AbstractWe analyse the asymptotic b

Abstract
We analyse the asymptotic behaviour of the probability of observing the expected number of successes at each stage of a sequence of nested Bernoulli trials. Our motivation is the desire to give a genuinely frequentist interpretation for the notion of probability based on finite sample sizes. The main result is that the probabilities under consideration decay asymptotically as n−1/3, where n is the common length of the Bernoulli trials. The main ingredient in the proof is a new fixed-point theorem for non-contractive symmetric functions on the unit interval.

Keywords
Bernoulli trials; Expectation; Fixed-point theorem; Frequentism
1. Introduction and the main results
In a frequentist interpretation, the probability of an event is defined as its asymptotic relative frequency in a large number of independent experiments. In modern axiomatic probability theory, this interpretation is reflected in various forms of the law of large numbers. We refer the reader to any standard textbook on probability theory for a technical discussion of these topics and to von Mises (1981) for a more philosophical account. Frequentism suggests that a sequence of n1 independent experiments with individual probability of success p (such as the tossing of a biased coin), would yield, on average, n1p successes. This is reflected by the fact that the number of successes in this setup follows a View the MathML source binomial distribution which assigns probability View the MathML source to the event of observing m1 successes, and has expected value n1p. In a genuinely frequentist approach, these probabilities should be interpreted, again, as limits of relative frequencies. More precisely, if the sequence of n1 independent experiments were to be repeated, independently, n2 times, then, on average, one would observe View the MathML source runs with m1 successes. In fact, for each m1=1,…,n1, the number of runs with exactly m1 successes follows a View the MathML source binomial distribution, which is defined by the probabilities

View the MathML source
Turn MathJax on

of observing m2 runs with m1 successes. Iteration of this process leads to the recursive definition
View the MathML source
Turn MathJax on

In the following we restrict our attention to the special case where the numbers nk are all equal to some n and the numbers mk are equal to the expected number of successes at stage k, i.e. View the MathML source, and so on. The numbers mk will not, in general, be integers, unless p is rational and n is sufficiently large. This could be remedied by considering the integer closest to mk instead, but we will not do that here. The subject of the paper is an asymptotic analysis of the array of numbers pk,n defined recursively by p0,n=p and

equation(1)
View the MathML source
Turn MathJax on

Surprisingly, these numbers do not seem to have received any attention in the past. They arise very naturally, however. They are the probabilities that, in a nested series of Bernoulli experiments, the number of successes coincides at each stage with the expected number of successes. Classically, the binomial coefficient View the MathML source is defined for positive integers m⩽n by the formula n!/m!(n−m)!. We extend this definition to the case of real numbers by replacing the factorials in the denominator by Gamma functions, i.e. View the MathML source. For two sequences an,bn of positive real numbers we write an∼bn if limn→∞an/bn=1.
With the following result we initiate the study of the probabilities pk,n.

Theorem 1.1.

For every positive integer kand every p∈(0,1), there exist αkand βksuch that pk,n∼αk(2πn)−βkas n→∞. The numbers αkare given by αk=[p(1−p)](−1/2)k. The rates βkdo not depend on the initial value p0,n=pand are given by βk=[1−(−1/2)k]/3; in particular, αkand βkconverge to 1 and 1/3 , respectively.

Interestingly, the rates βk are related to the well-known Jacobsthal numbers Jk (OEIS A001045) via 2kβk=Jk. The trivial cases p∈{0,1} are easily dealt with separately and are seen to lead to pk,n≡1. In the next result we look at the array (pk,n) from a different angle and consider the case where k tends to infinity while n is held constant.

Theorem 1.2.

For every positive integer nand every p∈(0,1), the probabilities pk,nconverge, as k→∞, to a limit pn∈(0,1). This limit is independent of pand is characterised by being the unique solution of the fixed-point equation

equation(2)
View the MathML source
Turn MathJax on

Furthermore, pn∼(2πn)−1/3, as n→∞.
2. Proofs
In this section we present proofs of Theorem 1.1 and Theorem 1.2. We will repeatedly use Stirling’s approximation for factorials (or the Gamma function).

Lemma 2.1 Stirling’s Approximation.

