- ข้อความ
- ประวัติศาสตร์
CONNECTIONS IN MATHEMATICS: AN INTR
CONNECTIONS IN MATHEMATICS: AN INTRODUCTION TO
FIBONACCI VIA PYTHAGORAS
E. A. Marchisotto
California State University, Northridge, 18111 Nordhoff St., Northridge, CA 91330
(Submitted March 1991)
1. INTRODUCTION
We are all familiar with the traditional presentation of the Fibonacci sequence in classes
designed for liberal arts majors. We "wow" the students with pinecones and pineapples! We talk
to them about the wondrous "appearance" of Fibonacci numbers in their world. But can we use
Fibonacci to bring these students into our world?
Is it possible for liberal arts majors to appreciate mathematics—apart from applications of the
subject in art, nature, and other areas? Can we develop courses that instill in students a sense of
excitement about making connections in mathematics, given the attitudes toward our subject that
many of them bring to class? As Lynn Arthur Steen says: "For students in the arts and humanities,
mathematics is an invisible culture—feared, avoided, and consequently misunderstood" (3).
Designing requisite1 mathematics courses for liberal arts students is difficult. In attempting to
give them a sense of mathematics, we often resort to overstressing its utility—reaching for areas
outside of mathematics to validate the study of the subject. Or we assemble what appears to the
students a collection of disjoint topics—offering little motivation for them to search for connections.
The challenge is to draw the students into mathematics—generating in them an excitement
about making mathematical connections and an appreciation of fundamental interrelationships
between topics. I believe I have met this challenge by introducing Fibonacci via Pythagoras, and I
want to share the experience!
2
2. RATIONALE
Mathematics builds upon itself in a way that other sciences do not. Even topics developed in
antiquity continue to be relevant today to mathematical growth—knowledge gives rise to new
knowledge; problems generate new problems. One objective in teaching mathematical concepts is
to give students a sense of how these ideas fit into the edifice we call mathematics. Examination
of connections between mathematical topics is one way to achieve this goal.
The connection between Fibonacci numbers and Pythagorean triples is well known (cf [6],
[16], [17]). But this connection is not frequently used to introduce Fibonacci numbers. I propose
a classroom lesson that involves students working with a familiar topic (Pythagorean triples) prior
to connecting it to an unfamiliar one (Fibonacci numbers). In my experience, the preliminary
work with triples motivates a discussion of this connection, and stimulates students to want to
*In 1983, the largest public university system in the country—the California State University
System—established a mathematics course as a graduation requirement for all students at any of its nineteen
campuses. 2
The appendix includes an annotated list of books, journal articles, and videotapes that I used as resources for
classroom discussion and projects. All numbers in brackets [ ] refer to the resources listed in this appendix.
19931 21
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
learn more about the Fibonacci numbers. Perhaps more importantly, it creates in the students a
genuine excitement about making mathematical connections.
As an alternative to what is perhaps a traditional introduction to the Fibonacci numbers based
on their "surprise" applications in nature—breeding rabbits, patterns in pinecones and pineapples,
etc. (cf. [9], [12], [19]), my presentation enables students to experience this kind of "surprise" in
connecting mathematical areas. The classroom experience begins with discussion of problems
inspired by Pythagorean triples incorporating assignments and activities generating Pythagorean
triples; then follows with an examination of connections between the products of Fibonacci and
Pythagoras and an investigation of the historical and present-day significance of the Fibonacci
numbers. This approach conforms to the goals expressed by Alvin White (1985) in his article
"Beyond Behavioral Objectives":
. . . our guidelines and teaching objectives should not have as their major target or focus the
mastery of facts and techniques. Rather the facts and techniques should be the skeletal
framework which supports our objective of imbuing our students with the spirit of
mathematics and a sense of excitement about the historical development and the creative
process. (3, p. 850)
3. CLASSROOM LESSONS
A. Pythagorean Triples
I begin by proposing that Pythagorean triples give evidence of how problems generate new
problems in mathematics. The students are amazed to discover that such integers were known in
ancient civilizations 1200 years before Pythagoras. I try to give them a sense that what perhaps is
more exciting is that these triples have inspired interesting problems in mathematics since the time
of Pythagoras. My students learn, by perusing the list of resources, that the generation of
Pythagorean triples is a topic that still fascinates some contemporary mathematicians (cf. [2], [5],
[6], [10], [11], [14], [16], [17], [20], [22], [23]).
I challenge the students to work in groups to discover common characteristics of
Pythagorean triples with the goal of finding a generating form for them. I begin by asking the
students to create triples, after we list the ones known to them. This induces a discussion of
multiples of triples and a conjecture that multiples of triples are triples, motivating the need for a
proof that this is indeed so. I form the class into small groups (four to five students per group)
and ask them to form conjectures about characteristics of primitive Pythagorean triples [we had
read and discussed Polya's heuristics for problem solving (1)]. The students work together,
observing patterns and making guesses. For example, by looking at (3, 4, 5), (5, 12, 13), and
(8, 5, 17), (12, 35, 37), they make the following conjectures: only one number of the triple could
be even; when the smallest number of the triple is even, the difference between the two larger
numbers is two; when the smallest number of the triple is odd, the difference between the two
larger numbers is one; that five is a factor of some number of the triple; etc. Then, as a class, we
discuss each group's conjectures, attempting to prove or disprove their hypotheses. Their
conjectures introduce many interesting class discussions about numbers and their relationships.
We explored, for example, questions of divisibility, prime factorization, what it means for integers
to be relatively prime, etc. After the students play with the Pythagorean triples and examine some
characteristics of these numbers, they are eager to find a systematic way to generate them.
22 [FEB.
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
Methods for obtaining Pythagorean triples cited in the Annotated List of Resources range
from simple to sophisticated. I refer to several so the students can get a sense of the range of
options (cf [10], [14], [20], [23]). One they particularly like is Kalman's method (cf. [20]) for
generating Pythagorean triples from proper fractions. Kalman starts with a right triangle with
angle A, such that tan A = a proper fraction, say plq. He then constructs another right triangle
using 2A as one angle. Since tan 2 A = 2 tan A/ (I- tan2 A) = 2pq/ (q2 - /?2
), the legs of the new
triangle can be labeled 2pq and (q2 - p 2 ) . Using the Pythagorean Theorem to determine the
length of the hypotenuse will produce an integer. This proves that Kalman's procedure always
produces a Pythagorean triple when tan A is rational. With the "hands-on" experience of generating
triples and the knowledge gained from exploring other attempts at generating triples using
familiar objects (like fractions), the students are ready to venture into unfamiliar territory.
B. Fibonacci Numbers
Since the students have an understanding of the difficulties involved in generating Pythagorean
triples and a look at the diversity of methods for doing so, they are ready to learn about the
connection between the mathematical products of Fibonacci and Pythagoras. We read and
discuss several articles describing the use of Fibonacci numbers to produce Pythagorean triples
(cf. [6], [16], [17]). The students are intrigued with the connection. The discussion of Fibonacci
and Pythagoras provides a historical perspective and the use of Fibonacci's numbers to generate
Pythagoras' numbers illustrates how mathematics builds upon itself using newer techniques to reexamine
old problems.
The videotape The Theorem of Pythagoras (cf. [2]) shows dynamical versions of dissection
proofs of the Pythagorean theorem. For a classroom activity, I organize students into small
groups to "play with" a cardboard model of a dissection proof, asking them to assemble pre-cut
pieces to illustrate the proof. This gives them a sense of what is involved in a dissection proof I
then follow with a classroom experiment based on the idea of dissection proof designed to show
the students that evidence is different from proof and to prepare the way for a Fibonacci connection.
I ask the students to construct an 8 x 8 square and calculate the area of 64. Then I direct
them to dissect their model into a 5 x 13 figure as indicated:
FIGURE 1
They quickly assume this figure is a rectangle, so when I ask them to calculate its area, they
compute an area of 65. This seems to "prove" that 64 (the area of the original square) is equal to
65 (the area of the rectangle formed form the dissected pieces of the square). Our investigation of
the new "rectangle" (via similar triangles) illustrates that the reconstructed figure is not truly a
1993] 23
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
rectangle. This activity reinforces the necessity of rigorous proof in mathematics and alerts
students to the dangers of accepting visual evidence as proof.
The culmination of this lesson is reading and discussing the article "Fibonacci Sequences and
a Geometrical P
FIBONACCI VIA PYTHAGORAS
E. A. Marchisotto
California State University, Northridge, 18111 Nordhoff St., Northridge, CA 91330
(Submitted March 1991)
1. INTRODUCTION
We are all familiar with the traditional presentation of the Fibonacci sequence in classes
designed for liberal arts majors. We "wow" the students with pinecones and pineapples! We talk
to them about the wondrous "appearance" of Fibonacci numbers in their world. But can we use
Fibonacci to bring these students into our world?
Is it possible for liberal arts majors to appreciate mathematics—apart from applications of the
subject in art, nature, and other areas? Can we develop courses that instill in students a sense of
excitement about making connections in mathematics, given the attitudes toward our subject that
many of them bring to class? As Lynn Arthur Steen says: "For students in the arts and humanities,
mathematics is an invisible culture—feared, avoided, and consequently misunderstood" (3).
