Most mathematics students, and sure

Most mathematics students, and surely all mathematicians, are familiar with calculus
optimization problems, in particular, with the problem type in which an open-topped
box is to be made by cutting corners from an a × b sheet of cardboard and folding
up the sides, and students are asked to maximize the attainable volume (see Figure 1).
Let us call this the box problem. Under what conditions is the volume an integer? Or
the dimensions of the wasted cardboard corners? How about the dimensions of the
cardboard?
Interest in such problems is not new: Following Hern and Meel [2], we find the
box problem in an 1852 textbook of Todhunter (see [3] for more about this prolific
author).
Problem 1. [6, Exercise 29, p.193] If a rectangular piece of pasteboard, the sides of
which are a and b, have a square cut out at each corner, find the side of the square that
the remainder may form a box of maximum content.
This article is the result of a coincidence that affirms the problem’s ongoing interest.
Two manuscripts on the box problem were submitted around the same time to The
College Mathematics Journal, one from the quintet Coll, David, Hall, Magnant, and
Wang, and one from Stankewicz. Despite the overlap in content, the authors approach
and generalize the problem in different ways. The editorial board decided to combine
the articles. That work was done by sarah-marie belcastro, Brian Hopkins, and all six
authors.
The authors’ motivations are similar. Coll et al. explain, “In today’s calculus classes
a cry is likely to be heard from the legions of students who are hoping for ‘nice’
solutions to the problems on the next exam. We ask: What can be nicer than integer
solutions?” And Stankewicz says, “As a teacher, I often prefer to assign problems
whose solutions are not just real, but rational. . . For instance, the standard-size sheet
of paper in the United States is 8.5 inches by 11 inches, which does not give a rational
solution. When teaching calculus one summer, I got to thinking about how one might
generate different versions of this problem of the same approximate level, especially
for the creation of multiple versions of tests.”
These questions are of both mathematical and pedagogical interest. Their answers
can be used by faculty across the world, and their solutions are appropriate to present
to future teachers as an application of mathematics to their work.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

