In mathematics, non-Euclidean geome

In mathematics, non-Euclidean geometry consists of two geometries based on axioms closely related to those specifying Euclidean geometry. As Euclidean geometry lies at the intersection of metric geometry and affine geometry, non-Euclidean geometry arises when either the metric requirement is relaxed, or the parallel postulate is replaced with an alternative one. In the latter case one obtains hyperbolic geometry and elliptic geometry, the traditional non-Euclidean geometries. When the metric requirement is relaxed, then there are affine planes associated with the planar algebras which give rise to kinematic geometries that have also been called non-Euclidean geometry.

The essential difference between the metric geometries is the nature of parallel lines. Euclid's fifth postulate, the parallel postulate, is equivalent to Playfair's postulate, which states that, within a two-dimensional plane, for any given line ℓ and a point A, which is not on ℓ, there is exactly one line through A that does not intersect ℓ. In hyperbolic geometry, by contrast, there are infinitely many lines through A not intersecting ℓ, while in elliptic geometry, any line through A intersects ℓ.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในคณิตศาสตร์ ไม่เรขาคณิต Euclidean ประกอบด้วยรูปทรงเรขาคณิตสองที่อิงหลักสัมพันธ์ใกล้ชิดกับผู้ที่ระบุแบบยุคลิดเรขาคณิต เป็นรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดอยู่ที่จุดตัดของเรขาคณิตการวัดและเรขาคณิต affine ไม่เรขาคณิต Euclidean เกิดขึ้นเมื่อความต้องการที่วัดเป็นการผ่อนคลาย หรือ postulate ขนานจะถูกแทนที่ด้วยทางเลือก ในกรณีหลังนี้ คนหนึ่งได้ไฮเพอร์โบลิเรขาคณิตและรูปเรขาคณิต รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่ใช่ที่แบบดั้งเดิม เมื่อต้องการวัดเป็นผ่อนคลาย แล้วมี affine เครื่องบินที่เกี่ยวข้องกับฉากระนาบที่ก่อให้เกิดการรูปทรงเรขาคณิตที่มีการเรียกว่าไม่เรขาคณิต Euclidean จลน์ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างรูปทรงเรขาคณิตเมตริกเป็นธรรมชาติของเส้นขนาน Euclid's ห้า postulate, postulate ขนาน จะเท่ากับ Playfair ของ postulate ซึ่งระบุว่า ภายในเครื่องบินสองมิติ ℓกำหนดบรรทัดใด ๆ และจุด A ซึ่งไม่อยู่บนℓ มีสายเดียวผ่าน A ที่ตัดℓ ในทางเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิ โดยคมชัด มีเพียบหลายสายผ่านℓตัดไม่เป็น ในขณะที่มีรูปเรขาคณิต บรรทัดใด ๆ ผ่าน A ตัดℓ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในทางคณิตศาสตร์ไม่เรขาคณิต Euclidean ประกอบด้วยสองรูปทรงเรขาคณิตที่อยู่บนพื้นฐานของหลักการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับผู้ที่ระบุรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด ในฐานะที่เป็นรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดอยู่ที่จุดตัดของรูปทรงเรขาคณิตตัวชี้วัดและเรขาคณิตเลียนแบบที่ไม่เรขาคณิต Euclidean เกิดขึ้นเมื่อทั้งความต้องการของตัวชี้วัดที่ผ่อนคลายหรือสมมุติขนานจะถูกแทนที่ด้วยทางเลือกหนึ่ง ในกรณีหลังหนึ่งได้รูปทรงเรขาคณิตที่เกินความจริงและรูปทรงเรขาคณิตรูปไข่รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ไม่ใช่แบบดั้งเดิม เมื่อความต้องการของตัวชี้วัดที่ผ่อนคลายแล้วมีเครื่องบินเลียนแบบที่เกี่ยวข้องกับการจีบระนาบที่ก่อให้เกิดรูปทรงเรขาคณิตจลนศาสตร์ที่ยังได้รับการเรียกไม่เรขาคณิต Euclidean.

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างรูปทรงเรขาคณิตตัวชี้วัดที่เป็นธรรมชาติของเส้นคู่ขนาน สมมุติห้าของ Euclid, สมมุติขนานเทียบเท่ากับสมมุติเพลย์แฟร์ซึ่งระบุว่าภายในระนาบสองมิติสำหรับℓใดก็ตามบรรทัดและจุด A ซึ่งไม่ได้อยู่ในℓมีตรงหนึ่งเส้นที่ไม่ ได้ตัดℓ ในเรขาคณิตผ่อนชำระโดยคมชัดมีหลายสายอนันต์ผ่านℓไม่ตัดในขณะที่ในรูปทรงเรขาคณิตรูปไข่เส้นใด ๆ ผ่านปริภูมิℓ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในคณิตศาสตร์ที่ไม่ใช้เรขาคณิตประกอบด้วยสองโครงสร้างบนพื้นฐานของหลักการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการใช้รูปทรงเรขาคณิต เป็นโบราณคดีเกี่ยวกับความตายอยู่ที่จุดตัดของเมตริกเรขาคณิตเรขาคณิตสัมพรรค ไม่ใช้เรขาคณิตเกิดขึ้นเมื่อความต้องการเมตริก ผ่อนคลาย หรือสัจพจน์เส้นขนานจะถูกแทนที่ด้วยทางเลือกที่หนึ่ง ในหลังกรณีหนึ่งได้รับค่ารูปเรขาคณิตและรูปทรงเรขาคณิต แบบไม่ใช้โครงสร้าง . เมื่อความต้องการเมตริก ผ่อนคลาย แล้วมีเครื่องบินรวมที่เกี่ยวข้องกับระนาบเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งก่อให้เกิดที่ยังเรียกว่าไม่ใช้รูปทรงเรขาคณิตความแตกต่างที่สำคัญระหว่างโครงสร้างเมตริก คือธรรมชาติของเส้นคู่ขนาน ยูคลิดห้าสัจพจน์ , สัจพจน์เส้นขนาน ก็เท่ากับคู่ของสัจพจน์ซึ่งระบุว่าในระนาบสองมิติใด ๆℓเส้นและจุด ซึ่งไม่ได้อยู่ในℓมีตรงหนึ่งบรรทัด ผ่าน ที่ ไม่ ℓเซก ในเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก , โดยคมชัดมีเพียบหลายสายผ่าน ไม่ตัดℓในขณะที่ในรูปเรขาคณิต บรรทัดใด ผ่านตัดℓ .