Designing requisite1 mathematics courses for liberal arts students is difficult. In attempting to
give them a sense of mathematics, we often resort to overstressing its utility—reaching for areas
outside of mathematics to validate the study of the subject. Or we assemble what appears to the
students a collection of disjoint topics—offering little motivation for them to search for connections.
The challenge is to draw the students into mathematics—generating in them an excitement
about making mathematical connections and an appreciation of fundamental interrelationships
between topics. I believe I have met this challenge by introducing Fibonacci via Pythagoras, and I
want to share the experience!
2
2. RATIONALE
Mathematics builds upon itself in a way that other sciences do not. Even topics developed in
antiquity continue to be relevant today to mathematical growth—knowledge gives rise to new
knowledge; problems generate new problems. One objective in teaching mathematical concepts is
to give students a sense of how these ideas fit into the edifice we call mathematics. Examination
of connections between mathematical topics is one way to achieve this goal.
The connection between Fibonacci numbers and Pythagorean triples is well known (cf [6],
[16], [17]). But this connection is not frequently used to introduce Fibonacci numbers. I propose
a classroom lesson that involves students working with a familiar topic (Pythagorean triples) prior
to connecting it to an unfamiliar one (Fibonacci numbers). In my experience, the preliminary
work with triples motivates a discussion of this connection, and stimulates students to want to
*In 1983, the largest public university system in the country—the California State University
System—established a mathematics course as a graduation requirement for all students at any of its nineteen
campuses. 2
The appendix includes an annotated list of books, journal articles, and videotapes that I used as resources for
classroom discussion and projects. All numbers in brackets [ ] refer to the resources listed in this appendix.
19931 21
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
learn more about the Fibonacci numbers. Perhaps more importantly, it creates in the students a
genuine excitement about making mathematical connections.
As an alternative to what is perhaps a traditional introduction to the Fibonacci numbers based
on their "surprise" applications in nature—breeding rabbits, patterns in pinecones and pineapples,
etc. (cf. [9], [12], [19]), my presentation enables students to experience this kind of "surprise" in
connecting mathematical areas. The classroom experience begins with discussion of problems
inspired by Pythagorean triples incorporating assignments and activities generating Pythagorean
triples; then follows with an examination of connections between the products of Fibonacci and
Pythagoras and an investigation of the historical and present-day significance of the Fibonacci
numbers. This approach conforms to the goals expressed by Alvin White (1985) in his article
"Beyond Behavioral Objectives":
. . . our guidelines and teaching objectives should not have as their major target or focus the
mastery of facts and techniques. Rather the facts and techniques should be the skeletal
framework which supports our objective of imbuing our students with the spirit of
mathematics and a sense of excitement about the historical development and the creative
process. (3, p. 850)
3. CLASSROOM LESSONS
A. Pythagorean Triples
I begin by proposing that Pythagorean triples give evidence of how problems generate new
problems in mathematics. The students are amazed to discover that such integers were known in
ancient civilizations 1200 years before Pythagoras. I try to give them a sense that what perhaps is
more exciting is that these triples have inspired interesting problems in mathematics since the time
of Pythagoras. My students learn, by perusing the list of resources, that the generation of
Pythagorean triples is a topic that still fascinates some contemporary mathematicians (cf. [2], [5],
[6], [10], [11], [14], [16], [17], [20], [22], [23]).
I challenge the students to work in groups to discover common characteristics of
Pythagorean triples with the goal of finding a generating form for them. I begin by asking the
students to create triples, after we list the ones known to them. This induces a discussion of
multiples of triples and a conjecture that multiples of triples are triples, motivating the need for a
proof that this is indeed so. I form the class into small groups (four to five students per group)
and ask them to form conjectures about characteristics of primitive Pythagorean triples [we had
read and discussed Polya's heuristics for problem solving (1)]. The students work together,
observing patterns and making guesses. For example, by looking at (3, 4, 5), (5, 12, 13), and
(8, 5, 17), (12, 35, 37), they make the following conjectures: only one number of the triple could
be even; when the smallest number of the triple is even, the difference between the two larger
numbers is two; when the smallest number of the triple is odd, the difference between the two
larger numbers is one; that five is a factor of some number of the triple; etc. Then, as a class, we
discuss each group's conjectures, attempting to prove or disprove their hypotheses. Their
conjectures introduce many interesting class discussions about numbers and their relationships.
We explored, for example, questions of divisibility, prime factorization, what it means for integers
to be relatively prime, etc. After the students play with the Pythagorean triples and examine some
characteristics of these numbers, they are eager to find a systematic way to generate them.
22 [FEB.
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
Methods for obtaining Pythagorean triples cited in the Annotated List of Resources range
from simple to sophisticated. I refer to several so the students can get a sense of the range of
options (cf [10], [14], [20], [23]). One they particularly like is Kalman's method (cf. [20]) for
generating Pythagorean triples from proper fractions. Kalman starts with a right triangle with
angle A, such that tan A = a proper fraction, say plq. He then constructs another right triangle
using 2A as one angle. Since tan 2 A = 2 tan A/ (I- tan2 A) = 2pq/ (q2 - /?2
), the legs of the new
triangle can be labeled 2pq and (q2 - p 2 ) . Using the Pythagorean Theorem to determine the
length of the hypotenuse will produce an integer. This proves that Kalman's procedure always
produces a Pythagorean triple when tan A is rational. With the "hands-on" experience of generating
triples and the knowledge gained from exploring other attempts at generating triples using
familiar objects (like fractions), the students are ready to venture into unfamiliar territory.
B. Fibonacci Numbers
Since the students have an understanding of the difficulties involved in generating Pythagorean
triples and a look at the diversity of methods for doing so, they are ready to learn about the
connection between the mathematical products of Fibonacci and Pythagoras. We read and
discuss several articles describing the use of Fibonacci numbers to produce Pythagorean triples
(cf. [6], [16], [17]). The students are intrigued with the connection. The discussion of Fibonacci
and Pythagoras provides a historical perspective and the use of Fibonacci's numbers to generate
Pythagoras' numbers illustrates how mathematics builds upon itself using newer techniques to reexamine
old problems.
The videotape The Theorem of Pythagoras (cf. [2]) shows dynamical versions of dissection
proofs of the Pythagorean theorem. For a classroom activity, I organize students into small
groups to "play with" a cardboard model of a dissection proof, asking them to assemble pre-cut
pieces to illustrate the proof. This gives them a sense of what is involved in a dissection proof I
then follow with a classroom experiment based on the idea of dissection proof designed to show
the students that evidence is different from proof and to prepare the way for a Fibonacci connection.
I ask the students to construct an 8 x 8 square and calculate the area of 64. Then I direct
them to dissect their model into a 5 x 13 figure as indicated:
FIGURE 1
They quickly assume this figure is a rectangle, so when I ask them to calculate its area, they
compute an area of 65. This seems to "prove" that 64 (the area of the original square) is equal to
65 (the area of the rectangle formed form the dissected pieces of the square). Our investigation of
the new "rectangle" (via similar triangles) illustrates that the reconstructed figure is not truly a
1993] 23
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
rectangle. This activity reinforces the necessity of rigorous proof in mathematics and alerts
students to the dangers of accepting visual evidence as proof.
The culmination of this lesson is reading and discussing the article "Fibonacci Sequences and
a Geometrical P
0/5000
CONNECTIONS IN MATHEMATICS: AN INTRODUCTION TOFIBONACCI VIA PYTHAGORASE. A. MarchisottoCalifornia State University, Northridge, 18111 Nordhoff St., Northridge, CA 91330(Submitted March 1991)1. INTRODUCTIONWe are all familiar with the traditional presentation of the Fibonacci sequence in classesdesigned for liberal arts majors. We "wow" the students with pinecones and pineapples! We talkto them about the wondrous "appearance" of Fibonacci numbers in their world. But can we useFibonacci to bring these students into our world?Is it possible for liberal arts majors to appreciate mathematics—apart from applications of thesubject in art, nature, and other areas? Can we develop courses that instill in students a sense ofexcitement about making connections in mathematics, given the attitudes toward our subject thatmany of them bring to class? As Lynn Arthur Steen says: "For students in the arts and humanities,mathematics is an invisible culture—feared, avoided, and consequently misunderstood" (3).Designing requisite1 mathematics courses for liberal arts students is difficult. In attempting togive them a sense of mathematics, we often resort to overstressing its utility—reaching for areasoutside of mathematics to validate the study of the subject. Or we assemble what appears to thestudents a collection of disjoint topics—offering little motivation for them to search for connections.The challenge is to draw the students into mathematics—generating in them an excitementabout making mathematical connections and an appreciation of fundamental interrelationshipsbetween topics. I believe I have met this challenge by introducing Fibonacci via Pythagoras, and Iwant to share the experience!22. RATIONALEMathematics builds upon itself in a way that other sciences do not. Even topics developed inantiquity continue to be relevant today to mathematical growth—knowledge gives rise to newknowledge; problems generate new problems. One objective in teaching mathematical concepts isto give students a sense of how these ideas fit into the edifice we call mathematics. Examinationof connections between mathematical topics is one way to achieve this goal.The connection between Fibonacci numbers and Pythagorean triples is well known (cf [6],[16], [17]). But this connection is not frequently used to introduce Fibonacci numbers. I proposea classroom lesson that involves students working with a familiar topic (Pythagorean triples) priorto connecting it to an unfamiliar one (Fibonacci numbers). In my experience, the preliminarywork with triples motivates a discussion of this connection, and stimulates students to want to*In 1983, the largest public university system in the country—the California State UniversitySystem—established a mathematics course as a graduation requirement for all students at any of its nineteencampuses. 2
The appendix includes an annotated list of books, journal articles, and videotapes that I used as resources for
classroom discussion and projects. All numbers in brackets [ ] refer to the resources listed in this appendix.
