- ข้อความ
- ประวัติศาสตร์
Int. Journal of Math. Analysis, Vol
Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 7, 2013, no. 38, 1877 - 1884
HIKARI Ltd, www.m-hikari.com
http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2013.35131
On Some Identities and Generating Functions
for k- Pell Numbers
Paula Catarino
1
Department of Mathematics
School of Science and Technology
University of Trás-os-Montes e Alto Douro (Vila Real – Portugal)
pcatarin@utad.pt
Copyright © 2013 Paula Catarino. This is an open access article distributed under the Creative
Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in
any medium, provided the original work is properly cited.
Abstract
We obtain the Binet’s formula for k-Pell numbers and as a consequence we
get some properties for k-Pell numbers. Also we give the generating function for
k-Pell sequences and another expression for the general term of the sequence, using
the ordinary generating function, is provided.
Mathematics Subject Classification: 11B37, 05A15, 11B83.
Keywords: Pell numbers, k-Pell numbers, Generating functions, Binet’s formula
1. Introduction
Some sequences of number have been studied over several years, with
emphasis on studies of well-known Fibonacci sequence (and then the Lucas
sequence) that is related to the golden ratio. Many papers and research work are
dedicated to Fibonacci sequence, such as the work of Hoggatt, in [15] and
Vorobiov, in [13], among others and more recently we have, for example, the
works of Caldwell et al. in [4], Marques in [7], and Shattuck, in [11]. Also
1
Collaborator of CIDMA and CM-UTAD (Portuguese researches centers). 1878 Paula Catarino
relating with Fibonacci sequence, Falcın et al., in [14], consider some properties
for k-Fibonacci numbers obtained from elementary matrix algebra and its
identities including generating function and divisibility properties appears in the
paper of Bolat et al., in [3]. Other sequence, also important, is the sequence of Pell
numbers defined by the recursive recurrence given by 2 ,
2, with 0 and 1. This sequence has been studied and some its
basic properties are known (see, for example, the study of Horadam, in [2]). In [10],
we find the matrix method for generating this sequence and comparable matrix
generators have been considered by Kalman, in [6], by Bicknell, in [12], for the
Fibonacci and Pell sequences. From this sequence, we obtain some types of other
sequences namely, Pell-Lucas and Modified Pell sequences and also Dasdemir, in
[1], consider some new matrices which are based on these sequences as well as
that they have the generating matrices. The Binet’s formula is also well known for
several of these sequences. Sometimes some basic properties come from this
formula. For example, for the sequence of Jacobsthal number, Koken and Bozkurt,
in [8], deduce some properties and the Binet’s formula, using matrix method. In
[9], Yilmaz et al. study some more properties related with k- Jacobsthal numbers.
According Jhala et al., in [5], we consider, in this paper, the k-Pell numbers
sequence and many properties are proved by easy arguments for the k-Pell
number.
2. The k-Pell Number and some identities
For any positive real number k, the k-Pell sequence say , ∈ is
defined recurrently by
, 2, + k,, for
1, (1)
with initial conditions given by,
, 0, , 1. (2)
Next we find the explicit formula for the term of order n of the k-Pell numbers
sequence using the well-known results involving recursive recurrences. Consider
the following characteristic equation, associated to the recurrence relation (1),
2 0, (3)
with two distinct roots and . Note that the roots of the equation (3) are
1 √1 and 1 √1 , where is a real positive number.
Since√1 1, then 0 and so, 0 .
Also, we obtain that 2, 2√1 and .
As a curiosity, for k 1, we obtain that 1 √2 is the silver ratio which is
related with the Pell number sequence. Silver ratio is the limiting ratio of
consecutive Pell numbers. Identities and generating functions for k-Pell numbers 1879
Proposition 1 (Binet’s formula)
The nth k-Pell number is given by
,
(4)
where , are the roots of the characteristic equation (3) and > .
Proof: Since the equation (3) has two distinct roots, the sequence
, = c1(r1)
n
+ c2(r2)
n
(5)
is the solution of the equation (1). Giving to n the values n = 0 and n = 1 and
solving this system of linear equations, we obtain a unique value for c1 and c2. So,
we get the following distinct values, c1 =
√
and c2 =
√
= c1.
Since 2√1 , we can express c1 and c2, respectively by c1 =
and c2 =
. Now, using (5), we obtain (4) as required.
∎
Proposition 2 (Catalan’s identity)
, , ,
1
,
(6)
Proof: Using the Binet’s formula (4) and the fact that , we get
, , ,
!
"#
"#
$ !
%#
%#
$ !
$
1
!
#
#
$
1
,
,
that is, the identity required. ∎
Note that for 1 in Catalan’s identity obtained, we get the Cassini’s identity
for the -Pell numbers sequence. In fact, the equation (6), for 1, yields
,, ,
1
,
and using one of the initial conditions of this sequence, we proved the following
result.
Proposition 3 (Cassini’s identity)
,, ,
1
(7)
∎ 1880 Paula Catarino
The d’Ocagne’s identity can also obtained using the Binet’s formula as it was done
by Jhala et al. in [5] for the k-Jacobsthal sequence. Hence we have
Proposition 4 (d’Ocagne’s identity)
If m > n then ,&, ,&, 1
,&. (8)
Proof: Once more, using the Binet’s formula (4), the fact that and
'
, we get
,, ,
!
(
(
$ !
%
%
$ !
(%
(%
$ !
$
!
("
("
$
!
("
("
$
,&
1
,&.
∎
Again using the Binet’s formula (4) we obtain other property of the -Pell
sequence which is stated in the following proposition.
Proposition 5
lim→-
./,
./, "
. (9)
Proof: We have that
lim→-
./,
./, "
lim→- !
$ !
"
" $ lim→- !
"
" $. (10)
Using the ratio
and since 0
0 1, then lim→- !
$
0. Next we use this
fact writing (10) with an equivalent form using this ratio, obtaining
lim→-
./,
./, "
lim→-
!
#
#
$
#
!
#
#
$
#
lim→-
#
.
∎
Also, we easily can show the following result using basic tools of calculus of limits
and the (9). Identities and generating functions for k-Pell numbers 1881
Proposition 6
lim→-
./, "
./,
. (11)
∎
3. Generating functions for the k-Pell sequences
Next we shall give the generating functions for the k-Pell sequences. We shall
write the k-Pell sequence as a power series where each term of the sequence
correspond to coefficients of the series and from that fact, we find the generating
function. Let us consider the k-Pell sequences 1,2
for any positive integer k.
By definition of ordinary generating function of some sequence, considering this
sequence, the ordinary generating function associated is defined by
3,; 5 ∑ ,5
-
7 , ,5 , 5
⋯ ,5
+… (12)
Using the initial conditions, we get
3,; 5 5 ∑ ,5
-
7
. (13)
Now from (1) we can write (13) as follows
3,; 5 5 ∑ 2, , 5
-
7
. (14)
Consider the right side of the equation (14) and doing some calculations, we
obtain that
5 92, , 5
-
7
5 29 ,5
-
7
9 , 5
-
7
5 25 ∑ ,5
5
-
7 ∑ , 5
-
7
. (15)
Consider that :
2 and ;
1. Then (15) can be written by
5 25 9,
HIKARI Ltd, www.m-hikari.com
http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2013.35131
On Some Identities and Generating Functions
for k- Pell Numbers
Paula Catarino
1
Department of Mathematics
School of Science and Technology
University of Trás-os-Montes e Alto Douro (Vila Real – Portugal)
pcatarin@utad.pt
Copyright © 2013 Paula Catarino. This is an open access article distributed under the Creative
Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in
any medium, provided the original work is properly cited.
Abstract
We obtain the Binet’s formula for k-Pell numbers and as a consequence we
get some properties for k-Pell numbers. Also we give the generating function for
k-Pell sequences and another expression for the general term of the sequence, using
the ordinary generating function, is provided.
Mathematics Subject Classification: 11B37, 05A15, 11B83.
