Since we first introduced Fourier a

Since we first introduced Fourier analysis in Lecture 7, we have relied heavily on its properties in the analysis and representation of signals and linear, time-invariant systems. The Fourier transform was developed from the concept of representing signals as a linear combination of basic signals that were chosen
to be eigenfunctions of linear, time-invariant systems. With the eigenfunctions chosen to be the signals e j(t, this representation led to the Fourier transform synthesis equation, and a given LTI system could then be represented by the spectrum of eigenvalues as a function of W, that is, the change in amplitude that the system applies to each of the basic inputs e ".
In this and the next several lectures we introduce a generalization of the Fourier transform, referred to as the Laplace transform. In addition to leading to a number of new insights, the use of the Laplace transform removes
some of the restrictions encountered with the Fourier transform. Specifically, the Laplace transform converges for a broader class of signals than does the
Fourier transform.
The general class of eigenfunctions for LTI systems consists of the com-
plex exponentials es, where s is a complex number. The use of this more general class in place of the complex exponentials e"' leads to the representation of signals and systems in terms of the Laplace transform. The response of an LTI system to a complex exponential of the form est is H(s)est and H(s),
which represents the change in amplitude, is referred to as the system function. As developed in the lecture, H(s) is the Laplace transform of the system impulse response.
The Laplace transform and the Fourier transform are closely related in a number of ways. When s is purely imaginary, i.e., when s =jw, the Laplace transform reduces to the Fourier transform. More generally, the Laplace transform can be viewed as the Fourier transform of a signal after an expo-
nential weighting has been applied. Because of this exponential weighting, the Laplace transform can converge for signals for which the Fourier transform
does not converge. The Laplace transform is a function of a general complex variable s, and
for any given signal the Laplace transform converges for a range of values of s.
This range is referred to as the region of convergence (ROC) and plays an important role in specifying the Laplace transform associated with a given signal. In particular, two different signals can have Laplace transforms with iden-
tical algebraic expressions and differing only in the ROC, i.e., in the range of values of s for which the expression is valid.
For the most part, signals with which we will deal in this and subsequent lectures will be represented by Laplace transforms for which the associated algebraic expression is a ratio of polynomials in the complex variable s. The
