Abstract: We introduce a generaliza

Abstract: We introduce a generalization of the Connell Sequence which relies on two parameters: the modulus m and the successive row length difference r. We show its relationship with polygonal numbers, examine its limiting behavior, and find an expression for the general term.

1. Introduction
In 1959 Ian Connell [1] introduced to the public a curious sequence which now bears his name

1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, ...

(A001614 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences), in which the first odd number is followed by the next two even numbers, which in turn are followed by the next three odd numbers, and so on.
Lakhtakia and Pickover [3] arranged this sequence as a concatenation of finite subsequences,

Subsequence Number : Subsequence :
1 1
2 2, 4
3 5, 7, 9
4 10, 12, 14, 16
... ...

where the nth subsequence contains n elements, the last of which is n2. So if we let c(n) denote the nth element of the Connell sequence then

c( Tn ) = n2 , (1)

where Tn = n (n + 1)/ 2 denotes the nth triangular number. Lakhtakia and Pickover [3] used (1) to show that

lim n c(n) / n = 2 , (2)

thus explaining the limiting behavior of the Connell sequence. The same authors remarked that (2) could have been obtained directly from the formula for c(n) given by Connell [1]

c(n) = 2n - Floor( ( 1 + Sqrt( 8n - 7 ) ) / 2 ) . (3)

Stevens [4] defined a generalized Connell k-sequence Ck for integers k >= 2 (whereby the classical Connell sequence becomes the special case C2 ). In this paper we further generalize the Connell sequence by affixing another parameter onto Stevens's sequence Ck.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อ: เราแนะนำ generalization ลำดับ Connell ซึ่งอาศัยพารามิเตอร์ที่สอง: เอ็มโมดูลัสและ r ต่างความยาวต่อแถว เราแสดงความ มีตัวเลข polygonal ตรวจสอบลักษณะการทำงานของข้อจำกัด และค้นหานิพจน์สำหรับคำทั่วไป1. บทนำใน 1959 Connell เอียน [1] นำสาธารณะอยากรู้ลำดับที่หมีชื่อของเขาตอนนี้1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, ...(A001614 ในช่วยสารานุกรมของจำนวนเต็มลำดับ), ซึ่ง เลขคี่ตัวแรกตามด้วยหมายเลขคู่ถัดไป 2 ซึ่งจะตาม ด้วยเลขคี่ถัดไปสาม และอื่น ๆ จัดเรียงลำดับนี้เป็นเรียงต่อกันของมีจำกัด subsequences, Lakhtakia และ Pickover [3] หมายเลข subsequence: Subsequence: 1 1 2 2, 4 3 5, 7, 9 4 10, 12, 14, 16 ... ...ที่ subsequence ที่ประกอบด้วยองค์ประกอบ n, n2 สุดท้ายซึ่งเป็น ดังนั้นถ้าเราให้แสดงองค์ประกอบที่ n ของลำดับ Connell แล้ว c(n) c (Tn) = n2, (1)ที่ Tn = n (n + 1) / 2 หมายถึงจำนวนสามเหลี่ยม Lakhtakia และ Pickover [3] ใช้ (1) เพื่อแสดงว่า ริม c(n) n / n = 2, (2)จึง อธิบายพฤติกรรมลำดับ Connell จำกัด ผู้เขียนเดียวกันกล่าวที่ (2) ไม่ได้ถูกรับตรงจากสูตรของ c(n) โดย Connell [1] c(n) = 2n - ชั้น ((1 + sqrt จะ (8n - 7)) / 2 (3) Stevens [4] กำหนด Ck k-ลำดับการ Connell เมจแบบทั่วไปสำหรับจำนวนเต็ม k > = 2 (โดยลำดับ Connell คลาสสิกกลายเป็น C2 กรณีพิเศษ) ในเอกสารนี้เราเพิ่มเติมทั่วไปลำดับ Connell โดย affixing พารามิเตอร์อื่นลงลำดับของ Stevens Ck.

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทคัดย่อ : เราแนะนำลักษณะทั่วไปของเนลลำดับซึ่งอาศัยสองพารามิเตอร์ : โมดูลัสและต่อเนื่องแถวความยาวความแตกต่างอาร์ เราแสดงความสัมพันธ์กับเหลี่ยม ตัวเลข ตรวจสอบการจำกัดพฤติกรรม และค้นหานิพจน์สำหรับระยะทั่วไป .

1 . บทนำ
ในปี 1959 เอียนเนล [ 1 ] แนะนำให้ประชาชนที่อยากรู้อยากเห็นลำดับซึ่งตอนนี้หมี

เค้าชื่อ 1 , 2 ,4 , 5 , 7 , 9 , 10 , 12 , 14 , 16 , 17 , . . . . . . .

( a001614 ในบรรทัดบนสารานุกรมลำดับจำนวนเต็ม ) ซึ่งในเลขคี่ก่อนจะตามด้วยอีกสองแม้ตัวเลข ซึ่งในการเปิด ตามด้วยอีกสาม ตัวเลข และอื่น ๆ
lakhtakia และ pickover [ 3 ] การจัดนี้เป็นลำดับเรียงต่อกัน subsequences จำกัด

ตามเลขที่ : พลังใจ :
1
2 2 , 4
3 57 , 9
4 10 , 12 , 14 , 16
. . . . . . . . . . . . . .

ที่แลกของตามไปด้วย สุดท้าย ซึ่งเป็น 2 . ดังนั้นถ้าเราปล่อยให้ C ( n ) หมายถึง องค์ประกอบของแลกเนลลำดับแล้ว

C ( TN ) = 2 ( 1 )

ที่ TN = n ( n ) 1 / 2 หมายถึงครั้งที่ร้อยสามเหลี่ยมเบอร์ และ lakhtakia pickover [ 3 ] ใช้ ( 1 ) เพื่อแสดงให้เห็นว่า

ลิม N C ( N ) / n = 2

( 2 )ดังนั้นการจำกัดพฤติกรรมของลำดับ คอนเนล . ผู้เขียนเดียวกันกล่าวว่า ( 2 ) จะได้รับโดยตรงจากสูตร C ( n ) โดยให้เนล [ 1 ]

C ( n ) = 2n - พื้น ( 1 SQRT ( 8n - 7 ) ) / 2 ) ( 3 )

สตีเว่น [ 4 ] นิยามทั่วไป คอนเนล k-sequence CK สำหรับจำนวนเต็ม k > = 2 ( โดยลำดับ คอนเนลคลาสสิกเป็นกรณีพิเศษ C2 )ในกระดาษนี้เราเพิ่มเติม generalize เนลลำดับโดย affixing พารามิเตอร์อื่นลงเป็นลำดับ สตีเว่น ซีเค