Research Page We will include here

Research Page


We will include here the ps or pdf files for various papers and expository articles as they are completed. The most recent one is first. Here also are pdf files of recent talks: Some Lectures


On p-adic Artin L-functions II . This paper is a sequel to an earlier paper. We discuss the topic from the Selmer group point of view instead of the Galois group point of view. This results in a more transparent definition of the mu-invariant and a simpler explanation of how the main conjecture can be deduced from the work of Wiles.

Selmer groups and congruences. This is an expanded version of my talk for the ICM 2010. It is a survey concerning the question of studying the elements of order p in the Selmer group for an elliptic curve based on the structure of E[p] as a Galois module.

On elliptic curves with an isogeny of degree 7. This is a joint paper with Karl Rubin, Alice Silverberg, and Michael Stoll. We study elliptic curves with an isogeny of degree 7 defined over a field k. In the special case where k = Q, we study the image of the 7-adic Galois representations attached to such elliptic curves and prove that the image is as large as possible for all such elliptic curves, except for those which have CM.

On the structure of Selmer groups. The main results of this paper establish the nonexistence of pseudo-null submodules in the Pontryagin dual of Selmer groups. That is, the prime ideals in the support of such a module are always of height 1. As in the previous paper, we study Selmer groups defined in a very general way.

Surjectivity of the global-to-local map defining a Selmer group . Selmer groups can be attached to Galois representations over a ring $R$ under certain assumptions. A Selmer group is defined to be the kernel of a certain kind of map which we call "global-to-local." This paper studies the cokernel of that map and gives sufficient conditions for the map to be surjective.

The image of Galois representations attached to elliptic curves with an isogeny. This paper studies the image of the Galois representation associated to the p-adic Tate module of an elliptic curve with an isogeny of degree p. Under certain assumptions, the image is as large as possible.

Galois Representations with Open Image. This paper gives an algebraic number theory construction of continuous p-adic Galois representations of dimension n for a variety of pairs n and p.


Iwasawa Theory, Projective Modules, and Modular Representations. This paper concerns the structure of some modules over the group ring of a finite Galois group. The module of main interest is the Pontryagin dual of a non-primitive Selmer group for an elliptic curve E with good ordinary reduction at a prime p. Under certain hypotheses, we prove that this module is projective or of finite index in a projective module. We then use the theory of modular representations to derive consequences concerning Iwasawa theory for E. This pdf file is a new and significantly revised version of the paper and was posted here on May 16th, 2009.



Topics in Iwasawa Theory . We will post here the chapters of a monograph on Iwasawa theory as they are (more-or-less) completed. The file contains the first two chapters at present. Comments and suggestions (e.g., lack of clarity, errors, or misprints) will be appreciated.



On the Structure of Certain Galois Cohomology Groups. The Galois cohomology groups considered in this paper are associated to Galois representations over a ring R. The main theorem in this paper asserts that under certain assumptions on R and the representation, the Pontryagin dual of the 1st cohomology group contains no nonzero pseudo-null R-submodules.



Galois Theory for the Selmer Group of an Abelian Variety. Let A denote an abelian variety defined over a number field F. Suppose that A has potentially ordinary reduction at all primes of F lying over a fixed prime p. If K is a Galois extension of F such that Gal(K/F) is isomorphic to a p-adic Lie group and if L is any finite extension of F contained in K, then consider the restriction map:

SelA(L) ---> SelA(K)Gal(K/L)

The purpose of this paper is to study the kernel and cokernel of this restriction map as the field L varies. Under certain hypotheses, we show that the kernel and cokernel are always finite, and sometimes of order bounded independently of L.


The Iwasawa Invariants of Elliptic Curves. This is a joint paper with Nike Vatsal. Let p be an odd prime. Suppose that E is a modular elliptic curve/Q with good ordinary reduction at p. Let Qoo denote the cyclotomic Zp-extension of Q. It is conjectured that SelE(Qoo) is a cotorsion Lambda-module and that its characteristic ideal is related to the p-adic L-function associated to E. Under certain hypotheses we prove that the validity of these conjectures is preserved by congruences between the Fourier expansions of the associated modular forms.




Iwasawa Theory-Past and Present. This article is dedicated to the memory of Kenkichi Iwasawa, who passed away on October 26th, 1998. It is an historical introduction to the basic ideas of this subject going back to the first papers of Iwasawa, various versions of the Main Conjecture, etc..




Introduction to Iwasawa Theory for Elliptic Curves. This article is based on lectures given at the IAS/Park CityMathematics Institute during the summer of 1999. The four chapters are devoted to the following topics: 1. Mordell-Weil Groups:A general discussion of the growth of the rank of Mordell-Weil groups in towers of number fields. 2. Selmer Groups: The definitions of the Selmer group of an elliptic curve and an equivalent, simpler description in the case where E has good, ordinary reduction. 3. Lambda-Modules: The structure of modules over the Iwasawa algebra. 4. Mazur's Control Theorem: A proof of this theorem and several of its consequences.


Iwasawa Theory for Elliptic Curves We study this subject by first proving that the p-primary subgroup of the classical Selmer group for an elliptic curve with good, ordinary reduction at a prime p has a very simple and elegant description which involves just the Galois module of p-power torsion points. We then prove theorems of Mazur, Schneider, and Perrin-Riou on the basis of this description. The final section, which is half of this long paper, contains a number of results and examples including a thorough study of the mu-invariant.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

วิจัยหน้า เราจะรวมนี่ ps หรือ pdf ไฟล์เอกสารและบทความ expository ต่าง ๆ เสร็จก็จะ ล่าสุดหนึ่งเป็นครั้งแรก ที่นี่ยังมีไฟล์ pdf ของการเจรจาล่าสุด: บรรยายบาง ในฟังก์ชัน Artin L p adic II เอกสารนี้เป็นผลสืบเนื่องไปเป็นกระดาษก่อนหน้านี้ เราหารือหัวข้อจากเซลเมอร์กลุ่มมองแทน Galois กลุ่มมอง ซึ่งผลลัพธ์ในคำจำกัดความที่ชัดเจนมากของหมู่ภาษาและคำอธิบายง่ายกว่าวิธีสามารถ deduced ข้อความคาดการณ์หลักจากการทำงานจึงย่อมไขว้เขว กลุ่มเซลเมอร์และ congruences นี้เป็นรุ่นที่ขยายของการพูดคุยของฉันสำหรับ ICM 2010 เป็นการสำรวจที่เกี่ยวข้องกับคำถามของการศึกษาองค์ประกอบของพีสั่งในกลุ่มเซลเมอร์สำหรับการโค้ง elliptic ตามโครงสร้างของอี [p] เป็นโมดู Galois บนเส้นโค้ง elliptic กับการ isogeny ของระดับ 7 นี่คือกระดาษร่วม กับคาร์ล Rubin อลิ Silverberg ไมเคิล Stoll เราศึกษาเส้นโค้ง elliptic กับการ isogeny ปริญญากำหนดผ่านฟิลด์ k 7 ในกรณีพิเศษที่ k = Q เราศึกษารูปแทน Galois 7 adic ที่แนบดังกล่าวโค้ง elliptic และพิสูจน์ว่ารูปมีขนาดใหญ่เป็นไปได้ทั้งหมดเช่น elliptic โค้ง ยกเว้นผู้ที่มี CM โครงสร้างของกลุ่มเซลเมอร์ ผลลัพธ์หลักของกระดาษนี้สร้าง nonexistence ของ submodules pseudo-เป็น null ในคู่ Pontryagin ของกลุ่มเซลเมอร์ นั่นคือ อุดมคติหลักในการสนับสนุนเช่นโมดูได้เสมอความสูง 1 ในกระดาษก่อนหน้านี้ เราศึกษากลุ่มเซลเมอร์กำหนดแบบทั่วไปมาก Surjectivity ของแผนที่ส่วนกลางกับท้องถิ่นที่กำหนดกลุ่มเซลเมอร์ สามารถแนบกับ Galois แทนกลุ่มเซลเมอร์มากกว่า$ $R แหวนภายใต้สมมติฐานบางอย่าง กำหนดให้ kernel ของชนิดของแผนที่ที่เราเรียก "ทั่วโลกให้ท้องถิ่น" กลุ่มเซลเมอร์ กระดาษนี้ศึกษา cokernel ของแผนที่นั้น และให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับแผนที่จะ surjective รูปแทน Galois กับโค้ง elliptic กับ isogeny การ กระดาษนี้ศึกษาภาพแสดง Galois ที่เกี่ยวข้องกับ p adic เทโมดูลของการโค้ง elliptic กับการ isogeny ของระดับ p ภายใต้สมมติฐานบางอย่าง รูปภาพจะมีขนาดใหญ่ที่สุด นำเสนอ Galois รูปเปิด กระดาษนี้ให้เป็นจำนวนเชิงพีชคณิตทฤษฎีการก่อสร้างต่อเนื่อง p adic Galois แทน n มิติหลากหลายคู่ n และ p ทฤษฎี Iwasawa โม Projective และนำเสนอโมดูลาร์ กระดาษนี้เกี่ยวข้องกับโครงสร้างของโมดูลบางผ่านแหวนกลุ่มกลุ่ม Galois จำกัด โมน่าสนใจหลักคือ Pontryagin สองของกลุ่มเซลเมอร์ไม่ใช่กับขึ้นสำหรับเส้นโค้ง elliptic เป็น E ลดปกติดีที่ p เฉพาะ ภายใต้สมมุติฐานบางอย่าง เราพิสูจน์ว่า โมดูลนี้เป็น projective หรือดัชนีจำกัดในโมดูล projective เราใช้ทฤษฎีนำเสนอโมดูลาร์จะได้รับผลกระทบเกี่ยวกับทฤษฎี Iwasawa สำหรับอี ไฟล์ pdf นี้เป็นรุ่นใหม่ และปรับปรุงอย่างมีนัยสำคัญของกระดาษ และถูกลงรายการบัญชีที่นี่บน 16 พฤษภาคม 2009 หัวข้อในทฤษฎี Iwasawa เราจะโพสที่นี่บทของ monograph Iwasawa ทฤษฎีมี (มาก หรือน้อย) เสร็จสมบูรณ์ แฟ้มประกอบด้วยบทที่สองในปัจจุบัน จะนิยมความเห็นและข้อเสนอแนะ (เช่น ขาดความคมชัด ผิดพลาด หรือ misprints) โครงสร้างของกลุ่ม Cohomology Galois บาง กลุ่ม cohomology Galois ถือกระดาษนี้จะเชื่อมโยงกับ Galois แทนผ่านแหวนอาร์ ทฤษฎีบทหลักในกระดาษนี้ยืนยันว่า ภายใต้สมมติฐานบาง R และการแสดง คู่ Pontryagin ของ cohomology กลุ่ม 1 ประกอบด้วยไม่ nonzero null pseudo-R-submodules ทฤษฎี Galois สำหรับ กลุ่มเซลเมอร์หลากหลายมีอาบีเลียน ให้ A แสดงหลากหลายอาบีเลียนที่กำหนดผ่านเขตนี่สมมติว่ามีลดอาจธรรมดาที่โรงแรมไพรม์ทั้งหมด F โกหกมากกว่า p เฉพาะแบบถาวร K คือ Galois ส่วนขยายของ F Gal(K/F) เป็น isomorphic กลุ่มนอน p adic และ L ต่อจำกัดของ F ใน K แล้วพิจารณาข้อจำกัดแผนที่:SelA(L)---> SelA(K)Gal(K/L)วัตถุประสงค์ของเอกสารนี้คือการ ศึกษาเคอร์เนลและ cokernel ผังข้อจำกัดนี้เป็นฟิลด์ที่แตกต่างกันไป L ภายใต้สมมุติฐานบางอย่าง เราแสดงว่า เคอร์เนลและ cokernel มักจำกัด และบางครั้งสั่งล้อมรอบอิสระ L. Invariants Iwasawa ของโค้ง Elliptic นี่คือกระดาษร่วมกับ Nike Vatsal ให้ p เป็นนายกเป็นคี่ สมมติว่า เป็นแบบโมดูลาร์ elliptic โค้ง/Q ลดปกติดีที่ p ให้แสดง cyclotomic Zp ส่วนขยายของ Q Qoo Conjectured ว่า SelE(Qoo) cotorsion แลมบ์ดา-โมดูล และที่พักเป็นลักษณะเกี่ยวข้องกับ p adic L ฟังก์ชันเชื่อมโยงกับอี ภายใต้สมมุติฐานบางอย่าง เราพิสูจน์ว่า ถูกต้องของ conjectures เหล่านี้จะถูกรักษาไว้ โดย congruences ระหว่างขยายฟูรีเยแบบฟอร์มโมดุลสัมพันธ์ Iwasawa ทฤษฎีอดีตและปัจจุบัน บทความนี้ใช้เฉพาะหน่วยความจำของ Kenkichi Iwasawa ซึ่งสวรรคตในวันที่ 26 ตุลาคม 1998 จึงแนะนำประวัติศาสตร์ความคิดพื้นฐานของเรื่องนี้กลับไปยัง first papers ของ Iwasawa เวอร์ชันต่าง ๆ ของข้อความคาดการณ์หลัก ฯลฯ ... แนะนำทฤษฎี Iwasawa เส้นโค้ง Elliptic บทความนี้จะขึ้นอยู่กับบรรยายณ สถาบัน CityMathematics IAS/สวน ในช่วงฤดูของปี 1999 บทที่สี่จะทุ่มเทไปยังหัวข้อต่อไปนี้: 1. กลุ่ม: A Mordell Weil สนทนาทั่วไปของการเติบโตของพ.ต.ต. Mordell Weil กลุ่มอาคารของฟิลด์หมายเลข 2. เซลเมอร์กลุ่ม: คำนิยามของกลุ่มเซลเมอร์การโค้ง elliptic และคำอธิบายที่ง่ายกว่า เทียบเท่าในกรณีที่ E ได้ดี ลดธรรมดา 3. แลมบ์ดาโม: โครงสร้างของโมดูลมากกว่าพีชคณิต Iwasawa 4. ทฤษฎีบท Mazur ควบคุม: พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้และเป็นผลที่เกิดขึ้นจำนวนมาก ทฤษฎี Iwasawa สำหรับ Elliptic โค้งเราศึกษาเรื่องนี้ โดยแรกพิสูจน์ที่กลุ่มย่อย p หลักของเซลเมอร์คลาสสิกกลุ่มสำหรับการโค้ง elliptic ลดดี ปกติที่ p นายกมีคำอธิบายที่เรียบง่าย และสง่างามที่เกี่ยวข้องเพียง Galois โมจุด p พลังงานแรงบิด แล้วเราพิสูจน์ทฤษฎี Mazur ชไนเดอร์ และ Perrin Riou ตามคำอธิบายนี้ ส่วนสุดท้าย ซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของกระดาษนี้ยาว ประกอบด้วยจำนวนของผลลัพธ์และตัวอย่างรวมถึงการศึกษาอย่างละเอียดในหมู่บล็อก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

วิจัยหน้าเราจะรวมถึงที่นี่ไฟล์ PS หรือไฟล์ PDF สำหรับเอกสารต่างๆและบทความเกี่ยวกับการชี้แจงตามที่พวกเขาจะเสร็จสมบูรณ์ หนึ่งล่าสุดคือครั้งแรก ที่นี่ยังเป็นไฟล์ PDF ของการเจรจาที่ผ่านมา: การบรรยายบางใน p- อำนวย Artin L-ฟังก์ชั่นที่สอง กระดาษนี้เป็นผลสืบเนื่องไปก่อนหน้ากระดาษ เราหารือเรื่องจากจุดที่กลุ่มเซมในมุมมองของแทนของกลุ่ม Galois จุดของมุมมอง นี้ส่งผลในความหมายของความโปร่งใสมากขึ้น MU-คงที่และคำอธิบายที่ง่ายของวิธีการคาดคะเนหลักสามารถอนุมานได้จากการทำงานของมายา. กลุ่มเซมและสมภาค นี้เป็นรุ่นที่การขยายตัวของการพูดคุยของฉันสำหรับ ICM 2010 มันเป็นคำถามเกี่ยวกับการสำรวจของการศึกษาองค์ประกอบของพีสั่งซื้อในกลุ่มเซมสำหรับโค้งรูปไข่ขึ้นอยู่กับโครงสร้างของ E [p] เป็นโมดูล Galois. เมื่อวันที่ เส้นโค้งรูปไข่ที่มีการศึกษาระดับปริญญา isogeny 7 นี้เป็นกระดาษร่วมกับคาร์ลรูบินอลิซซิลเวอร์และไมเคิล Stoll เราศึกษาเส้นโค้งรูปไข่ที่มีการศึกษาระดับปริญญา isogeny 7 กำหนดสนาม k ในกรณีพิเศษที่ K = Q เราศึกษาภาพของการแสดง Galois 7 ADIC ที่แนบมากับเส้นโค้งรูปไข่ดังกล่าวและพิสูจน์ให้เห็นว่าภาพที่มีขนาดใหญ่เป็นไปได้สำหรับเส้นโค้งรูปไข่ดังกล่าวทั้งหมดยกเว้นสำหรับผู้ที่มี CM. เมื่อวันที่ โครงสร้างของกลุ่มเซม ผลหลักของบทความนี้สร้าง nonexistence ของ submodules หลอก null ใน Pontryagin คู่ในกลุ่มเซม นั่นคืออุดมการณ์ที่สำคัญในการสนับสนุนของโมดูลดังกล่าวมักจะมีความสูง 1 ในขณะที่กระดาษก่อนหน้านี้เราศึกษากลุ่มเซมที่กำหนดไว้ในวิธีทั่วไปมาก. Surjectivity ของแผนที่โลกเพื่อท้องถิ่นกำหนดกลุ่มเซม กลุ่มเซมสามารถแนบไปกับการแสดง Galois มากกว่าแหวน $ R $ ภายใต้สมมติฐานบางอย่าง กลุ่มเซมถูกกำหนดให้เป็นเมล็ดบางชนิดของแผนที่ที่เราเรียกว่า "ระดับโลกเพื่อท้องถิ่น." กระดาษนี้ศึกษา cokernel แผนที่ที่และให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับแผนที่เพื่อจะ surjective. ภาพของการแสดง Galois ที่แนบมากับเส้นโค้งรูปไข่ที่มี isogeny กระดาษนี้ศึกษาภาพของการเป็นตัวแทน Galois เกี่ยวข้องกับโมดูลเทต p- อำนวยการของเส้นโค้งรูปไข่ที่มีการศึกษาระดับปริญญา isogeny พี ภายใต้สมมติฐานบางภาพที่มีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่ทำได้. รับรองลัวส์ที่มีภาพเปิด กระดาษนี้จะช่วยให้ทฤษฎีจำนวนพีชคณิตการก่อสร้างการแสดง Galois p- อำนวยการอย่างต่อเนื่องของมิติ n สำหรับความหลากหลายของคู่ n และพี. Iwasawa ทฤษฎี Projective โมดูลและการรับรอง Modular กระดาษนี้เกี่ยวข้องกับโครงสร้างของโมดูลบางกว่าแหวนกลุ่มของกลุ่มลัวส์ จำกัด โมดูลที่น่าสนใจที่สำคัญคือคู่ของ Pontryagin กลุ่มเซมที่ไม่ใช่แบบดั้งเดิมสำหรับ E โค้งรูปไข่กับการลดสามัญดีที่นายก p ภายใต้สมมติฐานบางอย่างเราพิสูจน์ได้ว่าโมดูลนี้เป็น projective หรือของดัชนี จำกัด ในโมดูล projective จากนั้นเราจะใช้ทฤษฎีของการแสดงแบบแยกส่วนที่จะได้รับผลกระทบเกี่ยวกับทฤษฎี Iwasawa สำหรับอีไฟล์ pdf นี้เป็นรุ่นที่ออกและปรับปรุงใหม่อย่างมีนัยสำคัญของกระดาษและถูกโพสต์ที่นี่ในวันที่ 16 พฤษภาคม 2009 หัวข้อในทฤษฎี Iwasawa เราจะโพสต์ที่นี่บทของหนังสือเกี่ยวกับทฤษฎี Iwasawa ที่พวกเขาเป็น (เพิ่มเติมหรือน้อยกว่า) แล้วเสร็จ แฟ้มประกอบด้วยสองบทแรกในปัจจุบัน ความคิดเห็นและข้อเสนอแนะ (เช่นการขาดความชัดเจนข้อผิดพลาดหรือ misprints) จะได้รับการชื่นชม. ในโครงสร้างบาง Galois Cohomology กลุ่ม กลุ่มโฮโมโลจี้ Galois พิจารณาในบทความนี้จะเกี่ยวข้องกับการแสดง Galois แหวนอาร์ทฤษฎีบทหลักในบทความนี้อ้างว่าภายใต้สมมติฐานบางอย่างในการวิจัยและการเป็นตัวแทน, Pontryagin คู่ของกลุ่มโฮโมโลจี้ 1 ไม่มีเลขหลอก null R -submodules. ทฤษฎี Galois สำหรับกลุ่มเซมวาไรตี้ของศาสนาคริสต์ ขอแสดงว่าความหลากหลายศาสนาคริสต์ที่กำหนดฟิลด์หมายเลขเอฟสมมติว่ามีการลดธรรมดาที่อาจเกิดขึ้นในช่วงเวลาทั้งหมดของ F โกหกมากกว่านายก p คงที่ ถ้า K เป็นส่วนขยายของ F ลัวส์เช่นที่สาว (K / F) คือ isomorphic จะ p- อำนวยการกลุ่มโกหกและถ้า L ใด ๆ ที่ขยายขอบเขตของ F ที่มีอยู่ใน K แล้วพิจารณาข้อ จำกัด แผนที่: ซี (L) - -> ซี (K) สาว (K / L) วัตถุประสงค์ของการวิจัยนี้คือการศึกษา kernel และ cokernel แผนที่ข้อ จำกัด นี้เป็น L สนามแตกต่างกันไป ภายใต้สมมติฐานบางอย่างเราแสดงให้เห็นว่าเคอร์เนลและ cokernel มักจะ จำกัด และบางครั้งของการสั่งซื้อที่สิ้นสุดเป็นอิสระจากแอลIwasawa Invariants ของเส้นโค้งรูปไข่ นี้เป็นกระดาษร่วมกับไนกี้ Vatsal โดยสมมติให้ p นายกแปลก สมมติว่า E เป็นโค้งรูปไข่แบบแยกส่วน / Q กับการลดสามัญดีที่พี ขอแสดง Qoo cyclotomic Zp นามสกุลของคิวมันเป็นสันนิษฐานว่า Sele (Qoo) เป็น cotorsion แลมบ์ดาโมดูลและเหมาะลักษณะที่เกี่ยวข้องกับ p- อำนวย L-ฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องกับอีภายใต้สมมติฐานบางอย่างที่เราพิสูจน์ให้เห็นว่า ความถูกต้องของการคาดเดาเหล่านี้ถูกเก็บรักษาไว้โดยสมภาคระหว่างการขยายฟูริเยร์ในรูปแบบโมดูลาร์ที่เกี่ยวข้อง. Iwasawa ทฤษฎีในอดีตและปัจจุบัน บทความนี้จะทุ่มเทให้กับความทรงจำของ Kenkichi Iwasawa ที่ถึงแก่กรรมเมื่อวันที่ 26 ตุลาคมปี 1998 มันเป็นประวัติศาสตร์ที่จะแนะนำความคิดพื้นฐานของเรื่องนี้จะกลับไปที่เอกสารแรกของ Iwasawa, รุ่นต่างๆของการคาดเดาหลัก ฯลฯ . รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎี Iwasawa สำหรับเส้นโค้งรูปไข่ บทความนี้จะขึ้นอยู่กับการบรรยายให้ที่ IAS / Park CityMathematics สถาบันในช่วงฤดูร้อนของปี 1999 สี่บทจะอุทิศให้กับหัวข้อต่อไปนี้ 1. Mordell-Weil กลุ่ม: การอภิปรายทั่วไปของการเจริญเติบโตของการจัดอันดับของ Mordell-Weil กลุ่มอาคารในช่องหมายเลข 2. เซมกลุ่ม: นิยามของกลุ่มเซมของเส้นโค้งรูปไข่และรายการเทียบเท่า, คำอธิบายง่ายในกรณีที่มีอีดีลดสามัญ 3. แลมบ์ดาโมดูล: โครงสร้างของโมดูลมากกว่าพีชคณิต Iwasawa 4. การควบคุมซูของทฤษฎีบท. พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้และอีกหลายผลที่ตามทฤษฎี Iwasawa สำหรับเส้นโค้งรูปไข่เราศึกษาเรื่องนี้โดยครั้งแรกที่พิสูจน์ให้เห็นว่ากลุ่มย่อยหน้าหลักของกลุ่มเซมคลาสสิกสำหรับเส้นโค้งรูปไข่ด้วยความดีลดสามัญ นายก p มีคำอธิบายอย่างง่ายและสง่างามที่เกี่ยวข้องกับการเพียงโมดูล Galois จุดแรงบิดพีพลังงาน จากนั้นเราจะพิสูจน์ทฤษฎีของมาซูร์ชไนเดอเพอร์รินและ-Riou บนพื้นฐานของคำอธิบายนี้ ส่วนสุดท้ายซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของกระดาษยาวนี้มีจำนวนของผลและตัวอย่างรวมทั้งการศึกษาอย่างละเอียดของ MU-คงที่