†The word sequence is also used for

†The word sequence is also used for functions having for domain the set of
non-negative integers {0, 1, 2, 3, …}. The number f(n) is then properly
described as the (n+1)th term.
Apart from giving arithmetic and geometric progressions (n®a+bn, n®arn
respectively) as examples of sequences, the text then returns to further
discussion of the function concept.
Later on various iterative processes are used to approximate certain numbers,
for instance the Newton-Raphson technique for a root of an equation or step-bystep
methods to solve differential equations. It is only in the very last chapter of
the fourth and last book of the course that the notion of convergence of a
sequence is discussed in any formal sense. First there is a discussion of the
“challenge and response” procedure in the particular case (SMP, Book 4,
chapter 43, p. 1309):
12
, 1
4 , 1
8 , … , 12
( )i, …
No term of this sequence is zero, but if we programmed a computer to
evaluate them, the terms would soon be printed as zeros, since they would be
smaller than the smallest number that the machine could handle. Furthermore,
this would be true however many decimal places the output could print.
Challenged to produce a number N which will enable us to say ‘all terms from
the Nth onwards will be zero to the first 50 decimal places’, we can certainly
find such a number; and we can do so whatever number the challenger puts in
the place of 50. Notice two things: we are not committed to produce the
smallest such number N, but only one suitable N; secondly, we cannot produce
a single number N for all time, which will dispose of the challenge no matter
what number is put in place of 50. Our response depends on the challenge with
which we are faced. Formally, we can express the situation like this: Given
any number p, there can be found a number N such that
1
2i < 101- p for all i > N.
When this is true, we say that the limit of l/2i is zero, or that l/2i converges to
zero, as i increases without limit. This is written
lim
i®¥
1
2i = 0.
There is, of course, no particular virtue in decimal representation; from the
mathematical point of view all that is necessary is to say that
For every positive number k, there is a number N such that 1
2i < k for all i >N.
Further examples are given (in which the functions are all given neatly by
formulae) of both convergent and divergent sequences until after nearly five
pages of discussion we reach (SMP, Book 4, chapter 43, p. 1312):
Definition. If for every positive number k there is a number N such that
i > N Þ f (i) - c < k ,
the sequence {f(i)} has the limit c, and we write
f (i)®c as i®¥, or lim
i®¥
f (i) = c .
In particular, therefore, we find a spiral technique in use, introducing the
