Moebius (or Mobius) Transformations

Moebius (or Mobius) Transformations Revealed is a short video by Douglas Arnold and Jonathan Rogness of the University of Minnesota which depicts the beauty of Moebius transformations and shows how moving to a higher dimension reveals their essential unity.

In geometry, a Möbius transformation is a function:
Moebius Transformations Equation

"Moebius transformations are among the most fundamental mappings in geometry, with applications from brain mapping to relativity theory.
A Mobius transformation acts on the plane, sending each point to a corresponding point. There are four basic types: 1. The simple translations 2. Dilations 3. Rotations 4. and Inversions, which turn the plane inside out.
Lines on the plane either remain lines or transform to circles, and right angles stay true. In general a Moebius transformation can be a complicated combination of all four effects.
The true unity of Moebius transformations is revealed by moving into the next dimension. Taking a cue from Bernhard Riemann, we place a sphere above the plane. A light at the top shines through the spherical surface, illuminating the plane. As the sphere moves, the points on the plane follow. When the sphere translates, so does the plane. Raising the sphere gives dilation. Spin the sphere like a top, and the plane rotates. Rotation about a horizontal axis corresponds to inversion. Even the most complicated Moebius transformations are revealed to be simple motions of the sphere.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

อุซ (หรือระบำ) เปิดเผยแปลงเป็นวิดีโอสั้น ๆ โดยดักลาสอาร์โนลและโจนาธา Rogness ของมหาวิทยาลัยมินนิโซตาซึ่งแสดงให้เห็นความงามของการเปลี่ยนแปลงอุซและแสดงให้เห็นว่าการย้ายไปยังมิติที่สูงขึ้นเผยให้เห็นถึงความสามัคคีที่สำคัญของพวกเขา. ในเรขาคณิต, การเปลี่ยนแปลงMöbiusเป็น ฟังก์ชั่น: อุซแปลงสม. "การเปลี่ยนแปลงอุซเป็นหนึ่งในแมปพื้นฐานที่สุดในเรขาคณิตที่มีการใช้งานจากการทำแผนที่สมองกับทฤษฎีสัมพัทธภาพ. ทำหน้าที่ในการเปลี่ยนแปลงระบำเครื่องบินส่งไปยังแต่ละจุดเป็นจุดที่สอดคล้องกันมีสี่ประเภทพื้นฐานคือ 1 แปลง่าย 2. dilations 3. หมุนเวียน 4. และ Inversions ซึ่งเปิดเครื่องบินภายในออก. สายบนเครื่องบินทั้งสองยังคงเส้นหรือแปลงเพื่อวงการและมุมขวาพักจริง. โดยทั่วไปการเปลี่ยนแปลงอุซสามารถผสมที่ซับซ้อนของ ทั้งสี่ผลกระทบ. ความสามัคคีที่แท้จริงของการเปลี่ยนแปลงอุซถูกเปิดเผยโดยการย้ายไปสู่มิติต่อไป. สละคิวจากแบร์นฮาร์ดรีมันน์เราวางทรงกลมด้านบนเครื่องบิน แสงที่ด้านบนส่องผ่านพื้นผิวทรงกลมส่องสว่างเครื่องบิน ในฐานะที่เป็นทรงกลมย้ายจุดบนเครื่องบินตาม เมื่อทรงกลมแปลจึงไม่เครื่องบิน เพิ่มทรงกลมจะช่วยให้การขยาย หมุนทรงกลมเช่นด้านบนและหมุนเครื่องบิน การหมุนรอบแกนนอนสอดคล้องกับการรักร่วมเพศ แม้แต่แปลงอุซซับซ้อนมากที่สุดจะถูกเปิดเผยว่าเป็นที่การเคลื่อนไหวที่เรียบง่ายของรูปทรงกลม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โมเบียส ( หรือโมเบียส ) การเปิดเผยวิดีโอสั้น ๆโดยดักลาสโนลด์ และ โจนาธาน rogness ของมหาวิทยาลัยมินนิโซตาซึ่งแสดงให้เห็นความงามของโมเบียสแปลงและแสดงให้เห็นว่าการย้ายไปยังมิติที่สูงขึ้นแสดงให้เห็นความสามัคคีของพวกเขาที่สําคัญ

ในเรขาคณิต , M ö bius เปลี่ยนแปลงเป็นฟังก์ชันการแปลงสมการ

:
โมเบียส" โมเบียสแปลงระหว่างแมปพื้นฐานส่วนใหญ่ในเรขาคณิต ด้วยโปรแกรมจากการทำแผนที่สมองทฤษฎีสัมพัทธภาพ การเปลี่ยนแปลงฟังเพลง การกระทําบนเครื่องบิน ส่ง จุดแต่ละจุดไปยังจุดที่สอดคล้องกัน มี 4 ประเภทดังนี้ 1 . แปลง่าย ๆ 2 dilations 3 รอบ 4 และ inversions ซึ่งเปิดเครื่องข้างใน
เส้นบนเครื่องบินให้อยู่บรรทัดหรือแปลงเป็นวงกลมและมุมขวาอยู่จริง โดยทั่วไปการเปลี่ยนแปลงโมเบียสสามารถรวมกันที่ซับซ้อนของทั้งหมด 4 ผล .
ความสามัคคีที่แท้จริงของโมเบียสแปลงเป็นเปิดเผยโดยเคลื่อนย้ายเข้าไปในมิติต่อไป สละคิวจากแบร์นฮาร์ด รีมันน์ เราวางทรงกลมบนเครื่องบิน แสงที่ส่องผ่านด้านบนผิวทรงกลมร่างเครื่องบิน เป็นทรงกลมเคลื่อนจุดบนเครื่องบินตาม เมื่อทรงกลมแปล แล้วเครื่องบิน เพิ่มพื้นที่ให้ขยาย หมุนทรงกลมเหมือนด้านบน และเครื่องบินหมุน การหมุนรอบแกนแนวนอนที่สอดคล้องกับการกลับกัน แม้ว่าที่ซับซ้อนที่สุดโมเบียสแปลงเปิดเผยจะง่าย การเคลื่อนไหวของทรงกลม