For every positive integer n, the factorial n!satisfies

equation(3)
View the MathML source
Turn MathJax on

An analogous approximation holds for the Gamma function Γ. In particular, for every positive integer nand every positive rational number αnot exceeding n,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อเราวิเคราะห์พฤติกรรม asymptotic ของน่าสังเกตหมายเลขของความสำเร็จในแต่ละขั้นตอนของลำดับการซ้อนนู แรงจูงใจคือ ความปรารถนาให้เป็นจริง frequentist ตีสำหรับความเชื่อในเรื่องของความน่าเป็นตามตัวอย่างที่จำกัดขนาด ผลหลักคือ ว่า น่าจะพิจารณาสลายตัว asymptotically เป็น n−1 3 โดยที่ n เป็นความยาวทั่วไปของการนู ส่วนผสมหลักในการพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทควาใหม่สำหรับฟังก์ชันแบบไม่ contractive ช่วงหน่วยคำสำคัญนู คาดหมาย ทฤษฎีบทควา Frequentismบทนำและหลักผลการในการตีความ frequentist กำหนดความน่าเป็นของเหตุการณ์ความถี่สัมพัทธ์ของ asymptotic ในจำนวนมากของการทดลองอิสระ ในทฤษฎีความน่าเป็นสมัยใหม่ของ axiomatic ตีความนี้เป็นผลในรูปแบบต่าง ๆ ของกฎหมายจำนวนมาก เราดูอ่านตำรามาตรฐานใด ๆ ในทฤษฎีความน่าเป็นสำหรับการสนทนาทางเทคนิคของหัวข้อเหล่านี้ และ von Mises (1981) สำหรับบัญชีปรัชญามาก Frequentism แนะนำว่า ลำดับการทดลองอิสระ n1 ด้วยละน่าเป็น p ความสำเร็จ (เช่นการพลิกของเหรียญ biased), ตอบแทน เฉลี่ย ความสำเร็จ n1p นี้สะท้อนให้เห็นความจริงที่ว่า จำนวนของความสำเร็จในการตั้งค่านี้ตามดูการแจกแจงแบบทวินามแหล่ง MathML กำหนดความน่าเป็นดูแหล่ง MathML กิจกรรมการสังเกตความสำเร็จ m1 และมี n1p มูลค่าคาดไว้ ในความจริง frequentist วิธี เหล่านี้น่าจะควรตีความ อีกครั้ง เป็นขีดจำกัดของความถี่สัมพัทธ์ ได้แม่นยำมากขึ้น ถ้าลำดับการทดลองอิสระ n1 จะทำซ้ำ อิสระ n2 ครั้ง แล้ว โดยเฉลี่ย หนึ่งจะสังเกตดู MathML แหล่งทำงานกับความสำเร็จของ m1 ในความเป็นจริง แต่ละ m1 = 1,..., n1 จำนวนรัน มีว่า m1 สำเร็จดังนี้มุมมองกับ MathML แหล่งแจกแจงทวินาม ซึ่งกำหนด โดยที่น่าจะดูแหล่ง MathMLเปิด MathJaxการสังเกต m2 ทำงานกับความสำเร็จของ m1 ซ้ำของกระบวนการนี้นำไปสู่คำนิยามซ้ำดูแหล่ง MathMLเปิด MathJaxในต่อไปนี้เราจำกัดความสนใจกับกรณีพิเศษซึ่งตัวเลขที่มี nk ทั้งหมดเท่ากับ n บางและหมายเลข เอ็มจะเท่ากับหมายเลขของความสำเร็จในขั้นตอน k เช่นมุมมองแหล่ง MathML และอื่น ๆ เลขที่ mk จะไม่ ทั่วไป เป็นจำนวนเต็ม เว้น p เป็นเหตุผล และ n มีขนาดใหญ่เพียงพอ นี้สามารถแล้วสามารถ โดยพิจารณาจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงกับเอ็มเคแทน แต่เราจะไม่ทำที่นี่ เรื่องของกระดาษเป็น recursively การวิเคราะห์ asymptotic ของอาร์เรย์ของเลข pk, n กำหนด โดย p0, n = p และequation(1)ดูแหล่ง MathMLเปิด MathJaxน่าแปลก ตัวเลขเหล่านี้ดูเหมือนจะไม่ได้รับความสนใจใด ๆ ในอดีต พวกเขาเกิดขึ้นมากตามธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม พวกเขาจะน่าจะว่า ในชุดซ้อนของ Bernoulli ทดลอง การสอดคล้องในแต่ละขั้นตอนมีหมายเลขของความสำเร็จ คลาสสิก กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทวินามดูแหล่ง MathML สำหรับจำนวนเต็มบวก m⩽n โดย n สูตร! / m (n−m) เราสามารถขยายคำจำกัดความนี้กับกรณีของจำนวนจริง โดยการเปลี่ยนแฟกทอเรียลในตัวส่วนโดยฟังก์ชันแกมมา เช่นดูต้นทาง MathML ลำดับสองอัน พันล้านของจำนวนจริงบวก เราเขียน an∼bn limn→∞an/พัน ล้าน = 1มีผลต่อ เราเริ่มต้นการศึกษาของ pk น่าจะ nทฤษฎีบทที่ 1.1สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก kand ทุก p∈(0,1) มี αkand βksuch ที่ pk, n→∞ −βkas n∼αk (2πn) Αkare หมายเลขที่กำหนด โดย αk=[p(1−p)](−1/2) k Βkdo ราคาขึ้นอยู่กับ p0 ค่าเริ่มต้น n = pand กำหนด โดย βk = [1−(−1/2) k] / 3 ในเฉพาะ αkand βkconverge-1 และ 1/3 ตามลำดับน่าสนใจ βk ราคาเกี่ยวข้องรู้จักหมายเลข Jacobsthal Jk (OEIS A001045) ผ่าน 2kβk = Jk P∈ เล็กน้อยกรณี { 0, 1 } ได้จัดการกับแยกต่างหาก และจะนำไปสู่การ pk, n≡1 ในผลลัพธ์ถัดไป เรามองไปที่อาร์เรย์ (pk, n) จากมุมแตกต่างกัน และพิจารณากรณีที่ k มีแนวโน้มที่อินฟินิตี้ขณะ n คงที่ทฤษฎีบท 1.2สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก nand ทุก p∈(0,1), pk น่าจะ nconverge เป็น k→∞ การ pn∈(0,1) จำกัด ขีดจำกัดนี้เป็นอิสระจาก pand มีลักษณะเป็นการแก้ปัญหาเฉพาะของสมการควาequation(2)ดูแหล่ง MathMLเปิด MathJaxนอกจากนี้ pn∼ (2πn) − 1/3 เป็น n→∞2. หลักฐานในส่วนนี้ เราสามารถนำเสนอหลักฐานของทฤษฎีบท 1.1 และ 1.2 ทฤษฎีบท นอกจากนี้เราซ้ำ ๆ จะใช้ประมาณของสเตอร์ลิงแฟกทอเรียล (หรือฟังก์ชันแกมมา)ประมาณ lemma 2.1 สเตอร์ลิงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n, n แฟก! โดนใจequation(3)ดูแหล่ง MathMLเปิด MathJaxประมาณคล้ายถือสำหรับΓฟังก์ชันแกมมา โดยเฉพาะ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก nand ทุก αnot จำนวนตรรกยะบวกเกิน n