Keywords: Pell numbers, k-Pell numbers, Generating functions, Binet’s formula
1. Introduction
Some sequences of number have been studied over several years, with
emphasis on studies of well-known Fibonacci sequence (and then the Lucas
sequence) that is related to the golden ratio. Many papers and research work are
dedicated to Fibonacci sequence, such as the work of Hoggatt, in [15] and
Vorobiov, in [13], among others and more recently we have, for example, the
works of Caldwell et al. in [4], Marques in [7], and Shattuck, in [11]. Also
1
Collaborator of CIDMA and CM-UTAD (Portuguese researches centers). 1878 Paula Catarino
relating with Fibonacci sequence, Falcın et al., in [14], consider some properties
for k-Fibonacci numbers obtained from elementary matrix algebra and its
identities including generating function and divisibility properties appears in the
paper of Bolat et al., in [3]. Other sequence, also important, is the sequence of Pell
numbers defined by the recursive recurrence given by 2 ,
2, with 0 and 1. This sequence has been studied and some its
basic properties are known (see, for example, the study of Horadam, in [2]). In [10],
we find the matrix method for generating this sequence and comparable matrix
generators have been considered by Kalman, in [6], by Bicknell, in [12], for the
Fibonacci and Pell sequences. From this sequence, we obtain some types of other
sequences namely, Pell-Lucas and Modified Pell sequences and also Dasdemir, in
[1], consider some new matrices which are based on these sequences as well as
that they have the generating matrices. The Binet’s formula is also well known for
several of these sequences. Sometimes some basic properties come from this
formula. For example, for the sequence of Jacobsthal number, Koken and Bozkurt,
in [8], deduce some properties and the Binet’s formula, using matrix method. In
[9], Yilmaz et al. study some more properties related with k- Jacobsthal numbers.
According Jhala et al., in [5], we consider, in this paper, the k-Pell numbers
sequence and many properties are proved by easy arguments for the k-Pell
number.
2. The k-Pell Number and some identities
For any positive real number k, the k-Pell sequence say , ∈ is
defined recurrently by
, 2, + k,, for
1, (1)
with initial conditions given by,
, 0, , 1. (2)
Next we find the explicit formula for the term of order n of the k-Pell numbers
sequence using the well-known results involving recursive recurrences. Consider
the following characteristic equation, associated to the recurrence relation (1),
2 0, (3)
with two distinct roots and . Note that the roots of the equation (3) are
1 √1 and 1 √1 , where is a real positive number.
Since√1 1, then 0 and so, 0 .
Also, we obtain that 2, 2√1 and .
As a curiosity, for k 1, we obtain that 1 √2 is the silver ratio which is
related with the Pell number sequence. Silver ratio is the limiting ratio of
consecutive Pell numbers. Identities and generating functions for k-Pell numbers 1879
Proposition 1 (Binet’s formula)
The nth k-Pell number is given by
,
(4)
where , are the roots of the characteristic equation (3) and > .
Proof: Since the equation (3) has two distinct roots, the sequence
, = c1(r1)
n
+ c2(r2)
n
(5)
is the solution of the equation (1). Giving to n the values n = 0 and n = 1 and
solving this system of linear equations, we obtain a unique value for c1 and c2. So,
we get the following distinct values, c1 =
√
and c2 =
√
= c1.
Since 2√1 , we can express c1 and c2, respectively by c1 =
and c2 =
. Now, using (5), we obtain (4) as required.
∎
Proposition 2 (Catalan’s identity)
, , ,
1
,
(6)
Proof: Using the Binet’s formula (4) and the fact that , we get
, , ,
!
"#
"#
$ !
%#
%#
$ !
$
1
!
#
#
$
1
,
,
that is, the identity required. ∎
Note that for 1 in Catalan’s identity obtained, we get the Cassini’s identity
for the -Pell numbers sequence. In fact, the equation (6), for 1, yields
,, ,
1
,
and using one of the initial conditions of this sequence, we proved the following
result.
Proposition 3 (Cassini’s identity)
,, ,
1
(7)
∎ 1880 Paula Catarino
The d’Ocagne’s identity can also obtained using the Binet’s formula as it was done
by Jhala et al. in [5] for the k-Jacobsthal sequence. Hence we have
Proposition 4 (d’Ocagne’s identity)
If m > n then ,&, ,&, 1
,&. (8)
Proof: Once more, using the Binet’s formula (4), the fact that and
'
, we get
,, ,
!
(
(
$ !
%
%
$ !
(%
(%
$ !
$
!
("
("
$
!
("
("
$
,&
1
,&.
∎
Again using the Binet’s formula (4) we obtain other property of the -Pell
sequence which is stated in the following proposition.
Proposition 5
lim→-
./,
./, "
. (9)
Proof: We have that
lim→-
./,
./, "
lim→- !
$ !
"
" $ lim→- !
"
" $. (10)
Using the ratio
and since 0
0 1, then lim→- !
$
0. Next we use this
fact writing (10) with an equivalent form using this ratio, obtaining
lim→-
./,
./, "
lim→-
!
#
#
$
#
!
#
#
$
#
lim→-
#
.
∎
Also, we easily can show the following result using basic tools of calculus of limits
and the (9). Identities and generating functions for k-Pell numbers 1881
Proposition 6
lim→-
./, "
./,
. (11)
∎
3. Generating functions for the k-Pell sequences
Next we shall give the generating functions for the k-Pell sequences. We shall
write the k-Pell sequence as a power series where each term of the sequence
correspond to coefficients of the series and from that fact, we find the generating
function. Let us consider the k-Pell sequences 1,2
for any positive integer k.
By definition of ordinary generating function of some sequence, considering this
sequence, the ordinary generating function associated is defined by
3,; 5 ∑ ,5
-
7 , ,5 , 5
⋯ ,5
+… (12)
Using the initial conditions, we get
3,; 5 5 ∑ ,5
-
7
. (13)
Now from (1) we can write (13) as follows
3,; 5 5 ∑ 2, , 5
-
7
. (14)
Consider the right side of the equation (14) and doing some calculations, we
obtain that
5 92, , 5
-
7
5 29 ,5
-
7
9 , 5
-
7
5 25 ∑ ,5
5
-
7 ∑ , 5
-
7
. (15)
Consider that :
2 and ;
1. Then (15) can be written by
5 25 9,
0/5000