19931 21
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
learn more about the Fibonacci numbers. Perhaps more importantly, it creates in the students a
genuine excitement about making mathematical connections.
As an alternative to what is perhaps a traditional introduction to the Fibonacci numbers based
on their "surprise" applications in nature—breeding rabbits, patterns in pinecones and pineapples,
etc. (cf. [9], [12], [19]), my presentation enables students to experience this kind of "surprise" in
connecting mathematical areas. The classroom experience begins with discussion of problems
inspired by Pythagorean triples incorporating assignments and activities generating Pythagorean
triples; then follows with an examination of connections between the products of Fibonacci and
Pythagoras and an investigation of the historical and present-day significance of the Fibonacci
numbers. This approach conforms to the goals expressed by Alvin White (1985) in his article
"Beyond Behavioral Objectives":
. . . our guidelines and teaching objectives should not have as their major target or focus the
mastery of facts and techniques. Rather the facts and techniques should be the skeletal
framework which supports our objective of imbuing our students with the spirit of
mathematics and a sense of excitement about the historical development and the creative
process. (3, p. 850)
3. CLASSROOM LESSONS
A. Pythagorean Triples
I begin by proposing that Pythagorean triples give evidence of how problems generate new
problems in mathematics. The students are amazed to discover that such integers were known in
ancient civilizations 1200 years before Pythagoras. I try to give them a sense that what perhaps is
more exciting is that these triples have inspired interesting problems in mathematics since the time
of Pythagoras. My students learn, by perusing the list of resources, that the generation of
Pythagorean triples is a topic that still fascinates some contemporary mathematicians (cf. [2], [5],
[6], [10], [11], [14], [16], [17], [20], [22], [23]).
I challenge the students to work in groups to discover common characteristics of
Pythagorean triples with the goal of finding a generating form for them. I begin by asking the
students to create triples, after we list the ones known to them. This induces a discussion of
multiples of triples and a conjecture that multiples of triples are triples, motivating the need for a
proof that this is indeed so. I form the class into small groups (four to five students per group)
and ask them to form conjectures about characteristics of primitive Pythagorean triples [we had
read and discussed Polya's heuristics for problem solving (1)]. The students work together,
observing patterns and making guesses. For example, by looking at (3, 4, 5), (5, 12, 13), and
(8, 5, 17), (12, 35, 37), they make the following conjectures: only one number of the triple could
be even; when the smallest number of the triple is even, the difference between the two larger
numbers is two; when the smallest number of the triple is odd, the difference between the two
larger numbers is one; that five is a factor of some number of the triple; etc. Then, as a class, we
discuss each group's conjectures, attempting to prove or disprove their hypotheses. Their
conjectures introduce many interesting class discussions about numbers and their relationships.
We explored, for example, questions of divisibility, prime factorization, what it means for integers
to be relatively prime, etc. After the students play with the Pythagorean triples and examine some
characteristics of these numbers, they are eager to find a systematic way to generate them.
22 [FEB.
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
Methods for obtaining Pythagorean triples cited in the Annotated List of Resources range
from simple to sophisticated. I refer to several so the students can get a sense of the range of
options (cf [10], [14], [20], [23]). One they particularly like is Kalman's method (cf. [20]) for
generating Pythagorean triples from proper fractions. Kalman starts with a right triangle with
angle A, such that tan A = a proper fraction, say plq. He then constructs another right triangle
using 2A as one angle. Since tan 2 A = 2 tan A/ (I- tan2 A) = 2pq/ (q2 - /?2
), the legs of the new
triangle can be labeled 2pq and (q2 - p 2 ) . Using the Pythagorean Theorem to determine the
length of the hypotenuse will produce an integer. This proves that Kalman's procedure always
produces a Pythagorean triple when tan A is rational. With the "hands-on" experience of generating
triples and the knowledge gained from exploring other attempts at generating triples using
familiar objects (like fractions), the students are ready to venture into unfamiliar territory.
B. Fibonacci Numbers
Since the students have an understanding of the difficulties involved in generating Pythagorean
triples and a look at the diversity of methods for doing so, they are ready to learn about the
connection between the mathematical products of Fibonacci and Pythagoras. We read and
discuss several articles describing the use of Fibonacci numbers to produce Pythagorean triples
(cf. [6], [16], [17]). The students are intrigued with the connection. The discussion of Fibonacci
and Pythagoras provides a historical perspective and the use of Fibonacci's numbers to generate
Pythagoras' numbers illustrates how mathematics builds upon itself using newer techniques to reexamine
old problems.
The videotape The Theorem of Pythagoras (cf. [2]) shows dynamical versions of dissection
proofs of the Pythagorean theorem. For a classroom activity, I organize students into small
groups to "play with" a cardboard model of a dissection proof, asking them to assemble pre-cut
pieces to illustrate the proof. This gives them a sense of what is involved in a dissection proof I
then follow with a classroom experiment based on the idea of dissection proof designed to show
the students that evidence is different from proof and to prepare the way for a Fibonacci connection.
I ask the students to construct an 8 x 8 square and calculate the area of 64. Then I direct
them to dissect their model into a 5 x 13 figure as indicated:
FIGURE 1
They quickly assume this figure is a rectangle, so when I ask them to calculate its area, they
compute an area of 65. This seems to "prove" that 64 (the area of the original square) is equal to
65 (the area of the rectangle formed form the dissected pieces of the square). Our investigation of
the new "rectangle" (via similar triangles) illustrates that the reconstructed figure is not truly a
1993] 23
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
rectangle. This activity reinforces the necessity of rigorous proof in mathematics and alerts
students to the dangers of accepting visual evidence as proof.
The culmination of this lesson is reading and discussing the article "Fibonacci Sequences and
a Geometrical P
The appendix includes an annotated list of books, journal articles, and videotapes that I used as resources for
classroom discussion and projects. All numbers in brackets [ ] refer to the resources listed in this appendix.
19931 21
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
learn more about the Fibonacci numbers. Perhaps more importantly, it creates in the students a
genuine excitement about making mathematical connections.
As an alternative to what is perhaps a traditional introduction to the Fibonacci numbers based
on their "surprise" applications in nature—breeding rabbits, patterns in pinecones and pineapples,
etc. (cf. [9], [12], [19]), my presentation enables students to experience this kind of "surprise" in
connecting mathematical areas. The classroom experience begins with discussion of problems
inspired by Pythagorean triples incorporating assignments and activities generating Pythagorean
triples; then follows with an examination of connections between the products of Fibonacci and
Pythagoras and an investigation of the historical and present-day significance of the Fibonacci
numbers. This approach conforms to the goals expressed by Alvin White (1985) in his article
"Beyond Behavioral Objectives":
. . . our guidelines and teaching objectives should not have as their major target or focus the
mastery of facts and techniques. Rather the facts and techniques should be the skeletal
framework which supports our objective of imbuing our students with the spirit of
mathematics and a sense of excitement about the historical development and the creative
process. (3, p. 850)
3. CLASSROOM LESSONS
A. Pythagorean Triples
I begin by proposing that Pythagorean triples give evidence of how problems generate new
problems in mathematics. The students are amazed to discover that such integers were known in
ancient civilizations 1200 years before Pythagoras. I try to give them a sense that what perhaps is
more exciting is that these triples have inspired interesting problems in mathematics since the time
of Pythagoras. My students learn, by perusing the list of resources, that the generation of
Pythagorean triples is a topic that still fascinates some contemporary mathematicians (cf. [2], [5],
[6], [10], [11], [14], [16], [17], [20], [22], [23]).
I challenge the students to work in groups to discover common characteristics of
Pythagorean triples with the goal of finding a generating form for them. I begin by asking the
students to create triples, after we list the ones known to them. This induces a discussion of
multiples of triples and a conjecture that multiples of triples are triples, motivating the need for a
proof that this is indeed so. I form the class into small groups (four to five students per group)
and ask them to form conjectures about characteristics of primitive Pythagorean triples [we had
read and discussed Polya's heuristics for problem solving (1)]. The students work together,
observing patterns and making guesses. For example, by looking at (3, 4, 5), (5, 12, 13), and
(8, 5, 17), (12, 35, 37), they make the following conjectures: only one number of the triple could
be even; when the smallest number of the triple is even, the difference between the two larger
numbers is two; when the smallest number of the triple is odd, the difference between the two
larger numbers is one; that five is a factor of some number of the triple; etc. Then, as a class, we
discuss each group's conjectures, attempting to prove or disprove their hypotheses. Their
conjectures introduce many interesting class discussions about numbers and their relationships.
We explored, for example, questions of divisibility, prime factorization, what it means for integers
to be relatively prime, etc. After the students play with the Pythagorean triples and examine some
characteristics of these numbers, they are eager to find a systematic way to generate them.
22 [FEB.
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
Methods for obtaining Pythagorean triples cited in the Annotated List of Resources range
from simple to sophisticated. I refer to several so the students can get a sense of the range of
options (cf [10], [14], [20], [23]). One they particularly like is Kalman's method (cf. [20]) for
generating Pythagorean triples from proper fractions. Kalman starts with a right triangle with
angle A, such that tan A = a proper fraction, say plq. He then constructs another right triangle
using 2A as one angle. Since tan 2 A = 2 tan A/ (I- tan2 A) = 2pq/ (q2 - /?2
), the legs of the new
triangle can be labeled 2pq and (q2 - p 2 ) . Using the Pythagorean Theorem to determine the
length of the hypotenuse will produce an integer. This proves that Kalman's procedure always
produces a Pythagorean triple when tan A is rational. With the "hands-on" experience of generating
triples and the knowledge gained from exploring other attempts at generating triples using
familiar objects (like fractions), the students are ready to venture into unfamiliar territory.
B. Fibonacci Numbers
Since the students have an understanding of the difficulties involved in generating Pythagorean
triples and a look at the diversity of methods for doing so, they are ready to learn about the
connection between the mathematical products of Fibonacci and Pythagoras. We read and
discuss several articles describing the use of Fibonacci numbers to produce Pythagorean triples
(cf. [6], [16], [17]). The students are intrigued with the connection. The discussion of Fibonacci
and Pythagoras provides a historical perspective and the use of Fibonacci's numbers to generate
Pythagoras' numbers illustrates how mathematics builds upon itself using newer techniques to reexamine
old problems.
The videotape The Theorem of Pythagoras (cf. [2]) shows dynamical versions of dissection
proofs of the Pythagorean theorem. For a classroom activity, I organize students into small
groups to "play with" a cardboard model of a dissection proof, asking them to assemble pre-cut
pieces to illustrate the proof. This gives them a sense of what is involved in a dissection proof I
then follow with a classroom experiment based on the idea of dissection proof designed to show
the students that evidence is different from proof and to prepare the way for a Fibonacci connection.
I ask the students to construct an 8 x 8 square and calculate the area of 64. Then I direct
them to dissect their model into a 5 x 13 figure as indicated:
FIGURE 1
They quickly assume this figure is a rectangle, so when I ask them to calculate its area, they
compute an area of 65. This seems to "prove" that 64 (the area of the original square) is equal to
65 (the area of the rectangle formed form the dissected pieces of the square). Our investigation of
the new "rectangle" (via similar triangles) illustrates that the reconstructed figure is not truly a
1993] 23
CONNECTIONS IN MATHEMATICS
rectangle. This activity reinforces the necessity of rigorous proof in mathematics and alerts
students to the dangers of accepting visual evidence as proof.
The culmination of this lesson is reading and discussing the article "Fibonacci Sequences and
a Geometrical P
การแปล กรุณารอสักครู่..
การเชื่อมต่อคณิตศาสตร์: บทนำเพื่อ
fibonacci VIA Pythagoras
อี A. Marchisotto
California State University, Northridge, 18111 Nordhoff เซนต์ Northridge, CA 91330
(ส่งมีนาคม 1991)
1 บทนำเราทุกคนคุ้นเคยกับการแสดงแบบดั้งเดิมของ Fibonacci ลำดับในชั้นเรียนได้รับการออกแบบสำหรับสาขาวิชาศิลปศาสตร์ เรา "ว้าว" นักเรียนที่มี pinecones และสับปะรด! เราพูดคุยกับพวกเขาเกี่ยวกับความมหัศจรรย์ "ลักษณะ" ของตัวเลขฟีโบนักชีในโลกของพวกเขา แต่เราสามารถใช้Fibonacci ที่จะนำนักเรียนเหล่านี้เข้ามาในโลกของเรามันเป็นไปได้สำหรับสาขาวิชาศิลปศาสตร์ชื่นชมคณิตศาสตร์นอกเหนือจากการใช้งานของเรื่องในศิลปะธรรมชาติและพื้นที่อื่น ๆ ? เราสามารถพัฒนาหลักสูตรที่ปลูกฝังให้นักเรียนรู้สึกของความตื่นเต้นเกี่ยวกับการเชื่อมต่อในวิชาคณิตศาสตร์ได้รับทัศนคติที่มีต่อเรื่องของเราที่มากของพวกเขานำไปเรียน? ขณะที่ลินน์อาร์เธอร์สตีนกล่าวว่า "สำหรับนักเรียนในศิลปะและมนุษยศาสตร์คณิตศาสตร์เป็นวัฒนธรรมกลัวที่มองไม่เห็น, หลีกเลี่ยงและเข้าใจผิดจึง" (3). การออกแบบ requisite1 วิชาคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนศิลปศาสตร์เป็นเรื่องยาก ในความพยายามที่จะให้พวกเขามีความรู้สึกของคณิตศาสตร์ที่เรามักจะหันไปใช้ยูทิลิตี้ที่เกินขอบเขตกว้างขวางสำหรับพื้นที่นอกของคณิตศาสตร์ในการตรวจสอบผลการศึกษาของเรื่อง หรือเรารวบรวมสิ่งที่ดูเหมือนกับนักเรียนชุดของเคล็ดหัวข้อที่นำเสนอแรงจูงใจเล็ก ๆ น้อย ๆ สำหรับพวกเขาในการค้นหาสำหรับการเชื่อมต่อ. ความท้าทายคือการวาดนักเรียนออกเป็นคณิตศาสตร์ที่ก่อให้เกิดในพวกเขาตื่นเต้นเกี่ยวกับการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์และการแข็งค่าของความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างหัวข้อ ฉันเชื่อว่าฉันได้พบกับความท้าทายนี้โดยการแนะนำ Fibonacci ผ่าน Pythagoras และฉันต้องการที่จะแบ่งปันประสบการณ์! 