Note 1 Multiplying a matrix times a

Note 1 Multiplying a matrix times a vector is the crucial step. If students have seen Ax before, it was
row times column. In examples they are free to compute that way (as I do). “Dot product with rows” gives the same answer as “combination of columns”. When the combination x1 a1 C x2 a2 C x3 a3 is computed
one component at a time, we are using the rows.
The example illustrates how the same Ax arrives both ways. Differences like x2 x1 come from row
times column. Combining the columns of A is probably new to the class: good. The relation of the rows
to the columns is truly at the heart of linear algebra.
Note 2 Three basic questions in linear algebra, and their answers, show why the column description of
Ax is so essential:
 When does a linear system Ax D b have a solution?
Ax D b asks us to express b as a combination of the columns of A. So there is a solution exactly
when b is in the column space of A.
 When are vectors a1; : : : ; an linearly independent?
The combinations of a1,...,an are the vectors Ax. For independence, Ax D 0 must have only the
zero solution. The nullspace of A must contain only the vector x D 0.
 How do you express b as a combination of basis vectors?
Put those basis vectors into the columns of A. Solve Ax D b.
Note 3 The reader may object that we have only answered questions by introducing new words. My
response is, those ideas of column space and nullspace and basis are crucial definitions in this subject.
The student moves to a higher level—a subspace level—by understanding these words. We are constantly
putting vectors into the columns of a matrix, and then working with that matrix.
I don’t accept that inevitably “The fog rolls in” when linear independence is defined [1]. The concrete
way to dependence vs. independence is through Ax D 0: many solutions or only the solution x D 0. This
comes immediately in returning to the example of specific a1, a2, a3.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หมายเหตุ 1 คูณครั้งเมตริกซ์เวกเตอร์เป็นขั้นตอนสำคัญ ถ้านักเรียนได้เห็น Ax ก่อน ถูกแถวคอลัมน์ครั้ง ในตัวอย่าง พวกเขาจะสามารถคำนวณวิธี (ผมทำ) "Dot product กับแถว" ให้คำตอบเดียวกันเป็น "ทั้งคอลัมน์" เมื่อคำนวณรวม x 1 C a2 C x 2 a1 x 3 a3คอมโพเนนต์หนึ่งในแต่ละครั้ง เราจะใช้แถวตัวอย่างแสดงว่า Ax เดียวมาถึงทั้งสองวิธี ความแตกต่างเช่น x 2 x 1 มาแถวคอลัมน์ครั้ง รวมคอลัมน์ของ A มีใหม่คงเป็นคลาส: ดี ความสัมพันธ์ของแถวคอลัมน์ได้อย่างแท้จริงหัวใจของพีชคณิตเชิงเส้นหมายเหตุ 2 สามคำถามพื้นฐานในพีชคณิตเชิงเส้น และคำตอบของพวกเขา จึงแสดงรายละเอียดคอลัมน์ของAx เป็นสำคัญ:ระบบเชิงเส้น Ax D b ไม่มีปัญหาเมื่อใดAx D b ถามเราให้บริการเป็นการรวมกันของคอลัมน์ของอ. ดังนั้น มีปัญหาแน่นอนเมื่อ b คือในพื้นที่คอลัมน์ของอ.เมื่อมีเวกเตอร์ a1; : : : ; การเชิงเส้นอิสระชุด a1,... อยู่ Ax เวกเตอร์ สำหรับความเป็นอิสระ Ax D 0 ต้องมีเพียงการศูนย์โซลูชัน Nullspace ของ A ต้องประกอบด้วยเฉพาะเวกเตอร์ x D 0การแสดง b เป็นการรวมกันของเวกเตอร์ฐานใส่เวกเตอร์พื้นฐานเหล่านั้นลงในคอลัมน์ของ A. แก้ Ax D bหมายเหตุ 3 อ่านอาจวัตถุที่ เรามีเพียงตอบคำถามแนะนำคำใหม่ ของฉันตอบ ความคิดของคอลัมน์ และ nullspace และพื้นฐาน definitions สำคัญในเรื่องนี้นักเรียนย้ายไประดับสูงขึ้นคือระดับ subspace — โดยเข้าใจคำเหล่านี้ เราอยู่ตลอดเวลาวางเวกเตอร์เป็นแถวของเมทริกซ์ และจากนั้น ทำงานกับเมตริกซ์ที่ฉันไม่ยอมรับว่า ย่อม "หมอกกลิ้ง" เมื่อเป็นอิสระเชิงเส้นเป็น defined [1] คอนกรีตวิธีการพึ่งพากับเอกราชคือ Ax D 0: เฉพาะการแก้ปัญหาหรือการแก้ไขปัญหามาก x D 0 นี้มาทันทีไปอย่าง specific a1, a2, a3