นักเรียนคณิตศาสตร์ และแน่นอนทั้งหมด mathematicians คุ้นเคยกับแคลคูลัสพิมพ์เพิ่มประสิทธิภาพเกี่ยวกับการ โดยเฉพาะ ปัญหาในการเปิดราดกล่องจะได้ โดยการตัดมุมจากการแผ่น b ซื้อกระดาษแข็งและพับค่าด้าน และนักศึกษาจะต้องเพิ่มปริมาณการผลิต (ดูรูปที่ 1)เราเรียกนี้ปัญหากล่อง ภายใต้เงื่อนไขคือปริมาตร เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ หรือขนาดของมุมกระดาษเสียหรือไม่ วิธีการเกี่ยวกับขนาดของการกระดาษแข็งหรือไม่สนใจในปัญหาดังกล่าวไม่ใหม่: Hern ต่อและ Meel [2], เราค้นหาในปัญหากล่องหนังสือ 1852 ของ Todhunter (ดู [3] สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับนี้ลูกผู้เขียน)ปัญหาที่ 1 [6 ออกกำลังกาย 29, p.193] ถ้าเป็นสี่เหลี่ยมชิ้น pasteboard ด้านข้างของซึ่งเป็น และ b มีการตัดสี่เหลี่ยมออกที่มุมแต่ละมุม หาด้านของสี่เหลี่ยมที่ส่วนเหลืออาจเป็นกล่องเนื้อหาสูงสุดบทความนี้เป็นผลของความบังเอิญที่ affirms สนใจอย่างต่อเนื่องของปัญหาส่งมาเป็นที่สองในกล่องปัญหาทั่วไปวิทยาลัยคณิตศาสตร์ สมุด จาก quintet Coll, David ฮอลล์ Magnant และวัง และจาก Stankewicz แม้ มีการทับซ้อนในเนื้อหา วิธีเขียนและปัญหาทั่วไปในลักษณะต่าง ๆ คณะบรรณาธิการตัดสินใจที่จะรวมบทความ งานที่ทำ โดยซาร่าห์มารี belcastro ไบรอันฮ็อปกินส์ ทั้งหมด 6ผู้เขียนโต่งของผู้เขียนคล้ายกัน Al. ร้อยเอ็ด Coll อธิบาย "ในวันนี้สอนแคลคูลัสการร้องจะได้ยินจาก legions ของนักเรียนที่หวังสำหรับ 'ดี'แก้ไขปัญหาเกี่ยวกับการสอบถัดไป เราถาม: อะไรจะสวยกว่าเต็มโซลูชั่นหรือไม่" และ Stankewicz กล่าวว่า "เป็นครู ฉันต้องการกำหนดปัญหาโซลูชั่นที่มีอยู่จริงเพียง แต่เชือด ตัวอย่าง แผ่นขนาดมาตรฐานกระดาษในสหรัฐอเมริกาคือ 8.5 นิ้ว โดยนิ้วที่ 11 ซึ่งไม่ได้ทำให้การเชือดการแก้ปัญหา เมื่อสอนแคลคูลัสร้อนหนึ่ง มีการคิดวิธีหนึ่งอาจสร้างปัญหานี้ประมาณระดับเดียวกัน รุ่นต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการสร้างหลายรุ่นทดสอบ"คำถามเหล่านี้ที่น่าสนใจทางคณิตศาสตร์ และสอน คำตอบของพวกเขาสามารถใช้ได้ โดยคณะทั่วโลก และโซลูชันที่เหมาะสมกับการนำเสนอครูในอนาคตเป็นการประยุกต์คณิตศาสตร์ไปทำงาน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นักเรียนคณิตศาสตร์มากที่สุดและแน่นอนนักคณิตศาสตร์ทุกคนมีความคุ้นเคยกับแคลคูลัสปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับประเภทปัญหาที่เปิดราดกล่องที่จะทำโดยการตัดมุมจาก×แผ่นขของกระดาษแข็งและพับขึ้นด้านข้างและนักเรียนจะขอให้เพิ่มปริมาณการสำเร็จได้ (ดูรูปที่ 1). ให้เราเรียกสิ่งนี้ว่าปัญหากล่อง ภายใต้เงื่อนไขว่าเป็นปริมาณจำนวนเต็ม? หรือขนาดของมุมกระดาษแข็งที่สูญเสียไปหรือไม่ วิธีการเกี่ยวกับขนาดของ? กระดาษแข็งที่น่าสนใจในปัญหาดังกล่าวไม่ใช่เรื่องใหม่: ติดตาม Hern และ Meel [2] เราพบปัญหากล่องใน1852 ตำรา Todhunter (ดู [3] สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับที่อุดมสมบูรณ์นี้ผู้เขียน). ปัญหา 1 . [6, การออกกำลังกาย 29 p.193] ถ้าเป็นชิ้นสี่เหลี่ยมของทำด้วยกระดาษแข็ง, ด้านข้างของที่A และ B มีตารางตัดออกในแต่ละมุมพบว่าด้านข้างของตารางที่ส่วนที่เหลืออาจเป็นกล่องเนื้อหาสูงสุด. บทความนี้เป็นผลมาจากความบังเอิญที่ยืนยันปัญหาของความสนใจอย่างต่อเนื่องที่. สองต้นฉบับในการแก้ปัญหากล่องที่ถูกส่งมาในช่วงเวลาประมาณเดียวกันกับวิทยาลัยคณิตศาสตร์วารสารจากเป็นกลุ่ม Coll เดวิดฮอลล์ Magnant และวังและหนึ่งจาก Stankewicz แม้จะมีการทับซ้อนกันในเนื้อหาที่ผู้เขียนเข้ามาใกล้และพูดคุยปัญหาในรูปแบบที่แตกต่างกัน คณะบรรณาธิการตัดสินใจที่จะรวมบทความ งานที่ทำโดย sarah-marie Belcastro ไบรอันฮอปกินส์และทั้งหกผู้เขียน. แรงจูงใจของผู้เขียนที่มีความคล้ายคลึง Coll et al, อธิบายว่า "ในชั้นเรียนแคลคูลัสวันนี้เป็นหนทางที่มีแนวโน้มที่จะได้ยินจากพยุหเสนาของนักเรียนที่กำลังหวังให้'ดีสโซลูชั่นให้กับปัญหาที่เกิดขึ้นในการสอบต่อไป เราขอ: สิ่งที่สามารถจะ nicer กว่าจำนวนเต็มโซลูชั่น"และ Stankewicz กล่าวว่า" ในฐานะที่เป็นครูผมมักจะชอบที่จะกำหนดปัญหา? ที่มีการแก้ปัญหาไม่เพียง แต่จริง แต่มีเหตุผล . . ยกตัวอย่างเช่นแผ่นขนาดมาตรฐานของกระดาษในประเทศสหรัฐอเมริกาคือ 8.5 นิ้ว 11 นิ้วซึ่งไม่ได้ให้เหตุผลการแก้ปัญหา เมื่อการเรียนการสอนแคลคูลัสหนึ่งในช่วงฤดูร้อนผมได้คิดเกี่ยวกับวิธีการหนึ่งที่อาจสร้างรุ่นที่แตกต่างของปัญหาของระดับประมาณนี้เหมือนกันโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการสร้างหลายรุ่นของการทดสอบ. "คำถามเหล่านี้เป็นที่สนใจของทั้งสองทางคณิตศาสตร์และการสอน คำตอบของพวกเขาสามารถนำมาใช้โดยคณาจารย์ทั่วโลกและการแก้ปัญหาของพวกเขามีความเหมาะสมที่จะนำเสนอให้กับครูในอนาคตเช่นการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ในการทำงานของพวกเขา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

วิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนมากที่สุด และแน่นอนว่าทั้งนักคณิตศาสตร์ คุ้นเคยกับแคลคูลัส
optimization ปัญหา โดยเฉพาะกับปัญหาประเภทที่ราดเปิด
กล่องทำได้โดย ตัดมุมจาก a × b แผ่นของกระดาษและพับ
ขึ้นด้านข้าง และขอให้นักเรียนเพื่อเพิ่มระดับเสียงได้ ( ดู รูปที่ 1 ) .
เราเรียกกล่องนี้ปัญหาภายใต้เงื่อนไขว่าเป็นปริมาณจำนวนเต็ม ? หรือ
มิติของเสียมุมกระดาษหรอ วิธีการเกี่ยวกับมิติของ
กระดาษหรอ
สนใจในปัญหาดังกล่าวไม่ใช่เรื่องใหม่ : ต่อไปนี้ เอร์นันเดซ มีล [ 2 ] และเราได้หา
กล่องปัญหาใน 1852 ตำรา todhunter ( ดู [ 3 ] สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผู้เขียนอุดมสมบูรณ์

ปัญหานี้ ) 1 . [ 6 , การออกกําลังกาย 29 , p.193 ] ถ้าชิ้นสี่เหลี่ยมของแผ่นกระดาษแข็ง ,ด้านข้างของ
ซึ่ง A และ B มีเหลี่ยมตัดที่มุมแต่ละด้านของสี่เหลี่ยมที่หา
ส่วนที่เหลืออาจฟอร์มกล่องเนื้อหาสูงสุด
บทความนี้เป็นผลของความบังเอิญที่เป็นปัญหาต่อเนื่องจากดอกเบี้ย .
2 ต้นฉบับบนกล่องปัญหาถูกส่งมาเวลาเดียวกันกับ
คณิตศาสตร์วิทยาลัยวารสาร จากกลุ่ม magnant coll เดวิด ฮอลล์ ,และ
วังและหนึ่งจาก stankewicz . ทั้งๆ ที่ทับซ้อนกันในเนื้อหา ผู้เขียนอนุมานปัญหาและแนวทาง
ในวิธีที่แตกต่างกัน บทบรรณาธิการคณะกรรมการตัดสินใจที่จะรวม
บทความ งานที่ทำโดยซาร่ามารี belcastro ไบรอัน ฮอปกินส์ และ ทั้งหมดหก

' แรงจูงใจผู้เขียน ผู้เขียนก็คล้ายๆ กัน COLL et al . อธิบายว่า " ในวันนี้ของแคลคูลัสเรียน
เสียงร้องน่าจะมาจากพยุหเสนาของนักเรียนหวัง ' ดี '
แก้ไขปัญหาในการสอบครั้งต่อไป เราถาม : สิ่งที่สามารถจะดีกว่าจำนวนเต็ม
โซลูชั่น ? " และ stankewicz กล่าวว่า " ในฐานะอาจารย์ ฉันมักจะชอบที่จะมอบหมายงานที่ไม่ใช่แค่ปัญหา
โซลูชั่นจริง แต่เหตุผล . . . . . . . เช่น แผ่นกระดาษขนาดมาตรฐาน
ในสหรัฐอเมริกาคือ 85 นิ้ว x 11 นิ้ว ซึ่งไม่ได้ให้โซลูชั่นที่มีเหตุผล

เมื่อสอนแคลคูลัส วันหนึ่งในฤดูร้อน ฉันต้องคิดเกี่ยวกับวิธีการหนึ่งอาจ
สร้างรุ่นที่แตกต่างกันของปัญหานี้ในระดับที่ใกล้เคียงกัน โดยเฉพาะ
สำหรับการสร้างหลายรุ่นของการทดสอบ . "
คำถามเหล่านี้มีทั้งคณิตศาสตร์และวิธีการสอนที่น่าสนใจ คำตอบของพวกเขา
สามารถใช้โดยคณะทั่วโลกและการแก้ไขที่เหมาะสมกับปัจจุบัน
ครูในอนาคตการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ที่จะทำงานของพวกเขา