2 2 เหตุผลคณิตศาสตร์สร้างเมื่อตัวเองในทางที่วิทยาศาสตร์อื่น ๆ ทำไม่ได้ หัวข้อแม้การพัฒนาในสมัยโบราณยังคงมีความเกี่ยวข้องในวันนี้เพื่อการเจริญเติบโตความรู้ทางคณิตศาสตร์ก่อให้เกิดใหม่ความรู้ ปัญหาสร้างปัญหาใหม่ หนึ่งวัตถุประสงค์ในการสอนแนวคิดทางคณิตศาสตร์คือเพื่อให้นักเรียนรู้สึกของวิธีคิดเหล่านี้ใส่ลงไปในตึกที่เราเรียกคณิตศาสตร์ การตรวจสอบการเชื่อมต่อระหว่างหัวข้อทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีหนึ่งที่จะบรรลุเป้าหมายนี้. เชื่อมต่อระหว่างตัวเลข Fibonacci และอเนกประสงค์พีทาโกรัสเป็นที่รู้จักกันดี (CF [6], [16] [17]) แต่การเชื่อมต่อนี้จะไม่ได้ใช้บ่อยในการแนะนำจำนวนฟีโบนักชี ผมเสนอบทเรียนในห้องเรียนที่เกี่ยวข้องกับการทำงานร่วมกับนักเรียนเป็นหัวข้อที่คุ้นเคย (พีทาโกรัสอเนกประสงค์) ก่อนที่จะเชื่อมต่อไปยังหนึ่งที่ไม่คุ้นเคย(ตัวเลข Fibonacci) จากประสบการณ์ของผมเบื้องต้นทำงานร่วมกับอเนกประสงค์กระตุ้นการอภิปรายของการเชื่อมต่อนี้และช่วยกระตุ้นให้นักเรียนต้องการ* ในปี 1983 ระบบมหาวิทยาลัยของรัฐที่ใหญ่ที่สุดในประเทศมหาวิทยาลัยแห่งรัฐแคลิฟอร์เนียระบบขึ้นเป็นหลักสูตรคณิตศาสตร์ตามความต้องการของการสำเร็จการศึกษาสำหรับนักเรียนทุกคนที่ใด ๆ ของเก้าของมหาวิทยาลัย 2 ภาคผนวกรวมถึงรายการที่บันทึกย่อของหนังสือบทความวารสารและวิดีโอเทปที่ผมใช้เป็นแหล่งข้อมูลสำหรับการอภิปรายในห้องเรียนและโครงการ ตัวเลขทั้งหมดในวงเล็บ [] หมายถึงทรัพยากรที่ระบุไว้ในภาคผนวกนี้. 19931 21 เชื่อมต่อคณิตศาสตร์เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวเลขฟีโบนักชี บางทีอาจจะสำคัญกว่ามันจะสร้างนักเรียนที่ตื่นเต้นของแท้เกี่ยวกับการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์. ในฐานะที่เป็นทางเลือกให้กับสิ่งที่อาจจะเป็นการแนะนำแบบดั้งเดิมที่ตัวเลข Fibonacci ตามที่"แปลกใจ" งานของพวกเขาในกระต่ายธรรมชาติพันธุ์รูปแบบใน pinecones และสับปะรดเป็นต้น (cf [9] [12] [19]), การนำเสนอของฉันช่วยให้นักเรียนได้สัมผัสกับชนิดของ "แปลกใจ" ในการเชื่อมต่อพื้นที่ทางคณิตศาสตร์ ประสบการณ์ในห้องเรียนเริ่มต้นด้วยการอภิปรายของปัญหาแรงบันดาลใจจากการผสมผสานพีทาโกรัสอเนกประสงค์ที่ได้รับมอบหมายและกิจกรรมการสร้างพีทาโกรัสอเนกประสงค์; แล้วต่อไปนี้มีการตรวจสอบการเชื่อมต่อระหว่างผลิตภัณฑ์ของ Fibonacci และพีธากอรัสและการตรวจสอบของความสำคัญทางประวัติศาสตร์และปัจจุบันวันของFibonacci ตัวเลข วิธีการนี้เป็นไปตามเป้าหมายที่แสดงโดยอัลวินสีขาว (1985) ในบทความของเขา"นอกเหนือจากวัตถุประสงค์พฤติกรรม" . . แนวทางและวัตถุประสงค์ของการเรียนการสอนของเราไม่ควรจะเป็นเป้าหมายสำคัญของพวกเขาหรือมุ่งเน้นการเรียนรู้ของข้อเท็จจริงและเทคนิค แต่ข้อเท็จจริงและเทคนิคที่ควรจะเป็นโครงกระดูกกรอบที่สนับสนุนวัตถุประสงค์ของ imbuing นักเรียนของเรามีจิตวิญญาณของคณิตศาสตร์และความรู้สึกของความตื่นเต้นเกี่ยวกับการพัฒนาทางประวัติศาสตร์และความคิดสร้างสรรค์กระบวนการ (3, p. 850) 3 ห้องเรียนบทเรียนเอ พีทาโกรัสอเนกประสงค์ผมเริ่มต้นด้วยการเสนอว่าพีทาโกรัสอเนกประสงค์ให้ปากคำของวิธีการสร้างปัญหาใหม่ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ นักเรียนจะประหลาดใจที่พบว่าเลขดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันในอารยธรรมโบราณ 1,200 ปีก่อนที่พีทาโกรัส ฉันพยายามที่จะให้พวกเขามีความรู้สึกว่าสิ่งที่อาจจะเป็นที่น่าตื่นเต้นมากขึ้นก็คืออเนกประสงค์เหล่านี้ได้รับแรงบันดาลใจปัญหาที่น่าสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ตั้งแต่เวลาของPythagoras นักเรียนของฉันได้เรียนรู้โดย perusing รายการของทรัพยากรที่รุ่นของพีทาโกรัสอเนกประสงค์เป็นหัวข้อที่ยังคงร่วมสมัยfascinates นักคณิตศาสตร์บาง (cf [2] [5] [6] [10] [11], [ 14] [16] [17] [20] [22] [23]). ผมขอท้าให้นักเรียนที่จะทำงานในกลุ่มที่จะค้นพบลักษณะทั่วไปของพีทาโกรัสอเนกประสงค์โดยมีเป้าหมายในการหารูปแบบที่สร้างขึ้นสำหรับพวกเขา ฉันเริ่มต้นด้วยการขอให้นักเรียนที่จะสร้างอเนกประสงค์หลังจากที่เราได้รายชื่อคนที่รู้จักกันกับพวกเขา นี้ก่อให้เกิดการอภิปรายของหลายอเนกประสงค์และการคาดเดาว่าหลายอเนกประสงค์มีความอเนกประสงค์ที่สร้างแรงจูงใจความจำเป็นในการที่พิสูจน์ให้เห็นว่านี่เป็นดังนั้น ผมในรูปแบบชั้นเรียนเป็นกลุ่มขนาดเล็ก (4-5 คนต่อกลุ่ม) และขอให้พวกเขาในรูปแบบคาดเดาเกี่ยวกับลักษณะของอเนกประสงค์พีทาโกรัสดั้งเดิม [เราได้อ่านและกล่าวถึงการวิเคราะห์พฤติกรรมPolya สำหรับการแก้ปัญหา (1)] นักเรียนทำงานร่วมกันสังเกตรูปแบบและการคาดเดา ตัวอย่างเช่นโดยการมองหาที่ (3, 4, 5), (5, 12, 13) และ(8, 5, 17), (12, 35, 37) พวกเขาทำให้คาดเดาต่อไปนี้: เพียงหนึ่งในจำนวน สามอาจจะยิ่ง; เมื่อจำนวนที่เล็กที่สุดของสามแม้จะมีความแตกต่างระหว่างทั้งสองขนาดใหญ่จำนวนสอง; เมื่อจำนวนที่เล็กที่สุดของสามเป็นสิ่งที่แปลกแตกต่างระหว่างทั้งสองตัวเลขขนาดใหญ่เป็นหนึ่ง; ที่เป็นปัจจัยที่ห้าของจำนวนของสามบาง; ฯลฯ จากนั้นเป็นระดับที่เราหารือคิดเห็นของแต่ละกลุ่มพยายามที่จะพิสูจน์หรือหักล้างสมมติฐานของพวกเขา พวกเขาคาดเดาแนะนำอภิปรายในชั้นเรียนที่น่าสนใจมากมายเกี่ยวกับตัวเลขและสัมพันธ์ของพวกเขา. เราสำรวจตัวอย่างเช่นคำถามของหาร, ตัวประกอบที่สำคัญสิ่งที่มันหมายถึงจำนวนเต็มจะค่อนข้างสำคัญฯลฯ หลังจากที่นักเรียนเล่นกับพีทาโกรัสอเนกประสงค์และตรวจสอบบางลักษณะตัวเลขเหล่านี้พวกเขามีความกระตือรือร้นที่จะหาวิธีการที่เป็นระบบในการสร้างพวกเขา. 22 [กุมภาพันธ์เชื่อมคณิตศาสตร์วิธีการสำหรับการได้รับพีทาโกรัสอเนกประสงค์อ้างถึงในรายการข้อเขียนของช่วงทรัพยากรจากง่ายซับซ้อน ผมหมายถึงหลายเพื่อให้นักเรียนได้รับความรู้สึกของความหลากหลายของตัวเลือก (CF [10] [14] [20] [23]) โดยเฉพาะอย่างยิ่งหนึ่งที่พวกเขาชอบคือวิธีการของคาลมาน (cf [20]) สำหรับการสร้างพีทาโกรัสอเนกประสงค์จากเศษส่วนที่เหมาะสม คาลมานเริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมที่เหมาะสมกับมุม A, สีน้ำตาลดังกล่าวว่า A = ส่วนที่เหมาะสมพูด PLQ จากนั้นเขาก็สร้างอีกสามเหลี่ยมมุมฉากใช้ 2A เป็นมุมหนึ่ง ตั้งแต่สีน้ำตาล 2 = 2 น้ำตาล A / (I- tan2 A) = 2PQ / (q2? - / 2) ขาของใหม่สามเหลี่ยมสามารถระบุ 2PQ และ (q2 p - 2) ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการกำหนดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะผลิตจำนวนเต็ม นี้พิสูจน์ให้เห็นว่าขั้นตอนคาลมานเสมอผลิตพีทาโกรัสสามเมื่อน้ำตาลเป็นเหตุผล กับ "มือบน" ประสบการณ์ในการสร้างอเนกประสงค์และความรู้ที่ได้จากการสำรวจความพยายามอื่นๆ ที่สร้างอเนกประสงค์โดยใช้วัตถุที่คุ้นเคย(เช่นเศษส่วน) นักเรียนมีความพร้อมที่จะร่วมเข้าไปในดินแดนที่ไม่คุ้นเคย. บี ตัวเลข Fibonacci ตั้งแต่นักเรียนมีความเข้าใจในความยากลำบากที่มีส่วนร่วมในการสร้างพีทาโกรัสอเนกประสงค์และดูที่ความหลากหลายของวิธีการสำหรับการทำเช่นนั้นพวกเขาก็พร้อมที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับการเชื่อมต่อระหว่างผลิตภัณฑ์ทางคณิตศาสตร์ของFibonacci และพีทาโกรัส เราอ่านและหารือเกี่ยวกับหลายบทความที่อธิบายถึงการใช้งานของตัวเลขฟีโบนักชีในการผลิตอเนกประสงค์พีทาโกรัส(cf [6] [16] [17]) นักเรียนที่มีความสนใจที่มีการเชื่อมต่อ การอภิปรายของ Fibonacci และพีธากอรัสมีมุมมองทางประวัติศาสตร์และการใช้งานของตัวเลข Fibonacci ที่จะสร้างตัวเลขPythagoras 'แสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์สร้างเมื่อตัวเองโดยใช้เทคนิคใหม่ในการทบทวนปัญหาเก่า. เทปทฤษฎีบทของพีธากอรัส (cf [2]) แสดงให้เห็นถึงพลัง รุ่นผ่าพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สำหรับกิจกรรมในชั้นเรียนที่ผมจัดนักเรียนเป็นขนาดเล็กกลุ่มที่จะ "เล่นกับ" รูปแบบกระดาษแข็งของการพิสูจน์ผ่าได้ขอให้พวกเขาที่จะรวบรวมก่อนตัดชิ้นแสดงให้เห็นถึงหลักฐาน นี้จะช่วยให้พวกเขารู้สึกของสิ่งที่มีส่วนร่วมในการพิสูจน์ผ่าฉันแล้วตามด้วยการทดลองในห้องเรียนบนพื้นฐานความคิดของการพิสูจน์ผ่าออกแบบมาเพื่อแสดงนักเรียนที่หลักฐานจะแตกต่างจากหลักฐานและการเตรียมความพร้อมทางสำหรับการเชื่อมต่อFibonacci ที่. ฉันขอ นักเรียนที่จะสร้าง 8 x 8 ตารางและคำนวณพื้นที่ 64 แล้วฉันโดยตรงพวกเขาที่จะผ่ารูปแบบของพวกเขาเป็น5 x 13 รูปตามที่ระบุ: รูปที่ 1 พวกเขาได้อย่างรวดเร็วถือว่าตัวเลขนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังนั้นเมื่อผมขอให้พวกเขา คำนวณพื้นที่, พวกเขาคำนวณพื้นที่65 นี้ดูเหมือนว่าจะ "พิสูจน์" ที่ 64 (พื้นที่ของตารางเดิม) มีค่าเท่ากับ65 (พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เกิดขึ้นรูปแบบชิ้นชำแหละของตาราง) การตรวจสอบของเราใหม่ "สี่เหลี่ยม" (ผ่านสามเหลี่ยมคล้ายกัน) แสดงให้เห็นว่ารูปที่สร้างขึ้นใหม่ไม่ได้อย่างแท้จริง 1993] 23 การเชื่อมต่อในวิชาคณิตศาสตร์สี่เหลี่ยมผืนผ้า กิจกรรมนี้ตอกย้ำความจำเป็นของการพิสูจน์อย่างเข้มงวดในวิชาคณิตศาสตร์และการแจ้งเตือนนักเรียนถึงอันตรายของการยอมรับหลักฐานภาพเป็นหลักฐาน. สุดยอดของบทเรียนนี้คือการอ่านและการหารือบทความ "ลำดับฟีโบนักชีและเรขาคณิตP
fibonacci VIA Pythagoras
อี A. Marchisotto
California State University, Northridge, 18111 Nordhoff เซนต์ Northridge, CA 91330
(ส่งมีนาคม 1991)
1 บทนำเราทุกคนคุ้นเคยกับการแสดงแบบดั้งเดิมของ Fibonacci ลำดับในชั้นเรียนได้รับการออกแบบสำหรับสาขาวิชาศิลปศาสตร์ เรา "ว้าว" นักเรียนที่มี pinecones และสับปะรด! เราพูดคุยกับพวกเขาเกี่ยวกับความมหัศจรรย์ "ลักษณะ" ของตัวเลขฟีโบนักชีในโลกของพวกเขา แต่เราสามารถใช้Fibonacci ที่จะนำนักเรียนเหล่านี้เข้ามาในโลกของเรามันเป็นไปได้สำหรับสาขาวิชาศิลปศาสตร์ชื่นชมคณิตศาสตร์นอกเหนือจากการใช้งานของเรื่องในศิลปะธรรมชาติและพื้นที่อื่น ๆ ? เราสามารถพัฒนาหลักสูตรที่ปลูกฝังให้นักเรียนรู้สึกของความตื่นเต้นเกี่ยวกับการเชื่อมต่อในวิชาคณิตศาสตร์ได้รับทัศนคติที่มีต่อเรื่องของเราที่มากของพวกเขานำไปเรียน? ขณะที่ลินน์อาร์เธอร์สตีนกล่าวว่า "สำหรับนักเรียนในศิลปะและมนุษยศาสตร์คณิตศาสตร์เป็นวัฒนธรรมกลัวที่มองไม่เห็น, หลีกเลี่ยงและเข้าใจผิดจึง" (3). การออกแบบ requisite1 วิชาคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนศิลปศาสตร์เป็นเรื่องยาก ในความพยายามที่จะให้พวกเขามีความรู้สึกของคณิตศาสตร์ที่เรามักจะหันไปใช้ยูทิลิตี้ที่เกินขอบเขตกว้างขวางสำหรับพื้นที่นอกของคณิตศาสตร์ในการตรวจสอบผลการศึกษาของเรื่อง หรือเรารวบรวมสิ่งที่ดูเหมือนกับนักเรียนชุดของเคล็ดหัวข้อที่นำเสนอแรงจูงใจเล็ก ๆ น้อย ๆ สำหรับพวกเขาในการค้นหาสำหรับการเชื่อมต่อ. ความท้าทายคือการวาดนักเรียนออกเป็นคณิตศาสตร์ที่ก่อให้เกิดในพวกเขาตื่นเต้นเกี่ยวกับการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์และการแข็งค่าของความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างหัวข้อ ฉันเชื่อว่าฉันได้พบกับความท้าทายนี้โดยการแนะนำ Fibonacci ผ่าน Pythagoras และฉันต้องการที่จะแบ่งปันประสบการณ์! 2 2 เหตุผลคณิตศาสตร์สร้างเมื่อตัวเองในทางที่วิทยาศาสตร์อื่น ๆ ทำไม่ได้ หัวข้อแม้การพัฒนาในสมัยโบราณยังคงมีความเกี่ยวข้องในวันนี้เพื่อการเจริญเติบโตความรู้ทางคณิตศาสตร์ก่อให้เกิดใหม่ความรู้ ปัญหาสร้างปัญหาใหม่ หนึ่งวัตถุประสงค์ในการสอนแนวคิดทางคณิตศาสตร์คือเพื่อให้นักเรียนรู้สึกของวิธีคิดเหล่านี้ใส่ลงไปในตึกที่เราเรียกคณิตศาสตร์ การตรวจสอบการเชื่อมต่อระหว่างหัวข้อทางคณิตศาสตร์เป็นวิธีหนึ่งที่จะบรรลุเป้าหมายนี้. เชื่อมต่อระหว่างตัวเลข Fibonacci และอเนกประสงค์พีทาโกรัสเป็นที่รู้จักกันดี (CF [6], [16] [17]) แต่การเชื่อมต่อนี้จะไม่ได้ใช้บ่อยในการแนะนำจำนวนฟีโบนักชี ผมเสนอบทเรียนในห้องเรียนที่เกี่ยวข้องกับการทำงานร่วมกับนักเรียนเป็นหัวข้อที่คุ้นเคย (พีทาโกรัสอเนกประสงค์) ก่อนที่จะเชื่อมต่อไปยังหนึ่งที่ไม่คุ้นเคย(ตัวเลข Fibonacci) จากประสบการณ์ของผมเบื้องต้นทำงานร่วมกับอเนกประสงค์กระตุ้นการอภิปรายของการเชื่อมต่อนี้และช่วยกระตุ้นให้นักเรียนต้องการ* ในปี 1983 ระบบมหาวิทยาลัยของรัฐที่ใหญ่ที่สุดในประเทศมหาวิทยาลัยแห่งรัฐแคลิฟอร์เนียระบบขึ้นเป็นหลักสูตรคณิตศาสตร์ตามความต้องการของการสำเร็จการศึกษาสำหรับนักเรียนทุกคนที่ใด ๆ ของเก้าของมหาวิทยาลัย 2 ภาคผนวกรวมถึงรายการที่บันทึกย่อของหนังสือบทความวารสารและวิดีโอเทปที่ผมใช้เป็นแหล่งข้อมูลสำหรับการอภิปรายในห้องเรียนและโครงการ ตัวเลขทั้งหมดในวงเล็บ [] หมายถึงทรัพยากรที่ระบุไว้ในภาคผนวกนี้. 19931 21 เชื่อมต่อคณิตศาสตร์เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวเลขฟีโบนักชี บางทีอาจจะสำคัญกว่ามันจะสร้างนักเรียนที่ตื่นเต้นของแท้เกี่ยวกับการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์. ในฐานะที่เป็นทางเลือกให้กับสิ่งที่อาจจะเป็นการแนะนำแบบดั้งเดิมที่ตัวเลข Fibonacci ตามที่"แปลกใจ" งานของพวกเขาในกระต่ายธรรมชาติพันธุ์รูปแบบใน pinecones และสับปะรดเป็นต้น (cf [9] [12] [19]), การนำเสนอของฉันช่วยให้นักเรียนได้สัมผัสกับชนิดของ "แปลกใจ" ในการเชื่อมต่อพื้นที่ทางคณิตศาสตร์ ประสบการณ์ในห้องเรียนเริ่มต้นด้วยการอภิปรายของปัญหาแรงบันดาลใจจากการผสมผสานพีทาโกรัสอเนกประสงค์ที่ได้รับมอบหมายและกิจกรรมการสร้างพีทาโกรัสอเนกประสงค์; แล้วต่อไปนี้มีการตรวจสอบการเชื่อมต่อระหว่างผลิตภัณฑ์ของ Fibonacci และพีธากอรัสและการตรวจสอบของความสำคัญทางประวัติศาสตร์และปัจจุบันวันของFibonacci ตัวเลข วิธีการนี้เป็นไปตามเป้าหมายที่แสดงโดยอัลวินสีขาว (1985) ในบทความของเขา"นอกเหนือจากวัตถุประสงค์พฤติกรรม" . . แนวทางและวัตถุประสงค์ของการเรียนการสอนของเราไม่ควรจะเป็นเป้าหมายสำคัญของพวกเขาหรือมุ่งเน้นการเรียนรู้ของข้อเท็จจริงและเทคนิค