roots of the numerator polynomial are referred to as the zeros of the Laplace transform, and the roots of the denominator polynomial are referred to as the
poles of the Laplace transform. It is typically convenient to represent the Laplace transform graphically in the complex s-plane by marking the location of the poles with x and the location of the zeros with 0. With the exception of an overall scale factor, this pole-zero diagram specifies the algebraic expression for the Laplace transform. In addition, the ROC must be indicated. As discussed in the lecture, there are a number of properties of the ROC in relation to the poles of the Laplace transform and in relation to certain properties of the signal in the time domain. These properties often permit us to identify the region of convergence from only the pole-zero pattern in the s-plane when some auxiliary information about the signal in the time domain is known,
such as whether the signal is a right-sided, left-sided, or two-sided signal.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เนื่องจากเรารู้จักวิเคราะห์ฟูรีเยในการบรรยาย 7 เราได้อาศัยหนักในคุณสมบัติในการวิเคราะห์และแสดงสัญญาณและระบบเชิงเส้น ไม่เปลี่ยน แปลงเวลา การแปลงฟูรีเยได้รับการพัฒนาจากแนวคิดของการแสดงสัญญาณเป็นการรวมเชิงเส้นของสัญญาณพื้นฐานที่ถูกเลือกเป็น eigenfunctions ของระบบเชิงเส้น เวลาไม่เปลี่ยนแปลง กับ eigenfunctions เลือกให้เป็นสัญญาณ e j (t แสดงนี้นำไปสู่สมการสังเคราะห์การแปลงฟูรีเย และระบบ LTI สามารถแล้วแสดงตามสเปกตรัมของเวกเตอร์เป็นฟังก์ชันของ W นั่นคือ การเปลี่ยนแปลงในคลื่นที่ระบบใช้ไปอีอินพุตพื้นฐาน "ในนี้และถัดไป บรรยายหลายเรานำ generalization ของการแปลงฟูรีเย เรียกว่าการแปลงลาปลาส นอกจากนำจำนวนความเข้าใจใหม่ เอาใช้การแปลงลาปลาสบางข้อจำกัดที่พบกับการแปลงฟูรีเย โดยเฉพาะ การแปลงลาปลาส converges สำหรับระดับสัญญาณกว้างกว่าไม่การแปลงฟูรีเยEigenfunctions ระบบ LTI ชั้นทั่วไปที่ประกอบด้วย com-เพล็กซ์ exponentials es โดยที่ s คือ จำนวนเชิงซ้อน การใช้ระดับนี้ทั่วไปแทนอี exponentials ซับซ้อน" ' นำไปสู่การแสดงของสัญญาณและระบบในการแปลงลาปลาส การตอบสนองต่อระบบ LTI ซับซ้อนเนนของแบบ est เป็น H(s) est และ H(s)ซึ่งแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงในคลื่น จะเรียกว่าฟังก์ชันของระบบ พัฒนาในการบรรยาย H(s) เป็นการแปลงลาปลาสของการตอบสนองแรงกระตุ้นจากระบบการแปลงลาปลาสและการแปลงฟูรีเยมีความสัมพันธ์ในหลายวิธีการ เมื่อ s คือจินตภาพ เช่น เมื่อ s =เจดับบลิว ลาปลาสการแปลงลดการแปลงฟูรีเย มากขึ้นโดยทั่วไป การแปลงลาปลาสสามารถใช้เป็นฟูรีเยการแปลงของสัญญาณหลังจากเอ็กซ์โปเป็น-มีการใช้น้ำหนัก nential เนื่องจากน้ำหนักนี้เนน การแปลงลาปลาสสามารถมาบรรจบกันสำหรับสัญญาณแปลงฟูรีเยจะไม่มาบรรจบกัน การแปลงลาปลาสคือ ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนทั่วไป s และสำหรับสัญญาณใด ๆ กำหนด แปลงลาปลาส converges สำหรับช่วงของค่าของ sช่วงนี้จะเรียกว่าขอบเขตของการบรรจบกัน (ROC) และมีบทบาทสำคัญในการระบุการแปลงลาปลาสเกี่ยวข้องกับสัญญาณกำหนด