว่าร้อยละ .อาร์คีมีดีส ได้ดีมาก กว่า นี้ เขาใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติกับ96 ด้านและพบว่าไพระหว่าง 3 + ( 10 / 71 ) และ 3 + ( 1 / 7 )ฉันหวังว่านี้จะช่วยให้- หมอดาริน คณิตศาสตร์ ฟอรั่มตรวจสอบเว็บไซต์ของเรา http://mathforum.org/dr.math/