concept contextually in specific examples, then returning to it at various times

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ลำดับคำ †The ใช้สำหรับฟังก์ชันที่มีโดเมนชุดจำนวนเต็มไม่เป็นลบ {0, 1, 2, 3,...} F(n) เลขถูกแล้วอธิบายว่า (n + 1) ศัพท์ thนอกจากให้เลขคณิตและการก้าวหน้าเรขาคณิต (n ® + พัน n ® อาร์นตามลำดับ) เป็นตัวอย่างของลำดับ ข้อความแล้วส่งกลับไปอีกอภิปรายแนวคิดของฟังก์ชันในภายหลังใช้กระบวนการซ้ำต่าง ๆ การประมาณตัวเลขบางอย่างตัวอย่างเทคนิค Raphson นิวตันสำหรับรากของสมการหรือขั้น bystepวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ มันเป็นเพียงในบทท้ายสุดของวันที่สี่ และสุดท้ายหนังสือของหลักสูตรที่แนวคิดของการบรรจบกันของความลำดับจะกล่าวถึงในทางใด ๆ ต้อง มีคำอธิบายเกี่ยวกับการตอน "ความท้าทายและผลตอบรับ" ในกรณี (SMP หนังสือ 4บทที่ 43, p. 1309):12, 14, 18,... 12( )i, …ไม่มีคำว่าลำดับนี้เป็นศูนย์ แต่ถ้าเราตั้งโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อคุณ เงื่อนไขจะทันทีสามารถพิมพ์เป็นเลขศูนย์ เนื่องจากพวกเขาจะน้อยกว่าจำนวนน้อยที่สุดที่เครื่องสามารถจัดการ นอกจากนี้นี้จะเป็นจริงแต่ทศนิยมกี่ผลลัพธ์สามารถพิมพ์ได้ท้าทายเพื่อผลิตจำนวน N ซึ่งจะช่วยให้เราพูด ' เงื่อนไขทั้งหมดจากเกิดขึ้นเป็นต้นไปจะเป็นศูนย์ 50 ก่อนทศนิยมของ เราสามารถแน่นอนค้นหาเลขเช่น และเราสามารถทำให้หมายเลขใดชาลเลนเจอร์ที่ทำให้50 สังเกตสิ่งที่สอง: เราจะไม่มุ่งมั่นที่จะผลิตน้อยที่สุด N เช่นหมายเลข แต่เดียว N เหมาะ ประการที่สอง เราไม่สามารถผลิตหมายเลขเดียว N ครั้งทั้งหมด ที่จะทิ้งความท้าทายไม่ว่าเป็นใส่หมายเลขแทน 50 การตอบสนองของเราขึ้นอยู่กับความท้าทายด้วยซึ่งเราต้องเผชิญกับการ อย่างเป็นกิจจะลักษณะ เราสามารถแสดงสถานการณ์เช่นนี้: ให้มีจำนวน p สามารถพบหมายเลข N ที่12i < 101 - p สำหรับฉัน > N.เมื่อเป็นจริง เรากล่าวว่า จำนวน l/2i เป็นศูนย์ หรือที่ที่ l 2i converges เพื่อเป็นศูนย์ เมื่อฉันมากขึ้น โดยไม่มีขีดจำกัด นี้เขียนlimฉัน ® ¥12i = 0มี แน่นอน คุณธรรมไม่เฉพาะในการแสดงทศนิยม จากการคณิตศาสตร์มองทั้งหมดที่จำเป็นจะบอกว่าK ทุกเลขเป็นบวก เป็น N หมายเลขดังกล่าวที่ 12i < k ทั้งหมดฉัน > N.(ซึ่งฟังก์ชันทั้งหมดได้อย่างโดยตัวอย่างเพิ่มเติมได้สูตร) ลำดับ convergent และขันติธรรมจนกว่าหลังเกือบห้าหน้าสนทนา (SMP หนังสือ 4 บทที่ 43, p. 1312) ถึงเรา:คำจำกัดความ ถ้าสำหรับทุก k หมายเลขบวก มีจำนวน N ที่ฉัน > N Þ f (i) - c < kลำดับ {f(i) } มีซีจำกัด และเราเขียนf (i) ® เป็นฉัน c ® ¥, หรือริมฉัน ® ¥f (i) = cโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ดังนั้น เราค้นหาเทคนิคเกลียวใช้ แนะนำแนวคิด contextually ในตัวอย่างเฉพาะเจาะจง กลับไปที่เวลาต่าง ๆ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

†ลำดับเป็นคำที่ใช้สำหรับฟังก์ชั่นที่มีสำหรับโดเมนชุดของ
integers เชิงลบ {0, 1, 2, 3, ... } ฉจำนวน (n)
แล้วต้องอธิบายว่า(n + 1) ครั้งที่ระยะ.
นอกเหนือจากการให้การทางคณิตศาสตร์และก้าวหน้าทางเรขาคณิต (n®a +
พันล้านn®arnตามลำดับ) เป็นตัวอย่างของลำดับข้อความแล้วส่งกลับต่อไป
การอภิปรายของแนวคิดการทำงาน.
ต่อมาเมื่อกระบวนการซ้ำต่างๆที่ใช้ในการใกล้เคียงกับตัวเลขบางอย่างเช่นเทคนิคนิวตันราฟสันหารากของสมการหรือขั้นตอน bystep วิธีการในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ มันเป็นเพียงในบทสุดท้ายของหนังสือเล่มที่สี่และสุดท้ายของการเรียนการสอนที่ความคิดของการบรรจบกันของที่ลำดับที่จะกล่าวถึงในความหมายอย่างเป็นทางการใดๆ ครั้งแรกที่มีการอภิปรายของที่"ความท้าทายและการตอบสนอง" ขั้นตอนในกรณีเฉพาะ (SMP เล่ม 4 บทที่ 43 พี 1309.) 12 1 4 1 8, ... , 12 () ฉัน ... ระยะเวลาของการไม่มี ลำดับนี้เป็นศูนย์ แต่ถ้าเราตั้งโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่จะประเมินพวกเขาคำว่าเร็วๆ นี้จะมีการพิมพ์เป็นศูนย์เนื่องจากพวกเขาจะมีขนาดเล็กกว่าจำนวนที่น้อยที่สุดที่ตัวเครื่องสามารถจัดการ นอกจากนี้จะเป็นจริง แต่ตำแหน่งทศนิยมหลายเอาท์พุทสามารถพิมพ์. ท้าทายในการผลิตยังไม่มีตัวเลขที่จะทำให้เราสามารถที่จะบอกว่า 'แง่จากชับเป็นต้นไปจะเป็นศูนย์แรก50 ตำแหน่งทศนิยม' แน่นอนเราสามารถหาดังกล่าวหมายเลข; และเราสามารถทำดังนั้นสิ่งที่จำนวนผู้ท้าชิงทำให้ในสถานที่ 50 หนังสือเชิญสองสิ่งที่เราไม่ได้มุ่งมั่นที่จะผลิตจำนวนดังกล่าวมีขนาดเล็กที่สุดยังไม่มีแต่มีเพียงหนึ่งที่เหมาะสมไม่มี; ประการที่สองเราไม่สามารถผลิตหมายเลขเดียวไม่มีตลอดเวลาซึ่งจะทิ้งความท้าทายไม่ว่าสิ่งที่หมายเลขวางในสถานที่50 การตอบสนองของเราขึ้นอยู่กับความท้าทายกับการที่เราจะต้องเผชิญ อย่างเป็นทางการเราสามารถแสดงสถานการณ์เช่นนี้: ให้พีจำนวนใดๆ ที่มีสามารถพบได้จำนวนดังกล่าวไม่มีข้อความที่1 2i <101 หน้าสำหรับทุก i> เอ็นเมื่อสิ่งนี้เป็นความจริงที่เราบอกว่าขีดจำกัด ใน l / 2i เป็นศูนย์หรือว่าลิตร / 2i ลู่ไปยังศูนย์ที่เพิ่มขึ้นผมโดยไม่มีขีดจำกัด นี้ถูกเขียนลิ้มi? ¥ 1 2i = 0 นั่นคือแน่นอนไม่มีคุณธรรมโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการเป็นตัวแทนทศนิยม; จากจุดทางคณิตศาสตร์ของมุมมองทั้งหมดที่จำเป็นคือจะบอกว่าสำหรับk จำนวนบวกทุกมีจำนวนไม่มีข้อความดังกล่าวที่ 1 2i <k สำหรับทุก i> เอ็น. นอกจากนี้ตัวอย่างจะได้รับ (ซึ่งฟังก์ชั่นทั้งหมดที่กำหนดไว้อย่างเรียบร้อย โดยสูตร) ​​ของทั้งสองมาบรรจบกันและลำดับที่แตกต่างกันจนกว่าจะได้เกือบห้าหน้าของเราไปถึงการอภิปราย (SMP, เล่ม 4 บทที่ 43 พี 1312). ความละเอียด ถ้าทุกจำนวนบวก k มีจำนวนดังกล่าวที่ยังไม่มีi> ไม่มีÞ f (i) - ค <k, ลำดับ {f (i)} มีข้อ จำกัด คและเราเขียนf (i) ®cที่ฉัน ®¥หรือลิ้มi? ¥ f (i) = c. โดยเฉพาะอย่างยิ่งดังนั้นเราจึงพบว่าเทคนิคเกลียวในการใช้งานแนะนำแนวคิดในบริบทตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงแล้วกลับไปในช่วงเวลาต่างๆ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ภีษมะคำลำดับ นอกจากนี้ยังใช้สำหรับฟังก์ชันที่มีโดเมนเซตของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่เชิงลบ
{ 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } หมายเลข f ( n ) แล้วอย่างถูกต้อง
อธิบายเป็น ( 1 ) th . .