เฉพาะ สัญญาณแตกต่างกันสองอาจมีการแปลงลาปลาสกับ iden-นิพจน์พีชคณิตธนบัตรบาทและแตกต่างกันเฉพาะใน ROC เช่น ในช่วงของค่าของ s ซึ่งนิพจน์ที่ถูกต้องสำหรับแปลงที่สุดส่วน สัญญาณที่เราจะแจกในนี้ และจะแสดงต่อไปบรรยาย โดยลาปลาส ซึ่งนิพจน์พีชคณิตสัมพันธ์เป็นอัตราส่วนของ polynomials ใน s. ตัวแปรเชิงซ้อนการรากของพหุนามตัวเศษจะเรียกว่าเป็นศูนย์ของการแปลงลาปลาส และรากของพหุนามตัวหารอย่างเป็นเสาของการแปลงลาปลาส สะดวกทั่วถึงการแปลงลาปลาสภาพใน s-ระนาบซับซ้อน โดยทำเครื่องหมายตำแหน่งของเสาด้วย x และที่ตั้งของศูนย์ด้วย 0 ได้ ยกเว้นปัจจัยขนาดโดยรวม แผนภาพนี้เสาศูนย์ระบุนิพจน์พีชคณิตสำหรับการแปลงลาปลาส นอกจากนี้ ROC ต้องสามารถระบุ ดังที่กล่าวไว้ในการบรรยาย มีจำนวนของคุณสมบัติของ ROC เกี่ยวกับเสาของการแปลงลาปลาส และ เกี่ยวกับบางคุณสมบัติของสัญญาณในโดเมนเวลา คุณสมบัติเหล่านี้มักจะทำให้เราระบุภูมิภาคบรรจบกันจากเฉพาะรูปแบบศูนย์เสาในระนาบ s เมื่อทราบข้อมูลเกี่ยวกับสัญญาณในโดเมนเวลาเสริมบางเช่นว่าสัญญาณคือ สัญญาณ ด้านขวา ด้านซ้าย หรือแบบสองหน้า

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตั้งแต่ครั้งแรกที่เรานำมาวิเคราะห์ฟูริเยร์ในการบรรยายครั้งที่ 7 เราได้อาศัยคุณสมบัติของมันในการวิเคราะห์และการเป็นตัวแทนของสัญญาณเชิงเส้นและระบบเวลาคงที่ ฟูเรียร์ได้รับการพัฒนาจากแนวความคิดของการเป็นตัวแทนของสัญญาณเป็นเชิงเส้นการรวมกันของสัญญาณพื้นฐานที่ได้รับการแต่งตั้ง
ให้เป็นเชิงเส้น eigenfunctions ของระบบเวลาคงที่ ด้วย eigenfunctions เลือกให้เป็นสัญญาณ EJ (t แทนนี้นำไปสู่การแปลงฟูริเยร์สมการสังเคราะห์และระบบ LTI ได้รับแล้วอาจจะแสดงโดยสเปกตรัมของค่าลักษณะเฉพาะเป็นหน้าที่ของ W, ว่ามีการเปลี่ยนแปลงในความกว้างที่ ระบบนำไปใช้กับแต่ละปัจจัยการผลิตขั้นพื้นฐานอี ".
ในเรื่องนี้และการบรรยายหลายต่อไปเราแนะนำทั่วไปของฟูริเยร์เปลี่ยนเรียกว่า Laplace transform. นอกจากนี้จะนำไปเป็นจำนวนของข้อมูลเชิงลึกใหม่ใช้ Laplace transform เอา
บางส่วนของข้อ จำกัด ที่พบกับฟูเรียร์. โดยเฉพาะ Laplace transform ลู่สำหรับการเรียนที่กว้างขึ้นของสัญญาณกว่าไม่
แปลงฟูริเย.
ระดับทั่วไปของ eigenfunctions สำหรับระบบ LTI ประกอบด้วยสั่ง
exponentials เพล็กซ์ es ที่ S เป็นตัวเลขที่ซับซ้อน. ใช้นี้คลาสทั่วไปมากขึ้นในสถานที่ที่ซับซ้อน exponentials อี "นำไปสู่การเป็นตัวแทนของสัญญาณและระบบในแง่ของ Laplace transform. การตอบสนองของระบบ LTI เพื่อชี้แจงที่ซับซ้อนของรูปแบบคือ เป็น H (s) EST และ H (s),
ซึ่งหมายถึงการเปลี่ยนแปลงในความกว้างที่จะเรียกว่าการทำงานของระบบ ในฐานะที่ได้รับการพัฒนาในการบรรยาย, H (s) เป็นของ Laplace transform กระตุ้นการตอบสนองของระบบ.
Laplace transform และฟูริเยร์แปลงที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดในหลายวิธี เมื่อคือจินตภาพอย่างเดียวคือเมื่อ s = jw, Laplace transform ลดฟูริเยร์แปลง มากกว่าปกติ Laplace transform สามารถมองได้ว่าฟูริเยร์แปลงสัญญาณหลังจากที่เปิดรับแสง
น้ำหนัก nential ได้ถูกนำมาใช้ เพราะน้ำหนักชี้แจงนี้ Laplace transform สามารถมาบรรจบกันสำหรับสัญญาณที่แปลงฟูริเย
ไม่ได้มาบรรจบกัน Laplace transform เป็นหน้าที่ของทั่วไปที่ซับซ้อนของตัวแปรและ
การส่งสัญญาณใด ๆ ให้ Laplace transform ลู่สำหรับช่วงของค่าของ s.