สมุดรายวันของดอกเบี้ยของคณิตศาสตร์ วิเคราะห์ ปี 7, 2013 หมายเลข 38, 1877-1884 Www.m-hikari.com Ltd ฮิคาริ http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2013.35131 บางข้อมูลและสร้างฟังก์ชัน สำหรับหมายเลข k Pell พอลล่า Catarino1ภาควิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยของ Trás-os-Montes อีอัลโต้ Douro (วิจริง – โปรตุเกส) pcatarin@utad.pt สงวนลิขสิทธิ์ © 2013 Paula Catarino เป็นบทความเปิดเข้าแจกจ่ายภายใต้การสร้างสรรค์ คอมมอนส์แสดงลิขสิทธิ์ ที่อนุญาตให้ใช้จำกัด การกระจาย และการสืบพันธุ์ใน อย่างถูกต้องมีอ้างสื่อใด ๆ ให้งานต้นฉบับ บทคัดย่อ เราได้สูตรของ Binet สำหรับหมายเลข k Pell และส่งผลต่อเรา รับคุณสมบัติบางอย่างสำหรับหมายเลข k Pell นอกจากนี้ เราให้ฟังก์ชันสร้างสำหรับ ลำดับ k Pell และนิพจน์อื่นสำหรับคำทั่วไปของลำดับ ใช้ สร้างฟังก์ชันธรรมดา ที่มีให้ คณิตศาสตร์เรื่องประเภท: 11B37, 05A15, 11B83 คำสำคัญ: หมายเลข Pell, k Pell เลข ฟังก์ชัน Generating สูตรของ Binet1. บทนำ มีการศึกษาหลายปี บางลำดับหมายเลขด้วย เน้นศึกษารู้จักลำดับ Fibonacci (แล้ว Lucas ลำดับ) ที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทอง เอกสารและงานวิจัยอีกหลาย การลำดับ Fibonacci เช่นงานของ Hoggatt [15] และ Vorobiov ใน [13], เพิ่มเติมล่าสุดเราได้ เช่น และอื่น ๆ works of Caldwell et al. in [4], Marques in [7], and Shattuck, in [11]. Also 1 Collaborator of CIDMA and CM-UTAD (Portuguese researches centers). 1878 Paula Catarinorelating with Fibonacci sequence, Falcın et al., in [14], consider some properties for k-Fibonacci numbers obtained from elementary matrix algebra and itsidentities including generating function and divisibility properties appears in the paper of Bolat et al., in [3]. Other sequence, also important, is the sequence of Pell numbers defined by the recursive recurrence given by 2 , 2, with 0 and 1. This sequence has been studied and some its basic properties are known (see, for example, the study of Horadam, in [2]). In [10], we find the matrix method for generating this sequence and comparable matrix generators have been considered by Kalman, in [6], by Bicknell, in [12], for the Fibonacci and Pell sequences. From this sequence, we obtain some types of other sequences namely, Pell-Lucas and Modified Pell sequences and also Dasdemir, in [1], consider some new matrices which are based on these sequences as well as that they have the generating matrices. The Binet’s formula is also well known for several of these sequences. Sometimes some basic properties come from this formula. For example, for the sequence of Jacobsthal number, Koken and Bozkurt, in [8], deduce some properties and the Binet’s formula, using matrix method. In [9], Yilmaz et al. ศึกษาคุณสมบัติบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับหมายเลข k-Jacobsthal ตาม Jhala et al. ใน [5], เราพิจารณา ในเอกสารนี้ หมายเลข k Pell ลำดับและคุณสมบัติมากมายที่พิสูจน์ โดยอาร์กิวเมนต์ง่ายสำหรับ k Pell หมายเลข 2. หมายเลข k Pell และเอกลักษณ์บางอย่าง สำหรับทุกจำนวนจริงบวก k พูดลำดับ k Pell ∈ กำหนดโดย recurrently , 2, + k,, for 1 (1) มีเงื่อนไขเบื้องต้นให้ ด้วย , 0, , 1. (2) ต่อไป เราค้นหาสูตรชัดเจนสำหรับคำสั่ง n จำนวน k Pell ลำดับที่โดยใช้ผลรู้จักเกี่ยวข้องกับการเกิดซ้ำ พิจารณา สมการลักษณะต่อไปนี้ เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด (1), 2 0, (3) มีรากแตกต่างกันสอง และ หมายเหตุที่รากของสมการ (3) 1 √1 และ 1 √1 ที่เป็นจำนวนจริงบวก Since√1 1 แล้ว 0 0 และ อื่น ๆ ยัง เราได้ที่ 2, 2√1 และ เป็นความอยากรู้ สำหรับ k 1 เราได้รับ 1 ที่ √2 เป็นอัตราส่วนเงินที่ ที่เกี่ยวข้องกับลำดับหมายเลข Pell อัตราส่วนเงินคือ อัตราส่วนของข้อจำกัด หมายเลข Pell ข้อมูลและสร้างฟังก์ชันสำหรับหมายเลข k Pell 1879 ข้อเสนอ 1 (สูตรของ Binet) เลข k-Pell ถูกกำหนดโดย , (4) ที่ เป็นรากของสมการลักษณะ (3) และ > หลักฐาน: เนื่องจากสมการ (3) มีสองหมด ราก ลำดับที่ , = c1(r1)n + c2(r2)n (5) เป็นการแก้ปัญหาของสมการ (1) ให้ n ค่า n = 0 และ n = 1 และ แก้ระบบสมการเชิงเส้นนี้ เรารับเฉพาะค่า c1 และ c2 ดังนั้น เราได้รับการต่อไปนี้ค่า c1 = √ และ c2 = √ = c1 ตั้งแต่ 2√1 เราสามารถแสดง c1 และ c2 ตามลำดับ โดย c1 = และ c2 = . ตอนนี้ ใช้ (5), เราขอรับ (4) ตามที่ต้องการ ∎ เสนอ 2 (ตัวตนของคาตาลัน) , , , 1 , (6) พิสูจน์: โดยใช้สูตรของ Binet (4) และข้อเท็จจริงว่า เราได้รับ , , , ! "# "# $ ! %# %# $ ! $ 1 ! # # $ 1 , , นั่นคือ ลักษณะเฉพาะจำเป็น ∎ โปรดสังเกตว่า สำหรับ 1 ในตัวตนของคาตาลันได้ เราได้รับรหัสประจำตัวของสสินี สำหรับลำดับหมายเลข - Pell ในความเป็นจริง ทำให้สมการ (6), 1 ,, , 1, และใช้เงื่อนไขเริ่มต้นของลำดับนี้อย่างใดอย่างหนึ่ง เราพิสูจน์ต่อไปนี้ ผลการ เสนอ 3 (ตัวตนของสสินี) ,, , 1 (7) ∎ 1880 Paula Catarinoสามารถประจำของ d'Ocagne ยัง ได้รับโดยใช้สูตรของ Binet เป็นอย่าง โดย Jhala et al. ใน [5] สำหรับลำดับ k-Jacobsthal ดังนั้น เรามี เสนอ 4 (เอกลักษณ์ของ d'Ocagne) ถ้า m > n แล้ว และ และ 1และการ (8) หลักฐาน: อีกครั้ง โดยใช้สูตรของ Binet (4), ความจริงที่ และ ' เราได้รับ ,, , ! ( ( $ ! % % $ ! (% (% $ ! $ ! (" (" $ ! (" (" $ ,& 1,&. ∎ (4) เราอีกครั้ง โดยใช้สูตรของ Binet ได้ - Pell ทรัพย์สินอื่น ๆ ลำดับที่ระบุไว้ในข้อเสนอต่อไปนี้ เสนอ 5 ริม→-./, ./, " . (9) หลักฐาน: เราได้ที่ ริม→-./, ./, " ริม→- $ ! " " $ lim→- ! " " $. (10) ใช้อัตราส่วน และ ตั้งแต่ 0 0 1 แล้วริม→ - $0 ต่อไป เราใช้นี้ ความจริงที่เขียน (10) ด้วยเทียบเท่าแบบที่ใช้อัตราส่วนนี้ ได้รับ ริม→-./, ./, " ริม→-!# # $ # !# # $ # ริม→- # . ∎ เราได้อย่างง่ายดายสามารถแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้โดยใช้เครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัสของวงเงิน และ (9) ข้อมูลและสร้างฟังก์ชันสำหรับ k-Pell หมายเลข 1881 เสนอ 6 ริม→-./, " ./, . (11) ∎ 3. สร้างฟังก์ชันสำหรับ k-Pell ลำดับต่อไป เราจะให้ฟังก์ชันสร้างลำดับ k Pell เราต้อง เขียนลำดับ k Pell เป็นชุดไฟที่แต่ละระยะของลำดับ สอดคล้องกับค่าสัมประสิทธิ์ของชุด และจากความจริงนั้น เราค้นหาสร้าง ฟังก์ชันการ ให้เราพิจารณา k Pell ลำดับ 1, 2 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก k จากคำนิยามของฟังก์ชันสร้างสามัญลำดับบาง พิจารณานี้ ลำดับ กำหนดโดยฟังก์ชันสร้างสามัญที่เกี่ยวข้อง 3,; 5 ∑ ,5- 7 , ,5 , 5 ⋯ ,5+… (12) เราใช้เงื่อนไขเริ่มต้น ได้รับ 3,; 5 5 ∑ ,5- 7 . (13) ตอนนี้ จาก (1) เราสามารถเขียน (13) ดังนี้ 3,; 5 5 ∑ 2, , 5- 7 . (14) ด้านขวาของสมการ (14) พิจารณา และทำการคำนวณบาง เรา ขอรับที่ 5 92, , 5-7 5 29, 5-7 9 , 5-7 5 25 ∑ 5 5- 7 ∑ , 5- 7 . (15) เห็นว่า: 2 และ 1 แล้ว (15) สามารถที่จะเขียนโดย 5 25 9
การแปล กรุณารอสักครู่..