แต่ข้อเท็จจริงและเทคนิคที่ควรจะเป็นโครงกระดูกกรอบที่สนับสนุนวัตถุประสงค์ของ imbuing นักเรียนของเรามีจิตวิญญาณของคณิตศาสตร์และความรู้สึกของความตื่นเต้นเกี่ยวกับการพัฒนาทางประวัติศาสตร์และความคิดสร้างสรรค์กระบวนการ (3, p. 850) 3 ห้องเรียนบทเรียนเอ พีทาโกรัสอเนกประสงค์ผมเริ่มต้นด้วยการเสนอว่าพีทาโกรัสอเนกประสงค์ให้ปากคำของวิธีการสร้างปัญหาใหม่ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ นักเรียนจะประหลาดใจที่พบว่าเลขดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันในอารยธรรมโบราณ 1,200 ปีก่อนที่พีทาโกรัส ฉันพยายามที่จะให้พวกเขามีความรู้สึกว่าสิ่งที่อาจจะเป็นที่น่าตื่นเต้นมากขึ้นก็คืออเนกประสงค์เหล่านี้ได้รับแรงบันดาลใจปัญหาที่น่าสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ตั้งแต่เวลาของPythagoras นักเรียนของฉันได้เรียนรู้โดย perusing รายการของทรัพยากรที่รุ่นของพีทาโกรัสอเนกประสงค์เป็นหัวข้อที่ยังคงร่วมสมัยfascinates นักคณิตศาสตร์บาง (cf [2] [5] [6] [10] [11], [ 14] [16] [17] [20] [22] [23]). ผมขอท้าให้นักเรียนที่จะทำงานในกลุ่มที่จะค้นพบลักษณะทั่วไปของพีทาโกรัสอเนกประสงค์โดยมีเป้าหมายในการหารูปแบบที่สร้างขึ้นสำหรับพวกเขา ฉันเริ่มต้นด้วยการขอให้นักเรียนที่จะสร้างอเนกประสงค์หลังจากที่เราได้รายชื่อคนที่รู้จักกันกับพวกเขา นี้ก่อให้เกิดการอภิปรายของหลายอเนกประสงค์และการคาดเดาว่าหลายอเนกประสงค์มีความอเนกประสงค์ที่สร้างแรงจูงใจความจำเป็นในการที่พิสูจน์ให้เห็นว่านี่เป็นดังนั้น ผมในรูปแบบชั้นเรียนเป็นกลุ่มขนาดเล็ก (4-5 คนต่อกลุ่ม) และขอให้พวกเขาในรูปแบบคาดเดาเกี่ยวกับลักษณะของอเนกประสงค์พีทาโกรัสดั้งเดิม [เราได้อ่านและกล่าวถึงการวิเคราะห์พฤติกรรมPolya สำหรับการแก้ปัญหา (1)] นักเรียนทำงานร่วมกันสังเกตรูปแบบและการคาดเดา ตัวอย่างเช่นโดยการมองหาที่ (3, 4, 5), (5, 12, 13) และ(8, 5, 17), (12, 35, 37) พวกเขาทำให้คาดเดาต่อไปนี้: เพียงหนึ่งในจำนวน สามอาจจะยิ่ง; เมื่อจำนวนที่เล็กที่สุดของสามแม้จะมีความแตกต่างระหว่างทั้งสองขนาดใหญ่จำนวนสอง; เมื่อจำนวนที่เล็กที่สุดของสามเป็นสิ่งที่แปลกแตกต่างระหว่างทั้งสองตัวเลขขนาดใหญ่เป็นหนึ่ง; ที่เป็นปัจจัยที่ห้าของจำนวนของสามบาง; ฯลฯ จากนั้นเป็นระดับที่เราหารือคิดเห็นของแต่ละกลุ่มพยายามที่จะพิสูจน์หรือหักล้างสมมติฐานของพวกเขา พวกเขาคาดเดาแนะนำอภิปรายในชั้นเรียนที่น่าสนใจมากมายเกี่ยวกับตัวเลขและสัมพันธ์ของพวกเขา. เราสำรวจตัวอย่างเช่นคำถามของหาร, ตัวประกอบที่สำคัญสิ่งที่มันหมายถึงจำนวนเต็มจะค่อนข้างสำคัญฯลฯ หลังจากที่นักเรียนเล่นกับพีทาโกรัสอเนกประสงค์และตรวจสอบบางลักษณะตัวเลขเหล่านี้พวกเขามีความกระตือรือร้นที่จะหาวิธีการที่เป็นระบบในการสร้างพวกเขา. 22 [กุมภาพันธ์เชื่อมคณิตศาสตร์วิธีการสำหรับการได้รับพีทาโกรัสอเนกประสงค์อ้างถึงในรายการข้อเขียนของช่วงทรัพยากรจากง่ายซับซ้อน ผมหมายถึงหลายเพื่อให้นักเรียนได้รับความรู้สึกของความหลากหลายของตัวเลือก (CF [10] [14] [20] [23]) โดยเฉพาะอย่างยิ่งหนึ่งที่พวกเขาชอบคือวิธีการของคาลมาน (cf [20]) สำหรับการสร้างพีทาโกรัสอเนกประสงค์จากเศษส่วนที่เหมาะสม คาลมานเริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมที่เหมาะสมกับมุม A, สีน้ำตาลดังกล่าวว่า A = ส่วนที่เหมาะสมพูด PLQ จากนั้นเขาก็สร้างอีกสามเหลี่ยมมุมฉากใช้ 2A เป็นมุมหนึ่ง ตั้งแต่สีน้ำตาล 2 = 2 น้ำตาล A / (I- tan2 A) = 2PQ / (q2? - / 2) ขาของใหม่สามเหลี่ยมสามารถระบุ 2PQ และ (q2 p - 2) ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการกำหนดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะผลิตจำนวนเต็ม นี้พิสูจน์ให้เห็นว่าขั้นตอนคาลมานเสมอผลิตพีทาโกรัสสามเมื่อน้ำตาลเป็นเหตุผล กับ "มือบน" ประสบการณ์ในการสร้างอเนกประสงค์และความรู้ที่ได้จากการสำรวจความพยายามอื่นๆ ที่สร้างอเนกประสงค์โดยใช้วัตถุที่คุ้นเคย(เช่นเศษส่วน) นักเรียนมีความพร้อมที่จะร่วมเข้าไปในดินแดนที่ไม่คุ้นเคย. บี ตัวเลข Fibonacci ตั้งแต่นักเรียนมีความเข้าใจในความยากลำบากที่มีส่วนร่วมในการสร้างพีทาโกรัสอเนกประสงค์และดูที่ความหลากหลายของวิธีการสำหรับการทำเช่นนั้นพวกเขาก็พร้อมที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับการเชื่อมต่อระหว่างผลิตภัณฑ์ทางคณิตศาสตร์ของFibonacci และพีทาโกรัส เราอ่านและหารือเกี่ยวกับหลายบทความที่อธิบายถึงการใช้งานของตัวเลขฟีโบนักชีในการผลิตอเนกประสงค์พีทาโกรัส(cf [6] [16] [17]) นักเรียนที่มีความสนใจที่มีการเชื่อมต่อ การอภิปรายของ Fibonacci และพีธากอรัสมีมุมมองทางประวัติศาสตร์และการใช้งานของตัวเลข Fibonacci ที่จะสร้างตัวเลขPythagoras 'แสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์สร้างเมื่อตัวเองโดยใช้เทคนิคใหม่ในการทบทวนปัญหาเก่า. เทปทฤษฎีบทของพีธากอรัส (cf [2]) แสดงให้เห็นถึงพลัง รุ่นผ่าพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สำหรับกิจกรรมในชั้นเรียนที่ผมจัดนักเรียนเป็นขนาดเล็กกลุ่มที่จะ "เล่นกับ" รูปแบบกระดาษแข็งของการพิสูจน์ผ่าได้ขอให้พวกเขาที่จะรวบรวมก่อนตัดชิ้นแสดงให้เห็นถึงหลักฐาน นี้จะช่วยให้พวกเขารู้สึกของสิ่งที่มีส่วนร่วมในการพิสูจน์ผ่าฉันแล้วตามด้วยการทดลองในห้องเรียนบนพื้นฐานความคิดของการพิสูจน์ผ่าออกแบบมาเพื่อแสดงนักเรียนที่หลักฐานจะแตกต่างจากหลักฐานและการเตรียมความพร้อมทางสำหรับการเชื่อมต่อFibonacci ที่. ฉันขอ นักเรียนที่จะสร้าง 8 x 8 ตารางและคำนวณพื้นที่ 64 แล้วฉันโดยตรงพวกเขาที่จะผ่ารูปแบบของพวกเขาเป็น5 x 13 รูปตามที่ระบุ: รูปที่ 1 พวกเขาได้อย่างรวดเร็วถือว่าตัวเลขนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังนั้นเมื่อผมขอให้พวกเขา คำนวณพื้นที่, พวกเขาคำนวณพื้นที่65 นี้ดูเหมือนว่าจะ "พิสูจน์" ที่ 64 (พื้นที่ของตารางเดิม) มีค่าเท่ากับ65 (พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่เกิดขึ้นรูปแบบชิ้นชำแหละของตาราง) การตรวจสอบของเราใหม่ "สี่เหลี่ยม" (ผ่านสามเหลี่ยมคล้ายกัน) แสดงให้เห็นว่ารูปที่สร้างขึ้นใหม่ไม่ได้อย่างแท้จริง 1993] 23 การเชื่อมต่อในวิชาคณิตศาสตร์สี่เหลี่ยมผืนผ้า กิจกรรมนี้ตอกย้ำความจำเป็นของการพิสูจน์อย่างเข้มงวดในวิชาคณิตศาสตร์และการแจ้งเตือนนักเรียนถึงอันตรายของการยอมรับหลักฐานภาพเป็นหลักฐาน. สุดยอดของบทเรียนนี้คือการอ่านและการหารือบทความ "ลำดับฟีโบนักชีและเรขาคณิตP
การแปล กรุณารอสักครู่..
ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ : บทนำ
. . marchisotto Fibonacci โดยปิธากอรัส
California State University Northridge 18111 นอร์ดฮอฟ St . , Northridge , CA 91330
( ส่งมีนาคม 1991 )
1 บทนำ
เราทุกคนคุ้นเคยกับแบบดั้งเดิมของการนำเสนอลำดับ Fibonacci ในคลาส
ออกแบบมาสำหรับวิชาเอกศิลปศาสตร์ เรา " ว้าว " นักศึกษากับลูกสนและสับปะรด ! เราพูด
กับพวกเขาเกี่ยวกับมหัศจรรย์ " ลักษณะ " ของตัวเลข Fibonacci ในโลกของพวกเขา แต่เราสามารถใช้
Fibonacci พานักเรียนพวกนี้เข้าไปในโลกของเรา
มันเป็นไปได้สำหรับศิลปศาสตร์ วิชาเอกคณิตศาสตร์ นอกจากชื่นชมงานของ
วิชาศิลปะ , ธรรมชาติ , และพื้นที่อื่น ๆ เราสามารถพัฒนาหลักสูตรที่ปลูกฝังให้นักเรียนรู้สึกตื่นเต้นเกี่ยวกับการสร้างการเชื่อมต่อ
ในคณิตศาสตร์ได้รับทัศนคติในเรื่องที่
หลายของพวกเขานำห้อง ? โดย Lynn อาเธอร์สตีนกล่าวว่า : " สำหรับนักศึกษาศิลปะและมนุษยศาสตร์
คณิตศาสตร์เป็นมองไม่เห็นวัฒนธรรมกลัว หลีกเลี่ยงการเข้าใจผิด " ( 3 ) .
หลักสูตรคณิตศาสตร์ แบบ requisite1 ผู้เรียนสาขาวิชาศิลปศาสตร์ เป็นเรื่องยาก ในการพยายามที่จะ
ให้พวกเขารู้สึกของคณิตศาสตร์เรามักจะใช้ overstressing ยูทิลิตี้การตรวจสอบพื้นที่
นอกคณิตศาสตร์ศึกษาเรื่อง หรือเรารวบรวมสิ่งที่ปรากฏ
นักเรียนไม่มีส่วนร่วมเสนอคอลเลกชันของหัวข้อแรงจูงใจสำหรับพวกเขาเพื่อค้นหาการเชื่อมต่อ .
เป็นความท้าทายเพื่อดึงดูดนักเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ที่สร้างในพวกเขามีความตื่นเต้น
เกี่ยวกับการสร้างการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์ และการแข็งค่าของ
ความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างหัวข้อ ผมเชื่อว่าผมได้พบกับความท้าทายนี้โดยการแนะนำของ Fibonacci ผ่านปีธากอรัส และผม
อยากแบ่งปันประสบการณ์
2
2 คณิตศาสตร์เหตุผล
สร้างขึ้นเองในทางที่ศาสตร์อื่น ๆไม่ได้ แม้หัวข้อการพัฒนา
สมัยโบราณยังคงเกี่ยวข้องวันนี้เพื่อความรู้ของคณิตศาสตร์ให้สูงขึ้นเพื่อความรู้ใหม่
; ปัญหาสร้างปัญหาใหม่ วัตถุประสงค์หนึ่งในการสอนแนวคิดทางคณิตศาสตร์คือ
เพื่อให้นักเรียนรู้สึกถึงความคิดเหล่านี้พอดีในคฤหาสน์เราเรียกคณิตศาสตร์ การตรวจสอบการเชื่อมต่อระหว่าง
หัวข้อคณิตศาสตร์เป็นวิธีหนึ่งที่จะบรรลุเป้าหมายนี้ .
. . marchisotto Fibonacci โดยปิธากอรัส
California State University Northridge 18111 นอร์ดฮอฟ St . , Northridge , CA 91330
( ส่งมีนาคม 1991 )
1 บทนำ
เราทุกคนคุ้นเคยกับแบบดั้งเดิมของการนำเสนอลำดับ Fibonacci ในคลาส
ออกแบบมาสำหรับวิชาเอกศิลปศาสตร์ เรา " ว้าว " นักศึกษากับลูกสนและสับปะรด ! เราพูด
กับพวกเขาเกี่ยวกับมหัศจรรย์ " ลักษณะ " ของตัวเลข Fibonacci ในโลกของพวกเขา แต่เราสามารถใช้
Fibonacci พานักเรียนพวกนี้เข้าไปในโลกของเรา
มันเป็นไปได้สำหรับศิลปศาสตร์ วิชาเอกคณิตศาสตร์ นอกจากชื่นชมงานของ
วิชาศิลปะ , ธรรมชาติ , และพื้นที่อื่น ๆ เราสามารถพัฒนาหลักสูตรที่ปลูกฝังให้นักเรียนรู้สึกตื่นเต้นเกี่ยวกับการสร้างการเชื่อมต่อ
ในคณิตศาสตร์ได้รับทัศนคติในเรื่องที่
หลายของพวกเขานำห้อง ? โดย Lynn อาเธอร์สตีนกล่าวว่า : " สำหรับนักศึกษาศิลปะและมนุษยศาสตร์
คณิตศาสตร์เป็นมองไม่เห็นวัฒนธรรมกลัว หลีกเลี่ยงการเข้าใจผิด " ( 3 ) .
หลักสูตรคณิตศาสตร์ แบบ requisite1 ผู้เรียนสาขาวิชาศิลปศาสตร์ เป็นเรื่องยาก ในการพยายามที่จะ
ให้พวกเขารู้สึกของคณิตศาสตร์เรามักจะใช้ overstressing ยูทิลิตี้การตรวจสอบพื้นที่
นอกคณิตศาสตร์ศึกษาเรื่อง หรือเรารวบรวมสิ่งที่ปรากฏ
นักเรียนไม่มีส่วนร่วมเสนอคอลเลกชันของหัวข้อแรงจูงใจสำหรับพวกเขาเพื่อค้นหาการเชื่อมต่อ .
เป็นความท้าทายเพื่อดึงดูดนักเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ที่สร้างในพวกเขามีความตื่นเต้น
เกี่ยวกับการสร้างการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์ และการแข็งค่าของ
ความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างหัวข้อ ผมเชื่อว่าผมได้พบกับความท้าทายนี้โดยการแนะนำของ Fibonacci ผ่านปีธากอรัส และผม
อยากแบ่งปันประสบการณ์
2
2 คณิตศาสตร์เหตุผล
สร้างขึ้นเองในทางที่ศาสตร์อื่น ๆไม่ได้ แม้หัวข้อการพัฒนา
สมัยโบราณยังคงเกี่ยวข้องวันนี้เพื่อความรู้ของคณิตศาสตร์ให้สูงขึ้นเพื่อความรู้ใหม่
; ปัญหาสร้างปัญหาใหม่ วัตถุประสงค์หนึ่งในการสอนแนวคิดทางคณิตศาสตร์คือ
เพื่อให้นักเรียนรู้สึกถึงความคิดเหล่านี้พอดีในคฤหาสน์เราเรียกคณิตศาสตร์ การตรวจสอบการเชื่อมต่อระหว่าง
หัวข้อคณิตศาสตร์เป็นวิธีหนึ่งที่จะบรรลุเป้าหมายนี้ .
การแปล กรุณารอสักครู่..
ภาษาอื่น ๆ
การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.
- งั้นเย็นนี้เจอกันที โอเชี่ยน คาร์เฟ่ กัน
- To mediumHere the speaker when uses the
- การดำเนินการดังกล่าวมีลักษณะค่อยเป็นค่อย
- เธอสนใจที่จะช่วยสมทบทุนสำหรับการสร้างอาค
- in what city did your parents meet
- พักผ่อนรอเวลาเลิกงาน
- 扛起 整个世界
- นานมาก
- 1. IntroductionBrazilian savannah concen
- เจ้าเมือง
- นานมาก
- • Cathay Pacific engages with groups (th
- along with dinitrogen fixation
- Water extraction method is a suitable an
- ตุ๊ย
- A branch of mathematics that substitutes
- 1. IntroductionBrazilian savannah concen
- อนุญาตให้ ผู้ให้เช่า หรือตัวแทนของ ผู้ให
- เห็นผลไว
- Replace to old a Notebook, program probl
- เห็นผลไว
- อนุญาตให้ ผู้ให้เช่า หรือตัวแทนของ ผู้ให
- banks are probed in parallel
- kuantiti setiap