ช่วงนี้จะเรียกว่าเป็นพื้นที่ของการบรรจบกัน (ROC) และมีบทบาทสำคัญในการระบุ Laplace transform ที่เกี่ยวข้องกับสัญญาณที่ได้รับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสองสัญญาณที่แตกต่างกันสามารถมี Laplace แปลงที่มีลักษณะของ
การแสดงออกทางพีชคณิตและอุตสหกรรมที่แตกต่างกันเฉพาะใน ROC คือในช่วงของค่าของ s สำหรับการแสดงออกที่ถูกต้อง.
ส่วนใหญ่สัญญาณที่เราจะจัดการ ในเรื่องนี้และการบรรยายที่ตามมาจะเป็นตัวแทนของ Laplace แปลงที่แสดงออกพีชคณิตที่เกี่ยวข้องคืออัตราส่วนของพหุนามในตัวแปรที่ซับซ้อนของ
รากของพหุนามเศษจะเรียกว่าเป็นศูนย์ของ Laplace transform และรากของพหุนามส่วนจะเรียกว่า
ขั้วของ Laplace transform มันเป็นเรื่องปกติที่สะดวกในการเป็นตัวแทนของ Laplace transform กราฟิกที่ซับซ้อนใน s-เครื่องบินโดยการทำเครื่องหมายสถานที่ตั้งของเสากับ x และสถานที่ตั้งของศูนย์ที่มี 0. ด้วยข้อยกเว้นของปัจจัยระดับโดยรวมนี้เสาศูนย์แผนภาพระบุ การแสดงออกเกี่ยวกับพีชคณิต Laplace transform นอกจากนี้ร็อคจะต้องระบุ ตามที่กล่าวในการบรรยายที่มีจำนวนของคุณสมบัติของร็อคในความสัมพันธ์กับขั้วของ Laplace แปลงและในความสัมพันธ์กับคุณสมบัติบางอย่างของสัญญาณในโดเมนเวลา คุณสมบัติเหล่านี้มักจะอนุญาตให้เราระบุพื้นที่ของการบรรจบกันจากเพียงเสาศูนย์รูปแบบในระนาบ s เมื่อบางข้อมูลเสริมเกี่ยวกับสัญญาณในโดเมนเวลาที่เป็นที่รู้จักกัน
เช่นว่าสัญญาณด้านขวา, ซ้าย ด้านหรือสัญญาณสองด้าน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตั้งแต่เราเปิดตัวครั้งแรก Fourier analysis ในการบรรยาย 7 เราได้ต้องอาศัยคุณสมบัติในการวิเคราะห์และการเป็นตัวแทนของสัญญาณและระบบเชิงเส้นค่าคงที่เวลา การแปลงถูกพัฒนาขึ้นจากแนวคิดของการแสดงเป็นสัญญาณการรวมกันเชิงเส้นของสัญญาณพื้นฐานที่ถูกเลือก
เป็น eigenfunctions เชิงเส้น ระบบค่าคงที่เวลากับ eigenfunctions เลือกเป็นสัญญาณ E J ( t , การแสดงนี้นำไปสู่ฟูเรียร์ สมการ การสังเคราะห์และให้ระบบ LTI จะเป็นตัวแทนจากสเปกตรัมของค่าเป็นฟังก์ชันของ W ที่เป็น การเปลี่ยนแปลงในขนาดที่ใช้ระบบของแต่ละปัจจัยขั้นพื้นฐาน
E "ในปีนี้และต่อไปอีกหลายๆ ครั้งเราแนะนำลักษณะทั่วไปของการแปลงเรียกว่าการแปลงลาปลาซ นอกจากนำไปสู่จำนวนของข้อมูลเชิงลึกใหม่ใช้การแปลงลาปลาซเอา
บางส่วนของข้อ จำกัด ที่พบ กับการแปลงฟูรีเย . โดยเฉพาะ การแปลงลาปลาซการลู่เข้าสำหรับชั้นเรียนที่กว้างขึ้นของสัญญาณมากกว่า
ฟูเรียร์ .
ทั่วไปรุ่น eigenfunctions สำหรับมัลติประกอบด้วยระบบดอทคอม -
เพล็กซ์การยกกำลัง ES ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน การใช้ห้องเรียนทั่วไปนี้ในสถานที่ของการยกกำลังเชิงซ้อน E " นำไปสู่การเป็นตัวแทนของสัญญาณและระบบในแง่ของการแปลงลาปลาซ การตอบสนองของระบบมัลติไปชี้แจงที่ซับซ้อนของรูปแบบ EST คือ H ( s ) EST และ H ( s )
ซึ่งแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงในขนาด จะเรียกว่าเป็นฟังก์ชันระบบ ที่พัฒนาในการบรรยาย , H ( S ) คือ ผลการแปลงลาปลาซผลตอบสนองอิมพัลส์ของระบบ .
การแปลงลาปลาซและการแปลงฟูรีเยจะเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดในหลายวิธี เมื่อ S คือหมดจดจินตนาการ เช่น เมื่อ S = 16 , การแปลงลาปลาซลดเพื่อการแปลง . มากขึ้นโดยทั่วไปการแปลงลาปลาซสามารถถูกมองว่าเป็นฟูเรียร์ของสัญญาณหลังจากงานแสดงสินค้า -
nential น้ำหนักได้ถูกใช้ เพราะน้ำหนักที่ชี้แจงนี้ การแปลงลาปลาซสามารถบรรจบสำหรับสัญญาณที่มีการแปลงฟูรีเย
ไม่ได้มาบรรจบกัน การแปลงลาปลาซเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนทั่วไป
s และใด ๆสัญญาณการแปลงลาปลาซๆสำหรับช่วงของค่าของ S
ช่วงนี้เรียกว่าการลู่เข้าของภูมิภาค ( ROC ) และมีบทบาทสำคัญในการระบุการแปลงลาปลาซเกี่ยวข้องกับได้รับสัญญาณ โดยเฉพาะสองแตกต่างกัน สัญญาณได้ผลการแปลงลาปลาซกับ iden -
ติกอลพีชคณิตการแสดงออก และความแตกต่างในผล เช่นในช่วงของค่า S ที่การแสดงออกใช้ได้
ส่วนใหญ่ สัญญาณที่เราจะจัดการในเรื่องนี้ และต่อมาอาจารย์จะถูกแสดงโดยผลการแปลงลาปลาซ ซึ่งเชื่อมโยงพีชคณิตการแสดงออกคือ อัตราส่วนของพหุนามในตัวแปรเชิงซ้อน S .
รากของพหุนามเป็นเศษเรียกว่า ศูนย์ของลาปลาซแปลงและรากของพหุนาม ส่วนจะเรียกว่า
เสาของการแปลงลาปลาซ มันมักจะสะดวกเป็นตัวแทนการแปลงลาปลาซกราฟิกใน s-plane ซับซ้อนโดยทำเครื่องหมายตำแหน่งของเสากับ X และที่ตั้งของศูนย์กับ 0 ด้วยข้อยกเว้นของตัวประกอบขนาดโดยรวมนี่เสาศูนย์แผนภาพระบุนิพจน์พีชคณิตสำหรับการแปลงลาปลาซ นอกจากนี้ ผลที่ต้องระบุ ตามที่กล่าวไว้ในการบรรยายมีจำนวนคุณสมบัติของ Roc ในความสัมพันธ์กับขั้วของผลการแปลงลาปลาซและในความสัมพันธ์กับคุณสมบัติบางอย่างของสัญญาณบนโดเมนเวลา .คุณสมบัติเหล่านี้มักจะอนุญาตให้เราระบุการลู่เข้าของภูมิภาคจากเพียงเสาศูนย์แบบแผนใน s-plane เมื่อมีข้อมูลเสริมเกี่ยวกับสัญญาณบนโดเมนเวลา คือรู้จัก
เช่นว่าเป็นสัญญาณขวา left-sided , หรือสองสัญญาณ