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หมายเหตุ 1 การคูณเมทริกซ์ครั้งเวกเตอร์เป็นขั้นตอนสำคัญ ถ้านักเรียนได้เห็นมันก่อน มันเป็น
คอลัมน์ครั้งแถว ในตัวอย่างมันเป็นฟรีเพื่อคำนวณวิธี ( ที่ผมทำ ) " ผลิตภัณฑ์จุดแถว " ให้คำตอบเดียวกันว่า " การรวมกันของคอลัมน์ " เมื่อรวมกัน X1 A1 A2 A3 C C X2 X3 จะคำนวณ
ส่วนประกอบหนึ่งที่เวลาเราใช้
แถวตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงวิธีการที่ขวานเดียวกันมาถึงทั้งสองวิธี ความแตกต่างเหมือน x1 x2 มาจากแถวคอลัมน์ครั้ง

รวมคอลัมน์ของน่าจะเป็นนักเรียนใหม่ : ดี ความสัมพันธ์ของแถว
กับคอลัมน์อย่างแท้จริงในหัวใจของพีชคณิตเชิงเส้น .
2 3 คำถามพื้นฐานในพีชคณิตเชิงเส้น และคำตอบของพวกเขา แสดงถึงคอลัมน์คำอธิบายของขวานมีความสําคัญมาก

: เมื่อไหร่ระบบเชิงเส้นขวาน D B ต้องมีวิธีแก้ปัญหา
ขวาน D B ถามเราด่วน B เป็นการรวมกันของคอลัมน์ของ ดังนั้นจึงมีวิธีแก้ปัญหาตรง
เมื่อ B อยู่ในพื้นที่ของคอลัมน์ A
 เมื่อเป็นพาหะ A1 ; : : : ; เป็นเส้นตรง ?
รวม A1 . . . . . . . ที่เป็นเวกเตอร์ขวาน ความเป็นอิสระ , ขวาน D 0 ต้องมีเฉพาะ
ศูนย์โซลูชั่นการ nullspace ต้องประกอบด้วยเฉพาะของเวกเตอร์ x D 0
 คุณแสดง B เป็นการรวมกันของเวกเตอร์พื้นฐาน ?
เอาพื้นฐานเวกเตอร์ในคอลัมน์ A . B .
3 แก้ขวาน D หมายเหตุผู้อ่านอาจวัตถุที่เราต้องตอบคำถามโดยการแนะนำคำศัพท์ใหม่ . การตอบสนองของฉัน
คือ แนวคิดของพื้นที่คอลัมน์ และ nullspace และพื้นฐานสำคัญ เดอ จึง nitions
ในเรื่องนี้นักเรียนย้ายไปยังระดับที่สูง level-a ได้โดยเข้าใจคำเหล่านี้ เราตลอดเวลา
ใส่เวกเตอร์ในคอลัมน์ของเมทริกซ์และจากนั้นทำงานกับเมทริกซ์ .
ผมไม่ยอมรับว่าย่อม " หมอกม้วน " เมื่อความเป็นอิสระเชิงเส้นจึงเนดเดอ [ 1 ] ทางคอนกรีต
เพื่อพึ่งพากับความเป็นอิสระผ่านขวาน D 0 : โซลูชั่นมากมาย หรือเพียงโซลูชั่น x D 0 นี้
มาทันทีในการกลับไปที่ตัวอย่างของกาจึง c A1 , A2 , A3