Theorem 1.1. A nontrivial connected

Theorem 1.1. A nontrivial connected graph G is Eulerian if and only if every
vertex of G has even degree.
“For any two nontrivial connected graphs G1 and G2, the Cartesian product
G1×G2 is Eulerian if and only if both G1 and G2 are Eulerian or every vertex of G1
and G2 is odd vertex”. The previous statement was proved in [2]. In this paper
we will make a new statement, but this time on new operation namely “Glued
Graphs,”which was defined by C. Promsakon and C. Uiyyasathian[3].
Let G1 and G2 be any nontrivial graphs, H1 ⊆ G1 and H2 ⊆ G2 be connected,
not a single vertex and such that H1
∼= H2 with an isomorphism f. The glued
graph of G1 and G2 at H1 and H2 with respect to f, denoted by G1 ✁✄
H1∼=fH2
G2,
is the graph that results from combining G1 with G2 by identifying H1 and H2
with respect to the isomorphism f between H1 and H2. Let H be the copy of H1
and H2 in the glued graph. We refer to H, H1 and H2 as the clones of the glued
graph, G1 and G2, respectively, and refer to G1 and G2 as the original graphs.
The glued graph of G1 and G2 at the clone H, written G1 ✁✄
H
G2, means that there
exist subgraph H1 of G1, subgraph H2 of G2 and isomorphism f between H1 and
H2 such that G1 ✁✄
H
G2 = G1 ✁✄
H1∼=fH2
G2 and H is the copy of H1 and H2 in the
resulting graph.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทที่ 1.1 Nontrivial กราฟเชื่อมโยง G มีแบบออยเลอร์ และ เมื่อทุกจุดยอดของ G ได้แม้แต่ปริญญา"ใด ๆ สอง nontrivial เชื่อมต่อกราฟ G1 และ G2 คูณคาร์ทีเซียนซื้อ G1 G2 เป็นแบบออยเลอร์ถ้าและเฉพาะถ้า G1 และ G2 เป็นแบบออยเลอร์หรือทุกจุดของ G1และ G2 มีจุดยอดคี่" คำสั่งก่อนหน้านี้ถูกพิสูจน์ใน [2] ในเอกสารนี้เราจะทำรายการใหม่ แต่เวลานี้ในการดำเนินงานใหม่คือ "จมปลักกราฟ "ซึ่งถูกกำหนด โดย C. Promsakon และ C. Uiyyasathian [3]ให้ G1 และ G2 เป็นกราฟ nontrivial ⊆ H1 H2 และ G1 ⊆ใด ๆ เชื่อมต่อ G2ไม่เป็นจุดเดียวและ H1 ว่า∼ = H2 กับ f isomorphism การ แบบกาวกราฟของ G1 และ G2 ที่ H1 และ H2 กับ f สามารถบุจาก G1 ✁✄H1∼ = fH2G2เป็นกราฟที่เกิดจากการผสม G1 กับ G2 ระบุ H1 และ H2กับ f isomorphism ระหว่าง H1 และ H2 ให้ H เป็นสำเนาของ H1และ H2 ในกราฟกาว เราอ้างอิง H, H1 และ H2 เป็นโคลนของที่กาวกราฟ G1 และ G2 ตามลำดับ และถึง G1 และ G2 เป็นกราฟเดิมกราฟกาวของ G1 และ G2 ที่โคลน H เขียน G1 ✁✄HG2 หมายความ ว่า มีมี subgraph H1 G1, subgraph isomorphism f ระหว่าง H1 และ H2 G2 และH2 เช่น G1 ที่✁✄HG2 = G1 ✁✄H1∼ = fH2G2 และ H เป็นสำเนาของ H1 และ H2 ในการกราฟได้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 1.1 ที่เชื่อมต่อกราฟขี้ปะติ๋ว G เป็น Eulerian และถ้าหากทุก