นอกจากให้เลขคณิตและเรขาคณิตก้าวหน้า ( N ®เป็น BN N ® ARN
ตามลำดับ ) เป็นตัวอย่างของลำดับ ข้อความแล้วส่งกลับไปยังการอภิปรายแนวคิดเพิ่มเติม

ฟังก์ชันในภายหลังในกระบวนการต่าง ๆที่ใช้โดยประมาณของตัวเลขบางอย่างเช่น นิวตันราฟสัน
เทคนิคสำหรับรากของสมการ หรือวิธีการ bystep
ขั้นตอนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ มันเป็นเพียงในบทสุดท้ายของ
4 และหนังสือเล่มล่าสุดของหลักสูตรว่า ความคิดของการลู่เข้าของ
ลำดับกล่าวถึงในใด ๆอย่างเป็นทางการเลย ครั้งแรก มีการอภิปรายของ
" และขั้นตอนการตอบสนอง " ความท้าทายในคดีนี้โดยเฉพาะ ( SMP , เล่ม 4 ,
บทที่ 43 , หน้าทํา ) :
12
1
1
4 , 8 , . . . , 12
( )
ผม . . . ไม่มีพจน์ของลำดับนี้คือศูนย์ แต่ถ้าเราตั้งโปรแกรมคอมพิวเตอร์
ประเมินพวกเขา , ข้อตกลงจะเร็ว ๆนี้จะพิมพ์เป็น ศูนย์ เนื่องจากพวกเขาจะมีขนาดเล็กกว่าเล็กน้อย
เบอร์ที่เครื่องจะรับได้ นอกจากนี้
นี้จะเป็นจริง แต่หลายตำแหน่งทศนิยมออกสามารถพิมพ์ .
( ผลิตจำนวน n ซึ่งจะช่วยให้เราพูดทั้งหมดของข้อตกลงจาก
แลกเป็นต้นไปจะเป็นศูนย์แรก 50 ตำแหน่งทศนิยม ' เราสามารถแน่นอน
หาหมายเลขดังกล่าว และเราสามารถทำมันได้ไม่ว่าจำนวนผู้ท้าชิงใส่ ใน
ที่ 50 สังเกตเห็นสองสิ่ง : เราไม่ได้มุ่งมั่นที่จะผลิต
จำนวนน้อยที่สุด เช่น N , แต่เพียงหนึ่งที่เหมาะสม n ; ประการที่สองเราไม่สามารถผลิต
หมายเลขเดียวเพื่อเวลาทั้งหมด ซึ่งจะจัดการกับความท้าทาย ไม่ว่า
อะไรนะใส่ในสถานที่ของ 50 การตอบสนองของเราขึ้นอยู่กับความท้าทายกับ
ที่เราต้องเผชิญ อย่างเป็นทางการ เราสามารถแสดงสถานการณ์แบบนี้ : P
ให้หมายเลขใด ๆ มันสามารถพบหมายเลข n เช่น
1
2i < 101 - P เลย >
)ถ้านี่เป็นเรื่องจริง ที่เราบอกว่า วงเงิน L / 2i คือศูนย์ หรือ L / 2i เข้าสู่
ศูนย์ที่ผมเพิ่ม โดยไม่มีขีดจำกัด เรื่องนี้เขียน

ผม®¥ลิม
1
2i = 0
มีแน่นอน ไม่เฉพาะคุณธรรมในการแสดงทศนิยม
; จากมุมมองของคณิตศาสตร์ ทั้งหมดที่จำเป็นคือการบอกว่า
ทุกบวกเลข K มีจำนวน n เช่นที่ 1
2i < K สำหรับ ฉัน > .
ตัวอย่างต่อไปจะได้รับ ( ซึ่งในหน้าที่ทั้งหมดให้เรียบร้อยโดย
สูตร ) ของทั้งกลุ่มสื่อสาร ลำดับ จนกระทั่งเกือบห้า
หน้าอภิปรายถึง ( SMP , เล่ม 4 บทที่ 43 , หน้า 1227 ) :
นิยาม ถ้าทุกจำนวนบวก K มีจำนวน n เช่น
ฉัน > N Þ F ( i ) c - < K ,
ลำดับ { f ( I ) } C มี จำกัด และเราเขียน
F ( i ) ® C ที่ผม®¥หรือลิม®¥

ฉันF ( i ) c .
โดยเฉพาะดังนั้นเราจึงหาเกลียวเทคนิคในการใช้ การใช้แนวคิดในตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง แล้วกลับไปยังที่ต่างๆ
ครั้ง