Inequality measurements and the log

Inequality measurements and the log-normal distribution
Cowell (1995) provides the different analytical expressions for commonly used inequality indices based on the log normal distribution that were produce in Table1.Each measure depends on the single shape parameter σ2 of the log-normal. Φ(.) is the cumulative distribution of the standard normal distribution and µ(F) is the income average of the population considered having distribution F. We consider α ∈ (−∞,+∞) as the parameter that captures the sensitivity of a specific Generalized Entropy(GE)index to particular parts of the distribution : for large and positive values of α,the index is sensitive to changes in the upper tail of the distribution; for α negative, the index is sensitive to changes in the lower tail of the distribution(Cowell,1995;Bourguignon,1979).IN empirical work , the range of values for α is typically restricted to[−1,2] because, otherwise, estimates may be unduly influenced by a small number of very small or very high incomes (see for instanceShorrocks,1980). The parameter ϵ ≥ 0 characterizes (relative) inequality aversion for the Atkinson index, inequality aversion being an increasing function of ϵ.The At kinson index maybe view edam case of the GE index with α ≤1and ϵ =1−α.
M.Lubrano,A.A.J.Ndoye/ComputationalStatisticsandDataAnalysis100(2016)830–846 837
Measures which are or dinally equivalent to the GE class include a number of pragmatic indexes such as the mean logarithmic deviation index(IMLD =lim α→0 Iα GE),Theil’sindex(ITheil =limα→1 Iα GE)and the coefficient of variation(1/2I2 CV =lim α→2 Iα GE).For the log-normal distribution, the MLD and the Theil index become the same and are both equal to σ2/2. As the GE indices are decomposable,we can recover ananalytical expression when F is a finite mixture of log-normals. This decomposability will allow for a Rao-Blackwellization from the Gibbs out put when computing these indices and should thus provide us with a more precise MCMC evaluation of their poste prior standard deviations.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การวัดความไม่เท่าเทียมกันและการแจกแจงปกติบันทึกโคเวลล์ (1995) แสดงนิพจน์เชิงวิเคราะห์แตกต่างกันสำหรับดัชนีใช้อสมการอิงการแจกแจงปกติล็อกที่ถูกผลิตใน Table1.Each วัดตามการ σ2 พารามิเตอร์รูปร่างเดียวของล็อก-ปกติ การแจกแจงสะสมของการแจกแจงปกติมาตรฐานΦ(.) และ µ(F) ค่าเฉลี่ยรายได้ของประชากรที่ถือว่ามีการกระจายเอฟ เราพิจารณา∈α (−∞ + ∞) เป็นพารามิเตอร์ที่จับความไวของ Entropy ทั่วไป (GE) ดัชนีระบุเฉพาะส่วนของการแจกแจง: สำหรับขนาดใหญ่ และบวกค่าα ดัชนีมีความไวต่อการเปลี่ยนแปลงบนหางของการแจก สำหรับαค่าลบ ดัชนีมีความไวต่อการเปลี่ยนแปลงในหางล่างของการกระจาย (โคเวลล์ 1995 Bourguignon, 1979) ในการทำงานเชิงประจักษ์ ช่วงของค่าสำหรับαเป็นปกติจำกัด [− 1, 2] เพราะ มิฉะนั้น การประเมินอาจจะวิพากษ์ได้รับอิทธิพลจากจำนวนเล็ก ๆ ของรายได้สูงมาก หรือเล็กมาก (ดู instanceShorrocks, 1980) ≥ϵพารามิเตอร์ 0 ลักษณะ aversion อสมการ (ญาติ) สำหรับพลังดัชนี อสมการ aversion เป็นฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นของ ϵ.The ที่ดัชนี kinson บางทีดู edam กรณีของดัชนี GE กับα ≤1and ϵ = 1−αM.Lubrano,A.A.J.Ndoye/ComputationalStatisticsandDataAnalysis100 (2016) 830-846 837มาตรการจะใด dinally เทียบเท่ากับระดับ GE มีตัวเลขดัชนีในทางปฏิบัติเช่นดัชนีเบี่ยงเบนหมายถึงลอการิทึม (IMLD = lim α→0 Iα GE), Theil'sindex (ITheil = limα→1 Iα GE) และค่าสัมประสิทธิ์ความผันแปร (1/2I2 CV = lim α→2 Iα GE) สำหรับการแจกแจงปกติล็อก ของ MLD และดัชนี Theil กลายเป็นเดียวกัน และมีทั้งเท่ากับ σ2/2 เป็นดัชนี GE decomposable เราสามารถกู้คืน ananalytical นิพจน์เมื่อ F มีจำกัดส่วนผสมของบันทึกสถิติ Decomposability นี้จะช่วยให้เรา Blackwellization จากเมียร์ออกใส่เมื่อคำนวณดัชนีเหล่านี้ และดังนั้นจึงควรให้มีการประเมิน MCMC แม่นยำยิ่งขึ้นของปอค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก่อน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การวัดความไม่เท่าเทียมกันและการกระจายของระบบปกติ
โคเวล (1995) ให้การแสดงออกที่แตกต่างกันสำหรับการวิเคราะห์ที่ใช้กันทั่วไปดัชนีความไม่เท่าเทียมกันอยู่บนพื้นฐานของการกระจายปกติเข้าสู่ระบบที่มีการผลิตในการวัด Table1.Each ขึ้นอยู่กับรูปร่างพารามิเตอร์เดียวσ2ของระบบปกติ Φ (.) เป็นผู้จัดจำหน่ายสะสมของการกระจายมาตรฐานปกติและμ (F) เป็นค่าเฉลี่ยรายได้ของประชากรที่ถือว่ามีการกระจายเอฟเราพิจารณา∈α (-∞, + ∞) เป็นพารามิเตอร์ที่จับความไวของการให้ ที่เฉพาะเจาะจงทั่วไปเอนโทรปี (GE) ดัชนียังส่วนโดยเฉพาะอย่างยิ่งของการกระจาย: สำหรับค่าที่มีขนาดใหญ่และในเชิงบวกของαดัชนีมีความไวต่อการเปลี่ยนแปลงในหางด้านบนของการกระจาย; สำหรับαลบดัชนีมีความไวต่อการเปลี่ยนแปลงในหางต่ำของการกระจาย (โคเวล, 1995; Bourguignon 1979) ในการทำงานเชิงประจักษ์ช่วงของค่าสำหรับαเป็นปกติ จำกัด ให้ [-1,2] เพราะมิฉะนั้น ประมาณการอาจจะได้รับอิทธิพลเกินควรโดยจำนวนเล็ก ๆ ของรายได้ที่มีขนาดเล็กมากหรือสูงมาก (ดู instanceShorrocks, 1980) พารามิเตอร์ε≥ 0 ลักษณะพิเศษ (ญาติ) ความไม่เท่าเทียมกันเกลียดชังสำหรับดัชนีแอตกินสันไม่เท่าเทียมกันของความเกลียดชังเป็นฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นของε.Theที่ดัชนี Kinson อาจจะดูกรณี Edam ของดัชนี GE กับα≤1andε = 1-α.