Int วารสารคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ฉบับ 7, 2013, ไม่มี 38, 1877-1884
HIKARI จำกัด www.m-hikari.com
http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2013.35131
ในอัตลักษณ์และฟังก์ชั่นบางอย่างสร้างสำหรับ K- เพลล์หมายเลขพอลล่า Catarino 1 ภาควิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนวิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัย Tras-os-Montes อี Alto Douro (Vila Real - โปรตุเกส) pcatarin@utad.pt ลิขสิทธิ์© 2013 พอลล่า Catarino นี่คือบทความเปิดจำหน่ายภายใต้ความคิดสร้างสรรค์ใบอนุญาต Commons Attribution ซึ่งอนุญาตให้ใช้ไม่ จำกัด การจัดจำหน่ายและการทำสำเนาในสื่อใด ๆ ให้ทำงานเดิมจะอ้างอย่างถูกต้อง. บทคัดย่อเราได้รับสูตร Binet สำหรับหมายเลข k-เพลล์และเป็นผลให้ เราได้รับคุณสมบัติบางอย่างสำหรับหมายเลข k-เพลล์ นอกจากนี้เราให้ฟังก์ชั่นสำหรับการสร้างลำดับ k-เพลล์และการแสดงออกอีกคำทั่วไปลำดับโดยใช้ฟังก์ชั่นที่ก่อให้เกิดธรรมดามีให้. คณิตศาสตร์เรื่องการจัดหมวดหมู่: 11B37, 05A15, 11B83. คำสำคัญ: หมายเลขเพลล์หมายเลข k-เพลล์ ฟังก์ชั่นการสร้างสูตรของ Binet 1 บทนำลำดับบางส่วนของตัวเลขได้รับการศึกษาในช่วงหลายปีที่มีความสำคัญกับการศึกษาที่รู้จักกันดีลำดับฟีโบนักชี (แล้วลูคัสลำดับ) ที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำ เอกสารจำนวนมากและการทำงานวิจัยที่ทุ่มเทให้กับ Fibonacci ลำดับเช่นการทำงานของ Hoggatt ใน [15] และVorobiov ใน [13] อื่น ๆ ในกลุ่มและเมื่อเร็ว ๆ นี้เรามีตัวอย่างเช่นผลงานของ Caldwell et al, ใน [4], Marques ใน [7] และโพรเนียใน [11] นอกจากนี้1 ทำงานร่วมกันของ CIDMA และ CM-UTAD (โปรตุเกสศูนย์การวิจัย) 1878 พอลล่า Catarino เกี่ยวกับลำดับฟีโบนักชี, Falcın et al., ใน [14] พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างสำหรับตัวเลข k-Fibonacci ที่ได้รับจากพีชคณิตประถมศึกษาและเมทริกซ์ของตัวตนรวมทั้งการสร้างฟังก์ชั่นและคุณสมบัติหารปรากฏในกระดาษ Bolat et al., ใน [3] ลำดับอื่น ๆ ยังมีความสำคัญเป็นลำดับของเพลล์หมายเลขที่กำหนดโดยการเกิดซ้ำ recursive กำหนดโดย ?? ? 2 ???? ? ??? , ? 2 ด้วย? ? 0 ?? ? 1. ลำดับนี้ได้รับการศึกษาและบางส่วนของคุณสมบัติพื้นฐานเป็นที่รู้จักกัน (ดูตัวอย่างเช่นการศึกษาของ Horadam ใน [2]) ใน [10], เราพบวิธีเมทริกซ์สำหรับการสร้างนี้ลำดับและเมทริกซ์เปรียบกำเนิดได้รับการพิจารณาโดยคาลมานใน [6] โดย Bicknell ใน [12] สำหรับFibonacci และเพลล์ลำดับ จากลำดับนี้เราได้รับบางชนิดอื่น ๆลำดับคือเพลล์-ลูคัสและแก้ไขลำดับเพลล์และ Dasdemir ใน[1], พิจารณาการฝึกอบรมใหม่ซึ่งจะขึ้นอยู่กับลำดับเหล่านี้เช่นเดียวกับที่พวกเขามีการฝึกอบรมการสร้าง สูตรของ Binet ยังเป็นที่รู้จักกันดีสำหรับหลายลำดับเหล่านี้ บางครั้งบางคุณสมบัติพื้นฐานมาจากสูตร ตัวอย่างเช่นสำหรับลำดับของจำนวน Jacobsthal, Koken และ Bozkurt, ใน [8] สรุปคุณสมบัติบางอย่างและสูตร Binet และไม่ใช้วิธีการเมทริกซ์ ใน[9], et al, Yilmaz ศึกษาคุณสมบัติบางอย่างเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข K- Jacobsthal. ตาม Jhala et al., ใน [5] เราจะพิจารณาในบทความนี้หมายเลข k-เพลล์ลำดับและคุณสมบัติจำนวนมากมีการพิสูจน์โดยการขัดแย้งเรื่องง่ายสำหรับ k-เพลล์จำนวน2 k-เพลล์จำนวนและตัวตนบางอย่างสำหรับ k จำนวนจริงบวกใด ๆ ลำดับ k-เพลล์พูด ??? ??? ∈? จะถูกกำหนดโดยการเกิดขึ้นอีก??, ??? ? 2 ??,? + k ??, ??? สำหรับ ? 1 (1) ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดโดย??,? 0 ??? ? 1. (2) ต่อไปเราพบว่าสูตรที่ชัดเจนสำหรับระยะเวลาของ n คำสั่งของหมายเลข k-เพลล์ลำดับโดยใช้ผลที่รู้จักกันดีที่เกี่ยวข้องกับการเวียนเกิดซ้ำ พิจารณาสมการลักษณะดังต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด (1) ? ? 2? ? ? ? 0 (3) ที่มีสองรากที่แตกต่างกัน ?? และ? . โปรดทราบว่ารากของสมการ (3) มี?? ? 1? √1? ? และ? ? 1? √1? ? ที่? เป็นจำนวนบวกจริง. Since√1? ? ? 1 แล้ว? ? 0 และอื่น ๆ ? ? 0? ??. นอกจากนี้เรายังได้รับว่า ?? ? ? ? 2 ?? ? ? ? 2√1? ? และ ??? ? ??. ในฐานะที่เป็นความอยากรู้สำหรับ k? 1 เราได้ที่ ?? ? 1? √2เป็นอัตราส่วนเงินซึ่งเป็นที่ที่เกี่ยวข้องกับลำดับจำนวนเพลล์ อัตราส่วนเงินเป็นอัตราส่วน จำกัด ของเพลล์หมายเลขติดต่อกัน อัตลักษณ์และฟังก์ชั่นการสร้างหมายเลข k-เพลล์ 1879 โจทย์ที่ 1 (สูตรของ Binet) ที่ n จำนวน k-เพลล์จะได้รับโดย??,? ? ?? ? ? ?? ? ??? ?? (4) ที่ ??,? เป็นรากของสมการลักษณะ (3) และ ?? >? . พิสูจน์: เนื่องจากสมการ (3) มีสองรากที่แตกต่างกันตามลำดับ??,? = c1 (r1) n + c2 (r2) n (5) เป็นวิธีการแก้สมการ (1) ให้กับค่า n n = 0 และ n = 1 และการแก้ระบบนี้สมการเชิงเส้นเราได้รับค่าไม่ซ้ำกันสำหรับ c1 และ c2 ดังนั้นเราจะได้ค่าที่แตกต่างกันดังต่อไปนี้ c1 = ? √ ??? และ c2 =? ? √ ??? =? c1. ตั้งแต่ ?? ? ? ? 2√1? ? เราสามารถแสดง c1 และ c2 ตามลำดับโดย c1 = ? ??? ?? และ c2 =? ? ??? ?? ตอนนี้ใช้ (5) เราได้รับ (4) ตามที่ต้องการ. ∎ โจทย์ 2 (ตัวตนของคาตาลัน) ??, ?????, ??? ? ??? ? ?? 1 ????? ? ??? ??,? (6) หลักฐาน: ใช้สูตรของ Binet (4) และความจริงที่ว่า ??? ? ??, เราได้รับ??, ?????, ??? ? ??? ? ! ?? "# ? ?? ? "# ????? $! ?? ?% # ? ?? ?% # ????? $? ! ?? ? ? ?? ? ????? $ ? ?? 1 ??? ? ??? ! ?? # ??? # ????? $ ? ?? 1 ??? ? ??? ??,? , ที่อยู่, บัตรประจำตัวที่จำเป็น ∎ โปรดทราบว่าใช่หรือไม่ ? 1 ในตัวตนของคาตาลันได้ที่เราได้รับบัตรประจำตัวของแคสสินีสำหรับ? -Pell ลำดับหมายเลข ในความเป็นจริงสมการ (6) หรือไม่? ? 1 ผลผลิต??, ?????, ??? ? ??? ? ?? 