จุดสุดยอดของ G มีปริญญาแม้.
"สำหรับสองกราฟที่เชื่อมต่อขี้ปะติ๋ว G1 และ G2, ผลิตภัณฑ์ Cartesian
G1 × G2 เป็น Eulerian และถ้าหากทั้งสอง G1 และ G2 เป็น Eulerian หรือทุก จุดสุดยอดของ G1
และ G2 เป็นจุดสุดยอดแปลก " คำสั่งก่อนหน้านี้ได้รับการพิสูจน์ใน [2] ในบทความนี้
เราจะทำคำสั่งใหม่ แต่เวลาในการดำเนินการใหม่นี้คือ "glued
กราฟ "ซึ่งถูกกำหนดโดยค Promsakon และ C Uiyyasathian [3].
ให้ G1 และ G2 เป็นกราฟใดขี้ปะติ๋ว, H1 ⊆ G1 และ H2 ⊆ G2 จะเชื่อมต่อ
ไม่ได้เป็นจุดสุดยอดเดียวและเช่นที่ H1
~ = H2 กับฉมอร์ฟ กาว
กราฟของ G1 และ G2 ที่ H1 และ H2 ด้วยความเคารพต่อฉ, แสดงโดย G1 ✁✄
H1~ = FH2
G2,
เป็นกราฟที่เป็นผลมาจากการรวม G1 กับ G2 โดยระบุ H1 และ H2
ที่เกี่ยวกับมอร์ฟฉระหว่าง H1 และ H2 Let H เป็นสำเนาของ H1
และ H2 ในกราฟกาว เราหมายถึง H, H1 และ H2 เป็นโคลนของกาว
กราฟ G1 และ G2 ตามลำดับและอ้างถึง G1 และ G2 เป็นกราฟเดิม.
กราฟติดกาวของ G1 และ G2 ที่ H โคลนเขียน G1 ✁✄
H
G2, หมายความว่ามี
อยู่ subgraph H1 ของ G1, H2 subgraph ของ G2 และมอร์ฟฉระหว่าง H1 และ
H2 เช่นที่ G1 ✁✄
H
G2 = G1 ✁✄
H1~ = FH2
G2 และ H เป็นสำเนาของ H1 และ H2 ใน
ผล กราฟ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบท 1.1 . เป็นกราฟ g คือออยเลอร์นอนทริเวียล เชื่อมต่อ ถ้าและเพียงถ้าทุกจุดยอดของ G ได้
. .
" ใด ๆที่เชื่อมต่อสองนอนทริเวียลกราฟ G1 และ G2 , ผลิตภัณฑ์
ของ G1 × G2 เป็นออยเลอร์ถ้าและเพียงถ้า G1 และ G2 มีทั้งออยเลอร์หรือทุกจุดยอดของ G1 และ G2
เป็นจุดยอดคี่ " ข้อความเดิมได้ใน [ 2 ] ใน
บทความนี้เราจะมาประกาศใหม่แต่เวลาในการทำงานใหม่ คือ " จมปลัก
กราฟ " ซึ่งถูกกำหนดโดย promsakon . uiyyasathian [ 3 ] .
ให้ G1 และ G2 จะนอนทริเวียลกราฟ H1 H2 ⊆และ⊆ G1 G2 สามารถเชื่อมต่อ
ไม่จุดยอดเดียวและเช่น H1
∼ = H2 กับไอโซมอร์ฟิซึม F . กาว G1 และ G2
กราฟที่ H1 H2 ด้วยความเคารพและ F แทน โดย✁✄ G1
H1 ∼ = fh2 G2

,คือกราฟที่เป็นผลจากการรวม G1 กับ G2 โดยระบุ H1 H2
และให้ความเคารพกับไอโซมอร์ฟิซึม f และระหว่าง H1 H2 . ปล่อยให้เขาเป็นสำเนาของ H1 H2
ติดกาวและในกราฟ เราหมายถึง H1 H2 H และเป็นโคลนของกาว G1 และ G2
กราฟ ตามลำดับ และอ้างถึง G1 และ G2 เป็นกราฟเดิม
G1 และ G2 ติดกราฟที่โคลน H เขียน✁✄
H
G1 , G2 , ซึ่งหมายความว่ามี
อยู่ subgraph H1 ของ G1 G2 subgraph , H2 ของแรงงานระหว่าง H1 H2
F และเช่นที่✁✄ G1
H

H1 G1 G2 = ✁✄∼ = fh2
G2 และ H เป็นสำเนาและ H1 H2
ที่เกิดในกราฟ