M.Lubrano , AAJNdoye / ComputationalStatisticsandDataAnalysis100 (2016) 830-846 837
มาตรการที่มีหรือ dinally เทียบเท่ากับระดับ GE รวมถึงตัวเลขของดัชนีในทางปฏิบัติเช่นดัชนีค่าเบี่ยงเบนลอการิทึมเฉลี่ย (IMLD = Lim α→ 0 Iα GE), Theil'sindex (ITheil = limα→ 1 Iα GE) และค่าสัมประสิทธิ์ของการเปลี่ยนแปลง (1 / 2I2 CV = Lim α→ 2 Iα GE) หรับการกระจายเข้าสู่ระบบปกติ MLD และดัชนี Theil กลายเดียวกันและทั้งสองเท่ากับσ2 / 2 . ในฐานะที่เป็นดัชนี GE มี decomposable เราสามารถกู้คืนการแสดงออก ananalytical เมื่อ F เป็นส่วนผสม จำกัด ของการเข้าสู่ระบบปกติ ย่อยสลายนี้จะช่วยให้การราว-Blackwellization จากกิ๊บส์ออกนำเมื่อคำนวณดัชนีเหล่านี้จึงควรให้เรามีการประเมินผลการ MCMC แม่นยำยิ่งขึ้น Poste ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของพวกเขาก่อน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การวัดความไม่เท่าเทียมกันและบันทึกการแจกแจงแบบปกติโคเวล ( 1995 ) ให้แตกต่างวิเคราะห์การแสดงออกสำหรับมักใช้ดัชนีความไม่เสมอภาค ตามบันทึกของการแจกแจงแบบปกติที่ผลิตใน table1 แต่ละวัดขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เดียวรูปร่างσ 2 เข้าสู่ระบบปกติ Φ ( ) คือการสะสมของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน และµ ( F ) คือ รายได้เฉลี่ยของประชากรถือว่ามีการกระจาย เอฟ เราพิจารณาα∈ ( −∞ + ∞ ) เป็นพารามิเตอร์ที่รวบรวมเฉพาะทั่วไปความไวของเอนโทรปี ( GE ) ดัชนีไปยังส่วนใดของการกระจาย : ค่า ขนาดใหญ่และบวกของα ดัชนีมีความอ่อนไหวต่อการเปลี่ยนแปลงในหางด้านบนของการกระจาย ; αลบ ดัชนีมีความอ่อนไหวต่อการเปลี่ยนแปลงในล่างหางของการกระจาย ( โคเวลล์ , 1995 ; สตูว์ , 1979 ) ในงานเชิงประจักษ์ ช่วงของค่าสำหรับαมักจะจำกัด [ − 2 เพราะมิฉะนั้นอาจมีผลต่อประมาณการจนเกินไป โดยมีขนาดเล็กมาก หรือสูงมากเช่นกัน ( เห็น instanceshorrocks , 1980 ) การϵพารามิเตอร์≥ 0 characterizes ( ญาติ ) ไม่รังเกียจสำหรับดัชนีแอตกินสัน , ความไม่เสมอภาคความเกลียดชังการเพิ่มฟังก์ชันของϵ . อาจดูที่ดัชนี Kinson Edam กรณี GE ดัชนีกับα≤และϵ = 1 −α .เมตร lubrano a.a.j.ndoye / , computationalstatisticsanddataanalysis100 ( 2016 ) 830 – 846 รายซึ่งเป็นมาตรการหรือ dinally เทียบเท่ากับ GE รุ่นรวมถึงตัวเลขของดัชนีในทางปฏิบัติเช่นหมายถึงลอการิทึมค่าดัชนี ( imld = ลิมα→ 0 ผมα GE ) , theil'sindex ( itheil = ลิมα→ 1 ผมα GE ) และค่าสัมประสิทธิ์การกระจาย ( 1 / 2i2 CV = ลิมα→ 2 ชั้นα GE ) เพื่อเข้าสู่ระบบปกติกระจาย , MLD และดัชนี Theil เป็นเดียวกันและทั้งสองเท่ากับσ 2 / 2 เป็นดัชนี decomposable GE เราสามารถกู้คืนการแสดงออกเป็นเมื่อ F คือส่วนผสมวิธีเข้าสู่ระบบปกติ decomposability นี้จะอนุญาตให้เรา blackwellization จากกิ๊บส์ออกวางเมื่อคำนวณดัชนีเหล่านี้ และควรจึงให้เราประเมิน MCMC แม่นกว่าของตำแหน่งหน้าที่ของตนเองก่อนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน .