Most of the propositions of the class-calculus are easily deduced from those of the propositional calculus. The logical product or common part of two classes a nad b is the class of x’s such that the logical product of x is an a and x is a b is true. Similiarly we define the logical sum of two classes (a or b), and the negation of a class (not-a). A new idea is introduced by the logical product and sum of a class of classes. If k is a class of classes, its logical product is the class of terms belonging to each of the classes of k, i.e. the class of terms x such that u is a k implies x is a u for all values of u. The logical sum isthe class which is contained in every class of the class k is contained, i.e. the class of terms x such that, if u is a k implies u is contained in c for all values of u, then, for all values of c, x is a c. And we say that a class a is contained in class b when x is an a implies x is a b for all values of x. In like manner with the above we may define the product and sum of a class of propositions. Another very important notion is what is called the existence of a class—a word hwich must not be supposed to mean what existence means in philosophy. A class is said to exist when it has at least one term. A formal definition is as follows: a is an existent class when and only when any proposition is true provided x is an a always implies it whatevervalue we may give to x. It must be understood that the proposition implied must be a genuine proposition, not a propositional function of x. A class a exists when the logical sum of all propositions of the form x is an a is true, i.e. when not all such propositions are false.(§ 25 ¶ 1)
It is important to understand clearly the manner in which propositions in the class-calculus are obtained from those in the propositional calculus. Consider, for example, the syllogism. We have p implies q and q implies r imply p implies r. Now put x is an a, x is a b, x is a c for p, q, r, where x must have some definite value, but it is not necessary to decide what value. We then find that if, for the value of x in question, x is an a implies x is a b, and x is a b implies x is a c, then x is an a implies x is a c. Since the value of x is irrelevant, we may vary x, and thus we find that if a is contained in b, and b in c, then a is contained in c. This is the class-syllogism. But in applying this process it is necessary to employ the utmost caution if fallacies are to be successfully avoided. In this connection it will be instructive to examine a point upon which a dispute has arisen between Schröder and Mr McColl[19]. Schröder asserts that if p, q, r are propositions, pq implies r is equivalent to the disjunction p or q implies r. Mr McColl admits that the disjunction implies the other, but denies the converse implication. The reason for the divergence is, that Schröder is thinking of propositions and material implication, while Mr McColl is thinking of propositional functions and formal implication. As regards propositions, the truth of the principle may be easily made plain by the following considerations. If pq implies r, then, if either p or q be false, the one of them which is false implies r, because false propositions imply all propositions. But if both be true, pq is true, and therefore r is true, and therefore p implies r and q implies r, because true propositions are implied by every proposition. Thus in any case, one at least of the propositions p and q must imply r. (This is not a proof, but an elucidation.) But Mr McColl objects: Suppose p and q to be mutually contradictory, and r to be the null proposition, then pq implies r but neither p nor q implies r. Here we are dealing with propositional functions and formal implication. A propositional function is said to be null when it is false for all values of x; and the class of x’s satisfying the function is called the null-class, being in fact a class of no terms. Either the function or the class, following Peano, I shall denote by Λ. Now let our r be replaced by ϕx, and our q by not-ϕx, where ϕx is any propositional function. Then pq is false for all values of x, and therefore implies Λ. Thus the above formula can only be truly interpreted in the propositional calculus: in the class-calculus it is false. This may be easily rendered obvious by the following considerations: Let ϕx, ψx, χx be three propositional functions. Then ϕx . ψx implies χx implies, for all vlues of x, that either ϕx implies χx or ψx implies χx. But it does not imply that either ϕx implies χx for all values of x, or ψx implies χx for all values of x. The disjunction is what I shall call a variable disjunction, as opposed to a constant one: that is, in some cases one alternative is true, in others the other, whereas in a constant disjunction there is one of the alternatives (thought it is not stated which) that is always true. Wherever disjunctions occur in regard to propositional functions, they will only be transformabl
ส่วนใหญ่ของข้อเสนอของเรียนแคลคูลัสสามารถ deduced จากของแคลคูลัสเชิงประพจน์ . ตรรกะของผลิตภัณฑ์ หรือ ทั่วไป ส่วนสองคลาสและ B เป็นรุ่น X เช่นว่าผลิตภัณฑ์ที่เป็นตรรกะของ X และ X คือ B เป็นจริง similiarly เรากำหนดผลรวมตรรกะสองระดับ ( A หรือ B ) และการปฏิเสธของชั้นเรียน ( not-a ) ความคิดใหม่ที่แนะนำโดยผลิตภัณฑ์เชิงตรรกะและผลรวมของระดับของชั้นเรียน ถ้า k เป็นคลาสของคลาสผลิตภัณฑ์ตรรกะของมันคือระดับของข้อตกลงของแต่ละชั้นเรียนของ K คือคลาสของเงื่อนไข X เช่นที่ U เป็น K หมายถึง x เป็น U ค่าทั้งหมดของสหรัฐอเมริกา ตรรกะรวมเป็นห้องซึ่งอยู่ในคลาสทุกคลาส K อยู่คือชั้นของเงื่อนไข X เช่นว่า ถ้าหากเป็น K หมายถึงคุณมีอยู่ใน C ค่าทั้งหมดของ ยู แล้ว ค่าทุกค่าของ C , X เป็น C และเราบอกว่าเรียนอยู่ในคลาส B เมื่อ x เป็นบาง x เป็นค่า B ทั้งหมด X เหมือนกันกับข้างต้นเราอาจกำหนดผลิตภัณฑ์ และจำนวนชั้นของข้อเสนอ . อีกเรื่องที่สำคัญมากคือสิ่งที่เรียกว่าการมีชีวิตอยู่ใน hwich คำคลาสต้องหมายถึงว่ามีอยู่วิธีการในปรัชญา ชั้นจะบอกว่า อยู่ เมื่อมันมีอย่างน้อยหนึ่งในระยะ นิยามอย่างเป็นทางการมีดังนี้ : เป็นวิชาที่มีอยู่เมื่อและเฉพาะเมื่อข้อเสนอใด ๆจริงให้ X คือเสมอหมายถึง whatevervalue เราจะให้ X . มันต้องเข้าใจว่าโจทย์ว่าต้องข้อเสนอของแท้ ไม่ใช่เชิงประพจน์ฟังก์ชันของ x ระดับมีอยู่เมื่อผลรวมของทั้งหมดตรรกะ ข้อเสนอของรูปแบบ X เป็น เป็นจริง เช่นเมื่อไม่ได้ทั้งหมดเช่นข้อเสนอเป็นเท็จ ( 25 §¶ 1 )มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะเข้าใจได้อย่างชัดเจน ลักษณะที่เสนอในชั้นเรียนแคลคูลัสได้จากในแคลคูลัสเชิงประพจน์ . พิจารณา เช่น การอ้างเหตุผล . เราได้ P หมายถึง Q และ Q แสดงเป็นนัยนัยตอนนี้ใส่ R P R X เป็น X คือ B , X เป็น C P , Q , R , X ต้องมีแน่นอนค่า แต่ไม่จําเป็นต้องตัดสินใจว่าค่าอะไร จากนั้นเราพบว่าถ้าค่าของ x ในคำถาม x เป็นบาง x เป็น B , และ X เป็น B เป็น C หมายถึง x แล้ว x เป็นบาง x เป็น C เนื่องจากค่าของ x ที่ไม่เกี่ยวข้อง เราอาจแตกต่างกัน x , ดังนั้นเราจึงพบว่า คือที่มีอยู่ใน B และ B C แล้วมีอยู่ใน C นี้เป็นชั้นเรียนการอ้างเหตุผล . แต่ในการใช้กระบวนการนี้จะต้องใช้ความระมัดระวังสูงสุด ถ้า fallacies จะได้หลีกเลี่ยง ในการเชื่อมต่อนี้จะให้ตรวจสอบจุดที่เป็นข้อพิพาทที่เกิดขึ้นระหว่าง schr ö der และนาย McColl [ 19 ] schr ö der อ้างว่าถ้า p , q , r เป็นข้อเสนอ , PQ หมายถึง R เทียบเท่ากับประพจน์เลือก P หรือ R . Q หมายถึงนาย McColl ยอมรับว่าประพจน์เลือกบางอื่น ๆแต่ ว่า นัย สนทนา . เหตุผลสำหรับความแตกต่างคือ ว่า schr ö der จะคิดข้อเสนอและความหมายวัสดุ ในขณะที่นาย McColl คิดของการทำงานเชิงประพจน์และเป็นทางการโดยปริยาย ส่วนเรื่อง ความจริงของหลักการอาจจะได้อย่างง่ายดายทำให้ธรรมดา โดยการพิจารณาดังต่อไปนี้ ถ้า PQ หมายถึง R แล้ว ถ้า P หรือ q เป็นเท็จ หนึ่งของพวกเขาซึ่งเป็นเท็จบาง R เพราะข้อเสนอเท็จบ่งบอกทุกเรื่อง แต่ถ้าเป็นจริง , PQ เป็นจริงและดังนั้นจึง R เป็นจริงและดังนั้นจึงหมายถึง R และ R P Q หมายถึง เพราะข้อเสนอจริงเป็นโดยนัย โดยทุกข้อเสนอ ดังนั้นในกรณีใด ๆอย่างน้อยหนึ่งของข้อเสนอ P และ Q ต้องเป็น R . ( นี้ไม่ได้เป็นข้อพิสูจน์ แต่เป็นคำชี้แจง แต่นาย McColl วัตถุ : สมมติว่า P และ Q จะร่วมกันดำเนินงาน และ r เป็นข้อเสนอ null แล้ว PQ หมายถึง R แต่ P และ Q แสดงที่นี่เรา . จะจัดการกับฟังก์ชันเชิงประพจน์และเป็นทางการโดยปริยาย ฟังก์ชันเชิงประพจน์กล่าวเป็นโมฆะเมื่อมันเป็นเท็จ สำหรับทุกค่าของ x ; และชั้นเรียนของ X เพียงฟังก์ชั่นที่เรียกว่าห้องว่าง ในความเป็นจริงรุ่นไม่มีข้อตกลง ด้วยฟังก์ชันหรือคลาส ตามเปอาโน ผมจะแสดงโดยΛ . ตอนนี้ให้เรา R ถูกแทนที่ด้วยϕ X , และ Q โดยไม่ - ϕ x ที่ϕ x มีข้อเสนอใด ๆ ฟังก์ชั่น จากนั้น PQ เป็นเท็จทั้งหมด ค่าของ x และดังนั้นจึงหมายถึงΛ . ดังนั้นสูตรข้างต้นสามารถอย่างแท้จริงตีความในแคลคูลัสเชิงประพจน์ : ในชั้นเรียนแคลคูลัสมันเป็นเท็จ นี้อาจจะง่ายให้ชัดเจนโดยพิจารณาดังต่อไปนี้ ให้ϕ X , ψ X , χ x 3 ฟังก์ชันเชิงประพจน์ . แล้วϕ x . ψ X หมายถึงχ x บาง ทั้งหมด vlues ของ X เหมือนกันϕ X หมายถึงχ X หรือψ X หมายถึงχ X แต่มันไม่ได้หมายความว่า ϕ X หมายถึงχ x ทุกค่า x หรือψ X หมายถึงχ x ทุกค่าของ X ประพจน์เลือกคือสิ่งที่ผมจะเรียกว่าตัวแปร การตัดขาด , ตรงข้ามกับ คงที่ : นั่นคือ ในบางกรณีทางเลือกหนึ่งคือจริง คนอื่น ๆ , ในขณะที่ในการตัดขาดคงที่นั้นเป็นหนึ่งในทางเลือก ( คิดว่ามันจะไม่ระบุที่ ) ที่เป็นจริงเสมอ ที่ disjunctions เกิดขึ้นในเรื่องข้อเสนอ
การแปล กรุณารอสักครู่..