1? ? ? ??? ??,? และการใช้หนึ่งในเงื่อนไขเริ่มต้นของลำดับนี้เราได้รับการพิสูจน์ต่อไปนี้ผล. โจทย์ 3 (ตัวตนของ Cassini) ??, ?????, ??? ? ??? ? ?? 1? ? ? ??? (7) ∎ 1880 พอลล่า Catarino เอกลักษณ์ของศิลปวัตถุ Ocagne สามารถยังได้รับโดยใช้สูตร Binet เป็นมันทำโดย Jhala et al, ใน [5] สำหรับลำดับ k-Jacobsthal ดังนั้นเรามีข้อเสนอที่ 4 (d 'ตัวตนของ Ocagne) ถ้าม> n แล้ว ??, และ ??, ??? ? ??, และ ????? ? ?? 1? ? ? ? ??, และ ?? (8) หลักฐาน: อีกครั้งโดยใช้สูตร Binet (4) ความจริงที่ว่า ??? ? ?? และ'? เราได้รับ??, ?????, ??? ? ??? ? ! ?? (? ?? ( ????? $! ?? ?%? ? ?? ?%? ????? $?! ?? (%? ? ?? (% ????? $! ?? ? ? ?? ? ????? $ ? ???? ? ? ! ?????? ???? ("? ? ?? ("? ? ?????? ? ? $ ? ???? ? ? ! ?? ("? ? ?? ("? ????? $ ? ???? ? ??, และ ?? ? ?? 1? ? ? ? ??, . ?? ∎ อีกครั้งโดยใช้สูตรของ Binet (4) เราได้รับทรัพย์สินอื่น ๆ ของ -Pell? ลำดับซึ่งเป็นที่ที่ระบุไว้ในข้อเสนอดังต่อไปนี้. โจทย์ 5 →ลิม - ./ ,? ? ./ ,? " ? ?? . (9) หลักฐาน: เรามีที่? →ลิม - ./ ,? ? ./ ,? " ?! →ลิม - ?? ? ? ?? ? ????? $! ????? ? ? ? "? ?? ? ? "? $ ลิม→? -?! ?? ? ??? ? ? ? ? "? ?? ? $ (10)? "?. การใช้อัตราส่วน?? ?? และตั้งแต่ 0 ? ? ?? 0 1 แล้วลิม→? -?! ?? ?? $ ? 0. ต่อไปเราใช้นี้? เขียนความเป็นจริง (10) ที่มีรูปแบบการใช้เทียบเท่าอัตราส่วนนี้ได้รับลิม→? - ./ ,? ./ "? →ลิม? - ??! #? #? $ ? ? #? ! #? #? $ ? #? →ลิม? - ? ? ? # ?. ?? ∎ นอกจากนี้เราได้อย่างง่ายดาย สามารถแสดงผลดังต่อไปนี้โดยใช้เครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัสของข้อ จำกัดและ (9) อัตลักษณ์และสร้างฟังก์ชั่นสำหรับตัวเลข k-เพลล์ 1881. 6 โจทย์ลิม→? - ? ./ ,? " ./ ,? ? ? ?? . ( 11) ∎ 3. ฟังก์ชั่นสำหรับการผลิต k-เพลล์ลำดับต่อไปเราจะให้สร้างฟังก์ชั่นสำหรับลำดับ k-เพลล์. เราจะเขียนลำดับ k-เพลล์เป็นชุดไฟที่ระยะของแต่ละลำดับสอดคล้องกับค่าสัมประสิทธิ์ของ ชุดและจากข้อเท็จจริงที่ว่าเราจะพบการสร้างฟังก์ชั่น ? ขอให้เราพิจารณา k-เพลล์ลำดับ 1 ??, 2 ? . สำหรับ k จำนวนเต็มบวกใด ๆตามคำนิยามของการทำงานที่ก่อให้เกิดสามัญของลำดับบางพิจารณานี้ลำดับการสร้างฟังก์ชั่นสามัญที่เกี่ยวข้องจะถูกกำหนดโดย3 ????; 5? ? Σ ??, 5? ? - ? 7? ??,? ??,? 5? ??, 5 ? ⋯? ??, 5? ? + ... (12) โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้นที่เราได้รับ3 ????; 5? ? 5? Σ ??, 5? ? - ? 7 (13) ตอนนี้มาจาก (1) เราสามารถเขียน (13) ดังต่อไปนี้3 ????; 5? ? 5? Σ? 2 ??, ??? ? ??? ?? ? 5 ? - ? 7 (14) พิจารณาทางด้านขวาของสมการที่ (14) และทำคำนวณบางอย่างที่เราได้รับที่5? 9? 2 ??, ??? ? ??? ?? ? 5 ? - ? 7 ? 5? 29 ??, ??? 5 ? - ? 7 ? ? 9 ?? ?? 5 ? - ? 7 ? 5? 25 Σ ??, 5 ??? ??? ? 5 - 7 Σ ?? ?? 5 - ?? ? 7 (15) พิจารณาว่า: ? 2; ? ? 1 แล้ว (15) สามารถเขียนได้โดย5? 25 9 ???
HIKARI จำกัด www.m-hikari.com
http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2013.35131
ในอัตลักษณ์และฟังก์ชั่นบางอย่างสร้างสำหรับ K- เพลล์หมายเลขพอลล่า Catarino 1 ภาควิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนวิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัย Tras-os-Montes อี Alto Douro (Vila Real - โปรตุเกส) pcatarin@utad.pt ลิขสิทธิ์© 2013 พอลล่า Catarino นี่คือบทความเปิดจำหน่ายภายใต้ความคิดสร้างสรรค์ใบอนุญาต Commons Attribution ซึ่งอนุญาตให้ใช้ไม่ จำกัด การจัดจำหน่ายและการทำสำเนาในสื่อใด ๆ ให้ทำงานเดิมจะอ้างอย่างถูกต้อง. บทคัดย่อเราได้รับสูตร Binet สำหรับหมายเลข k-เพลล์และเป็นผลให้ เราได้รับคุณสมบัติบางอย่างสำหรับหมายเลข k-เพลล์ นอกจากนี้เราให้ฟังก์ชั่นสำหรับการสร้างลำดับ k-เพลล์และการแสดงออกอีกคำทั่วไปลำดับโดยใช้ฟังก์ชั่นที่ก่อให้เกิดธรรมดามีให้. คณิตศาสตร์เรื่องการจัดหมวดหมู่: 11B37, 05A15, 11B83. คำสำคัญ: หมายเลขเพลล์หมายเลข k-เพลล์ ฟังก์ชั่นการสร้างสูตรของ Binet 1 บทนำลำดับบางส่วนของตัวเลขได้รับการศึกษาในช่วงหลายปีที่มีความสำคัญกับการศึกษาที่รู้จักกันดีลำดับฟีโบนักชี (แล้วลูคัสลำดับ) ที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทองคำ เอกสารจำนวนมากและการทำงานวิจัยที่ทุ่มเทให้กับ Fibonacci ลำดับเช่นการทำงานของ Hoggatt ใน [15] และVorobiov ใน [13] อื่น ๆ ในกลุ่มและเมื่อเร็ว ๆ นี้เรามีตัวอย่างเช่นผลงานของ Caldwell et al, ใน [4], Marques ใน [7] และโพรเนียใน [11] นอกจากนี้1 ทำงานร่วมกันของ CIDMA และ CM-UTAD (โปรตุเกสศูนย์การวิจัย) 1878 พอลล่า Catarino เกี่ยวกับลำดับฟีโบนักชี, Falcın et al., ใน [14] พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างสำหรับตัวเลข k-Fibonacci ที่ได้รับจากพีชคณิตประถมศึกษาและเมทริกซ์ของตัวตนรวมทั้งการสร้างฟังก์ชั่นและคุณสมบัติหารปรากฏในกระดาษ Bolat et al., ใน [3] ลำดับอื่น ๆ ยังมีความสำคัญเป็นลำดับของเพลล์หมายเลขที่กำหนดโดยการเกิดซ้ำ recursive กำหนดโดย ?? ? 2 ???? ? ??? , ? 2 ด้วย? ? 0 ?? ? 1. ลำดับนี้ได้รับการศึกษาและบางส่วนของคุณสมบัติพื้นฐานเป็นที่รู้จักกัน (ดูตัวอย่างเช่นการศึกษาของ Horadam ใน [2]) ใน [10], เราพบวิธีเมทริกซ์สำหรับการสร้างนี้ลำดับและเมทริกซ์เปรียบกำเนิดได้รับการพิจารณาโดยคาลมานใน [6] โดย Bicknell ใน [12] สำหรับFibonacci และเพลล์ลำดับ จากลำดับนี้เราได้รับบางชนิดอื่น ๆลำดับคือเพลล์-ลูคัสและแก้ไขลำดับเพลล์และ Dasdemir ใน[1], พิจารณาการฝึกอบรมใหม่ซึ่งจะขึ้นอยู่กับลำดับเหล่านี้เช่นเดียวกับที่พวกเขามีการฝึกอบรมการสร้าง สูตรของ Binet ยังเป็นที่รู้จักกันดีสำหรับหลายลำดับเหล่านี้ บางครั้งบางคุณสมบัติพื้นฐานมาจากสูตร ตัวอย่างเช่นสำหรับลำดับของจำนวน Jacobsthal, Koken และ Bozkurt, ใน [8] สรุปคุณสมบัติบางอย่างและสูตร Binet และไม่ใช้วิธีการเมทริกซ์ ใน[9], et al, Yilmaz ศึกษาคุณสมบัติบางอย่างเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข K- Jacobsthal. ตาม Jhala et al., ใน [5] เราจะพิจารณาในบทความนี้หมายเลข k-เพลล์ลำดับและคุณสมบัติจำนวนมากมีการพิสูจน์โดยการขัดแย้งเรื่องง่ายสำหรับ k-เพลล์จำนวน2 k-เพลล์จำนวนและตัวตนบางอย่างสำหรับ k จำนวนจริงบวกใด ๆ ลำดับ k-เพลล์พูด ??? ??? ∈? จะถูกกำหนดโดยการเกิดขึ้นอีก??, ??? ? 2 ??,? + k ??, ??? สำหรับ ? 1 (1) ที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดโดย??,? 0 ??? ? 1. (2) ต่อไปเราพบว่าสูตรที่ชัดเจนสำหรับระยะเวลาของ n คำสั่งของหมายเลข k-เพลล์ลำดับโดยใช้ผลที่รู้จักกันดีที่เกี่ยวข้องกับการเวียนเกิดซ้ำ พิจารณาสมการลักษณะดังต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด (1) ? ? 2? ? ? ? 0 (3) ที่มีสองรากที่แตกต่างกัน ?? และ? . โปรดทราบว่ารากของสมการ (3) มี?? ? 1? √1? ? และ? ? 1? √1? ? ที่? เป็นจำนวนบวกจริง. Since√1? ? ? 1 แล้ว? ? 0 และอื่น ๆ ? ? 0? ??. นอกจากนี้เรายังได้รับว่า ?? ? ? ? 2 ?? ? ? ? 2√1? ? และ ??? ? ??. ในฐานะที่เป็นความอยากรู้สำหรับ k? 1 เราได้ที่ ?? ? 1? √2เป็นอัตราส่วนเงินซึ่งเป็นที่ที่เกี่ยวข้องกับลำดับจำนวนเพลล์ อัตราส่วนเงินเป็นอัตราส่วน จำกัด ของเพลล์หมายเลขติดต่อกัน อัตลักษณ์และฟังก์ชั่นการสร้างหมายเลข k-เพลล์ 1879 โจทย์ที่ 1 (สูตรของ Binet) ที่ n จำนวน k-เพลล์จะได้รับโดย??,? ? ?? ? ? ?? ? ??? ?? (4) ที่ ??,? เป็นรากของสมการลักษณะ (3) และ ?? >? . พิสูจน์: เนื่องจากสมการ (3) มีสองรากที่แตกต่างกันตามลำดับ??,? = c1 (r1) n + c2 (r2) n (5) เป็นวิธีการแก้สมการ (1) ให้กับค่า n n = 0 และ n = 1 และการแก้ระบบนี้สมการเชิงเส้นเราได้รับค่าไม่ซ้ำกันสำหรับ c1 และ c2 ดังนั้นเราจะได้ค่าที่แตกต่างกันดังต่อไปนี้ c1 = ? √ ??? และ c2 =? ? √ ??? =? c1. ตั้งแต่ ?? ? ? ? 2√1? ? เราสามารถแสดง c1 และ c2 ตามลำดับโดย c1 = ? ??? ?? และ c2 =? ? ??? ?? ตอนนี้ใช้ (5) เราได้รับ (4) ตามที่ต้องการ. ∎ โจทย์ 2 (ตัวตนของคาตาลัน) ??, ?????, ??? ? ??? ? ?? 1 ????? ? ??? ??,? (6) หลักฐาน: ใช้สูตรของ Binet (4) และความจริงที่ว่า ??? ? ??, เราได้รับ??, ?????, ??? ? ??? ? ! ?? "# ? ?? ? "# ????? $! ?? ?% # ? ?? ?% # ????? $? ! ?? ? ? ?? ? ????? $ ? ?? 1 ??? ? ??? ! ?? # ??? # ????? $ ? ?? 1 ??? ? ??? ??,? , ที่อยู่, บัตรประจำตัวที่จำเป็น ∎ โปรดทราบว่าใช่หรือไม่ ? 1 ในตัวตนของคาตาลันได้ที่เราได้รับบัตรประจำตัวของแคสสินีสำหรับ? -Pell ลำดับหมายเลข ในความเป็นจริงสมการ (6) หรือไม่? ? 1 ผลผลิต??, ?????, ??? ? ??? ? ?? 1? ? ? ??? ??,? และการใช้หนึ่งในเงื่อนไขเริ่มต้นของลำดับนี้เราได้รับการพิสูจน์ต่อไปนี้ผล. โจทย์ 3 (ตัวตนของ Cassini) ??, ?????, ??? ? ??? ? ?? 1? ? ? ??? (7) ∎ 1880 พอลล่า Catarino เอกลักษณ์ของศิลปวัตถุ Ocagne สามารถยังได้รับโดยใช้สูตร Binet เป็นมันทำโดย Jhala et al, ใน [5] สำหรับลำดับ k-Jacobsthal ดังนั้นเรามีข้อเสนอที่ 4 (d 'ตัวตนของ Ocagne) ถ้าม> n แล้ว ??, และ ??, ??? ? ??, และ ????? ? ?? 1? ? ? ? ??, และ ?? (8) หลักฐาน: อีกครั้งโดยใช้สูตร Binet (4) ความจริงที่ว่า ??? ? ?? และ'? เราได้รับ??, ?????, ??? ? ??? ? ! ?? (? ?? ( ????? $! ?? ?%? ? ?? ?%? ????? $?! ?? (%? ? ?? (% ????? $! ?? ? ? ?? ? ????? $ ? ???? ? ? ! ?????? ???? ("? ? ?? ("? ? ?????? ? ? $ ? ???? ? ? ! ?? ("? ? ?? ("? ????? $ ? ???? ? ??, และ ?? ? ?? 1? ? ? ? ??, . ?? ∎ อีกครั้งโดยใช้สูตรของ Binet (4) เราได้รับทรัพย์สินอื่น ๆ ของ -Pell? ลำดับซึ่งเป็นที่ที่ระบุไว้ในข้อเสนอดังต่อไปนี้. โจทย์ 5 →ลิม - ./ ,? ? ./ ,? " ? ?? . (9) หลักฐาน: เรามีที่? →ลิม - ./ ,? ? ./ ,? " ?! →ลิม - ?? ? ? ?? ? ????? $! ????? ? ? ? "? ?? ? ? "? $ ลิม→? -?! ?? ? ??? ? ? ? ? "? ?? ? $ (10)? "?. การใช้อัตราส่วน?? ?? และตั้งแต่ 0 ? ? ?? 0 1 แล้วลิม→? -?! ?? ?? $ ? 0. ต่อไปเราใช้นี้? เขียนความเป็นจริง (10) ที่มีรูปแบบการใช้เทียบเท่าอัตราส่วนนี้ได้รับลิม→? - ./ ,? ./ "? →ลิม? - ??! #? #? $ ? ? #? ! #? #? $ ? #? →ลิม? - ? ? ? # ?. ?? ∎ นอกจากนี้เราได้อย่างง่ายดาย สามารถแสดงผลดังต่อไปนี้โดยใช้เครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัสของข้อ จำกัดและ (9) อัตลักษณ์และสร้างฟังก์ชั่นสำหรับตัวเลข k-เพลล์ 1881. 6 โจทย์ลิม→? - ? ./ ,? " ./ ,? ? ? ?? . ( 11) ∎ 3. ฟังก์ชั่นสำหรับการผลิต k-เพลล์ลำดับต่อไปเราจะให้สร้างฟังก์ชั่นสำหรับลำดับ k-เพลล์. เราจะเขียนลำดับ k-เพลล์เป็นชุดไฟที่ระยะของแต่ละลำดับสอดคล้องกับค่าสัมประสิทธิ์ของ ชุดและจากข้อเท็จจริงที่ว่าเราจะพบการสร้างฟังก์ชั่น ? ขอให้เราพิจารณา k-เพลล์ลำดับ 1 ??, 2 ? . สำหรับ k จำนวนเต็มบวกใด ๆตามคำนิยามของการทำงานที่ก่อให้เกิดสามัญของลำดับบางพิจารณานี้ลำดับการสร้างฟังก์ชั่นสามัญที่เกี่ยวข้องจะถูกกำหนดโดย3 ????; 5? ? Σ ??, 5? ? - ? 7? ??,? ??,? 5? ??, 5 ? ⋯? ??, 5? ? + ... (12) โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้นที่เราได้รับ3 ????; 5? ? 5? Σ ??, 5? ? - ? 7 (13) ตอนนี้มาจาก (1) เราสามารถเขียน (13) ดังต่อไปนี้3 ????; 5? ? 5? Σ? 2 ??, ??? ? ??? ?? ? 5 ? - ? 7 (14) พิจารณาทางด้านขวาของสมการที่ (14) และทำคำนวณบางอย่างที่เราได้รับที่5? 9? 2 ??, ??? ? ??? ?? ? 5 ? - ? 7 ? 5? 29 ??, ??? 5 ? - ? 7 ? ? 9 ?? ?? 5 ? - ? 7 ? 5? 25 Σ ??, 5 ??? ??? ? 5 - 7 Σ ?? ?? 5 - ?? ? 7 (15) พิจารณาว่า: ? 2; ? ? 1 แล้ว (15) สามารถเขียนได้โดย5? 25 9 ???
การแปล กรุณารอสักครู่..
แปลความหมาย [ วารสารคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ , ฉบับที่ 7 , 2013 , ฉบับที่ 38 , 1877 - 1884
ฮิคาริ จำกัด , www.m-hikari.com
บาง http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2013.35131 อัตลักษณ์และการสร้างฟังก์ชัน
สำหรับ K - เพลล์หมายเลข
พอลล่า catarino
1
ภาควิชาคณิตศาสตร์ในโรงเรียน
วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัย portugal provinces . kgm ( Vila จริง ( โปรตุเกส )
pcatarin@utad.ptสงวนลิขสิทธิ์สงวนลิขสิทธิ์ 2013 พอลล่า catarino . นี่คือการเปิดบทความเผยแพร่ภายใต้ความคิดสร้างสรรค์คอมมอนส์ Attribution
ใบอนุญาตที่อนุญาตให้ใช้ ไม่จำกัดการกระจายและการสืบพันธุ์ใน
สื่อใด ๆ ให้งานต้นฉบับที่ถูกอ้างถึง .
เราขอรับเป็นสูตรของบิเนต์ สำหรับตัวเลข k-pell และเป็นผลเรา
เอาคุณสมบัติสำหรับตัวเลข k-pell .นอกจากนี้เราให้สร้างฟังก์ชันสำหรับ
ลำดับ k-pell และการแสดงออกอื่นสําหรับคําทั่วไปของลำดับ โดยใช้
ธรรมดาสร้างฟังก์ชันที่ให้ไว้
คณิตศาสตร์เรื่องหมวดหมู่ : 11b37 05a15 11b83 , , .
คำสำคัญ : เพลล์หมายเลข ตัวเลข k-pell สร้างฟังก์ชัน บิเนต์สูตร
1 บทนำ
บางลำดับเลขที่ได้รับการศึกษามาหลายปีกับ
เน้นการศึกษาที่มีชื่อเสียงลำดับเลขฟีโบนัชชี ( และลำดับลูคัส
) ที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนโกลเด้น เอกสารมากมาย และทำงานวิจัย
ทุ่มเทเพื่อลำดับฟีโบนัชชี เช่นงานของ hoggatt , [ 15 ] และ
vorobiov ใน [ 13 ] , หมู่คนอื่น ๆและเมื่อเร็ว ๆ นี้ เรา มี ตัวอย่าง
ผลงานของ Caldwell et al . ใน [ 4 ] , Marques ใน [ 7 ] และแช้ตทัค , [ 11 ] ยัง
1ทํางานร่วมกันของ cidma cm-utad ( โปรตุเกสและศูนย์วิจัย ) 1878 พอลล่า catarino
ที่เกี่ยวข้องกับลำดับฟีโบนัชชี falc ı n et al . , [ 14 ] พิจารณาคุณสมบัติ
สำหรับ k-fibonacci ตัวเลขที่ได้จากพีชคณิตเมตริกซ์เบื้องต้น และเอกลักษณ์ของ
รวมทั้งการสร้างฟังก์ชันและคุณสมบัติการหารลงตัวปรากฏใน
กระดาษของ bolat et al . , [ 3 ] อื่น ๆยัง สำคัญ ลำดับเป็นลำดับของตัวเลขที่กำหนดโดยเพล
recursive ซ้ำให้โดย 2
, 2 , 0 และ 1 ลำดับนี้ได้ศึกษาและบางคุณสมบัติพื้นฐานของ
เป็นที่รู้จักกัน ( ดู ตัวอย่าง การศึกษา horadam ใน [ 2 ] ) ใน [ 10 ]
เราหาเมตริกซ์วิธีการสร้างลำดับนี้และเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเมทริกซ์
เปรียบได้รับการพิจารณาโดยคาลมาน ใน [ 6 ]โดยบิกเนิลล์ , [ 12 ] ,
และลำดับ Fibonacci เพล . จากลำดับนี้เราจะได้รับบางประเภทของลำดับอื่น
คือเพล ลูคัส กับ เพล ลำดับการแก้ไขและยัง dasdemir ใน
[ 1 ] พิจารณาบางส่วนเมทริกซ์ใหม่ซึ่งจะขึ้นอยู่กับลำดับเหล่านี้เช่นเดียวกับ
ที่พวกเขาได้สร้างเมทริกซ์ ส่วนสูตรของบิเนต์ยังเป็นรู้จักกันดี
หลายลำดับเหล่านี้บางครั้งคุณสมบัติพื้นฐานบางอย่างมาจากสูตรนี้
ตัวอย่างเช่นลำดับของ jacobsthal หมายเลข และในบาง bozkurt
, [ 8 ] , สรุปคุณสมบัติและสูตรของบิเนต์ โดยใช้วิธีเมตริกซ์ ใน
[ 9 ] , ô et al . การศึกษาคุณสมบัติเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับ K - jacobsthal ตัวเลข
ตาม jhala et al . , [ 5 ] , เราพิจารณา ในกระดาษนี้ ตัวเลข k-pell
ลำดับและคุณสมบัติหลายจะพิสูจน์โดยอาร์กิวเมนต์ที่ง่ายสำหรับ k-pell
หมายเลข
2 . การ k-pell จำนวนและบางตัว
สำหรับ K จํานวนจริงบวก , k-pell ลำดับว่า , ∈ คือกำหนด recurrently ด้วย
, 2 K , , ,
1 ( 1 ) กับ เงื่อนไขเบื้องต้นให้โดย
, 0 , , 1 ( 2 )
ต่อไปเราจะหาสูตรที่ชัดเจนสำหรับระยะเวลาของลำดับของตัวเลข
k-pell ลำดับการใช้ที่เกี่ยวข้องกับการเกิดขึ้นของผู้ผล . พิจารณา
สมการคุณลักษณะต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด ( 1 )
2 0 ( 3 )
2 แตกรากและ . ทราบว่ารากของสมการ ( 3 )
1 √ 1 และ 1 √ 1 ,ที่ เป็นจํานวนจริงบวก .
ตั้งแต่√ 1 1 แล้ว 0 ดังนั้น 0 .
นอกจากนี้เราได้รับ 2 , 2 √ 1 และ .
เป็นอยากรู้อยากเห็น ค่า K 1 เราได้รับ 1 √ 2 เป็นเงินอัตราส่วนที่เกี่ยวข้องกับลำดับเลข
เพล . อัตราส่วนซิลเวอร์จำกัดตัวเลขอัตราส่วน
เพล )อัตลักษณ์และการสร้างฟังก์ชั่นสำหรับ k-pell หมายเลข 1879
ข้อเสนอ 1 ( บิเนต์สูตร )
k-pell แลกเบอร์ให้
,
( 4 ) ที่ , เป็นรากของสมการคุณลักษณะ ( 3 ) และ > .
หลักฐาน เนื่องจากสมการ ( 3 ) ได้สองแตกราก ลำดับ
= C1 , C2 ( R1 )
n
( R2 )
n
( 5 ) เป็นคำตอบของสมการ ( 1 )
ฮิคาริ จำกัด , www.m-hikari.com
บาง http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2013.35131 อัตลักษณ์และการสร้างฟังก์ชัน
สำหรับ K - เพลล์หมายเลข
พอลล่า catarino
1
ภาควิชาคณิตศาสตร์ในโรงเรียน
วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัย portugal provinces . kgm ( Vila จริง ( โปรตุเกส )
pcatarin@utad.ptสงวนลิขสิทธิ์สงวนลิขสิทธิ์ 2013 พอลล่า catarino . นี่คือการเปิดบทความเผยแพร่ภายใต้ความคิดสร้างสรรค์คอมมอนส์ Attribution
ใบอนุญาตที่อนุญาตให้ใช้ ไม่จำกัดการกระจายและการสืบพันธุ์ใน
สื่อใด ๆ ให้งานต้นฉบับที่ถูกอ้างถึง .
เราขอรับเป็นสูตรของบิเนต์ สำหรับตัวเลข k-pell และเป็นผลเรา
เอาคุณสมบัติสำหรับตัวเลข k-pell .นอกจากนี้เราให้สร้างฟังก์ชันสำหรับ
ลำดับ k-pell และการแสดงออกอื่นสําหรับคําทั่วไปของลำดับ โดยใช้
ธรรมดาสร้างฟังก์ชันที่ให้ไว้
คณิตศาสตร์เรื่องหมวดหมู่ : 11b37 05a15 11b83 , , .
คำสำคัญ : เพลล์หมายเลข ตัวเลข k-pell สร้างฟังก์ชัน บิเนต์สูตร
1 บทนำ
บางลำดับเลขที่ได้รับการศึกษามาหลายปีกับ
เน้นการศึกษาที่มีชื่อเสียงลำดับเลขฟีโบนัชชี ( และลำดับลูคัส
) ที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนโกลเด้น เอกสารมากมาย และทำงานวิจัย
ทุ่มเทเพื่อลำดับฟีโบนัชชี เช่นงานของ hoggatt , [ 15 ] และ
vorobiov ใน [ 13 ] , หมู่คนอื่น ๆและเมื่อเร็ว ๆ นี้ เรา มี ตัวอย่าง
ผลงานของ Caldwell et al . ใน [ 4 ] , Marques ใน [ 7 ] และแช้ตทัค , [ 11 ] ยัง
1ทํางานร่วมกันของ cidma cm-utad ( โปรตุเกสและศูนย์วิจัย ) 1878 พอลล่า catarino
ที่เกี่ยวข้องกับลำดับฟีโบนัชชี falc ı n et al . , [ 14 ] พิจารณาคุณสมบัติ
สำหรับ k-fibonacci ตัวเลขที่ได้จากพีชคณิตเมตริกซ์เบื้องต้น และเอกลักษณ์ของ
รวมทั้งการสร้างฟังก์ชันและคุณสมบัติการหารลงตัวปรากฏใน
กระดาษของ bolat et al . , [ 3 ] อื่น ๆยัง สำคัญ ลำดับเป็นลำดับของตัวเลขที่กำหนดโดยเพล
recursive ซ้ำให้โดย 2
, 2 , 0 และ 1 ลำดับนี้ได้ศึกษาและบางคุณสมบัติพื้นฐานของ
เป็นที่รู้จักกัน ( ดู ตัวอย่าง การศึกษา horadam ใน [ 2 ] ) ใน [ 10 ]
เราหาเมตริกซ์วิธีการสร้างลำดับนี้และเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเมทริกซ์
เปรียบได้รับการพิจารณาโดยคาลมาน ใน [ 6 ]โดยบิกเนิลล์ , [ 12 ] ,
และลำดับ Fibonacci เพล . จากลำดับนี้เราจะได้รับบางประเภทของลำดับอื่น
คือเพล ลูคัส กับ เพล ลำดับการแก้ไขและยัง dasdemir ใน
[ 1 ] พิจารณาบางส่วนเมทริกซ์ใหม่ซึ่งจะขึ้นอยู่กับลำดับเหล่านี้เช่นเดียวกับ
ที่พวกเขาได้สร้างเมทริกซ์ ส่วนสูตรของบิเนต์ยังเป็นรู้จักกันดี
หลายลำดับเหล่านี้บางครั้งคุณสมบัติพื้นฐานบางอย่างมาจากสูตรนี้
ตัวอย่างเช่นลำดับของ jacobsthal หมายเลข และในบาง bozkurt
, [ 8 ] , สรุปคุณสมบัติและสูตรของบิเนต์ โดยใช้วิธีเมตริกซ์ ใน
[ 9 ] , ô et al . การศึกษาคุณสมบัติเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับ K - jacobsthal ตัวเลข
ตาม jhala et al . , [ 5 ] , เราพิจารณา ในกระดาษนี้ ตัวเลข k-pell
ลำดับและคุณสมบัติหลายจะพิสูจน์โดยอาร์กิวเมนต์ที่ง่ายสำหรับ k-pell
หมายเลข
2 . การ k-pell จำนวนและบางตัว
สำหรับ K จํานวนจริงบวก , k-pell ลำดับว่า , ∈ คือกำหนด recurrently ด้วย
, 2 K , , ,
1 ( 1 ) กับ เงื่อนไขเบื้องต้นให้โดย
, 0 , , 1 ( 2 )
ต่อไปเราจะหาสูตรที่ชัดเจนสำหรับระยะเวลาของลำดับของตัวเลข
k-pell ลำดับการใช้ที่เกี่ยวข้องกับการเกิดขึ้นของผู้ผล . พิจารณา
สมการคุณลักษณะต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด ( 1 )
2 0 ( 3 )
2 แตกรากและ . ทราบว่ารากของสมการ ( 3 )
1 √ 1 และ 1 √ 1 ,ที่ เป็นจํานวนจริงบวก .
ตั้งแต่√ 1 1 แล้ว 0 ดังนั้น 0 .
นอกจากนี้เราได้รับ 2 , 2 √ 1 และ .
เป็นอยากรู้อยากเห็น ค่า K 1 เราได้รับ 1 √ 2 เป็นเงินอัตราส่วนที่เกี่ยวข้องกับลำดับเลข
เพล . อัตราส่วนซิลเวอร์จำกัดตัวเลขอัตราส่วน
เพล )อัตลักษณ์และการสร้างฟังก์ชั่นสำหรับ k-pell หมายเลข 1879
ข้อเสนอ 1 ( บิเนต์สูตร )
k-pell แลกเบอร์ให้
,
( 4 ) ที่ , เป็นรากของสมการคุณลักษณะ ( 3 ) และ > .
หลักฐาน เนื่องจากสมการ ( 3 ) ได้สองแตกราก ลำดับ
= C1 , C2 ( R1 )
n
( R2 )
n
( 5 ) เป็นคำตอบของสมการ ( 1 )
การแปล กรุณารอสักครู่..
ภาษาอื่น ๆ
การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.
- please see the tax inv. for a we will pi
- Michael Porter identified three generic
- ประสานงานกับนักรังสีเทคนิค
- เหมือน
- Nothing ventured,nothing gained
- in serbia population, however, noise exp
- foreigners like to take pictures here.
- ทุกคน
- I do it of course, but I can't
- เห็นวิวดอยสุเทพ
- I went to a restaurant last week, but I
- Yeah, heh, rumorsYeah, we the word up on
- ฉันเข้าสู่ระบบไม่ได้เป็นเพราะเหตุใดฉันใส
- you heard the loud noise from the indust
- พระพุทธรูปองค์ใหญ่ ตั้งอยู่บนยอดเขาแก้ว
- Yeah, heh, rumorsYeah, we the word up on
- สามารถแบ่งขายเป็น 2 แปลงได้
- การทดลองเรื่อง สีเต้นระบำสิ่งที่ต้องใช้-
- บริษัท ไอ.เอช.คอนซัลแตนท์ จำกัด ได้ดำเนิ
- UPS worldwide express plus.UPS worldwide
- The staff some peplo also came to work l
- foreigners like to take pictures here.
- also
- Children 's schooling begins at primary