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทคัดย่อ
เราวิเคราะห์พฤติกรรมเชิงความน่าจะเป็นในการสังเกตจำนวนที่คาดหวังของความสำเร็จในขั้นตอนของการทดลองลำดับของ Bernoulli ซ้อนกันแต่ละ แรงจูงใจของเราคือความปรารถนาที่จะให้ตีความ frequentist อย่างแท้จริงสำหรับความคิดของความน่าจะขึ้นอยู่กับขนาดตัวอย่างแน่นอน ผลที่สำคัญคือความน่าจะเป็นภายใต้การพิจารณาผุ asymptotically เป็น n-1/3 ที่ n คือความยาวที่พบบ่อยของการทดลอง Bernoulli ส่วนผสมหลักในการพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทจุดคงที่ใหม่สำหรับฟังก์ชั่นที่ไม่สมมาตร contractive ในช่วงเวลาที่หน่วย. คำBernoulli ทดลอง; ความคาดหวัง; ทฤษฎีบทจุดคงที่; Frequentism 1 บทนำและผลหลักในการตีความ frequentist น่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่มีการกำหนดเป็นความถี่ญาติ asymptotic ในจำนวนมากของการทดลองอิสระ ในทางทฤษฎีความน่าจะเป็นจริงที่ทันสมัย, การตีความนี้สะท้อนให้เห็นในรูปแบบต่าง ๆ ของกฎหมายของตัวเลขที่มีขนาดใหญ่ เราจะเรียกให้ผู้อ่านตำรามาตรฐานใด ๆ เกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะสำหรับการอภิปรายทางเทคนิคของหัวข้อเหล่านี้และเพื่อ von Mises (1981) สำหรับบัญชีปรัชญา Frequentism แสดงให้เห็นว่าลำดับของการทดลองอิสระ N1 กับความน่าจะเป็นของแต่ละบุคคลของความสำเร็จ P (เช่นโยนเหรียญลำเอียง) ที่จะให้ผลผลิตโดยเฉลี่ยความสำเร็จ n1p นี่คือภาพสะท้อนจากความจริงที่ว่าจำนวนของผู้ที่ประสบความสำเร็จในการตั้งค่านี้ดังต่อไปนี้ดูแหล่งที่มา MathML กระจายทวินามซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นแหล่งที่มาดู MathML กับเหตุการณ์ในการสังเกตความสำเร็จ M1 และคาดว่าจะมีมูลค่า n1p ในแนวทาง frequentist อย่างแท้จริงน่าจะเป็นเหล่านี้ควรจะตีความอีกครั้งเป็นข้อ จำกัด ของความถี่ญาติ แม่นยำมากขึ้นถ้าลำดับของการทดลองอิสระ N1 จะถูกทำซ้ำอิสระครั้ง N2 แล้วโดยเฉลี่ยแล้วจะสังเกตดูแหล่งที่มา MathML ทำงานกับความสำเร็จ M1 ในความเป็นจริงสำหรับแต่ละ M1 = 1, ... , N1 จำนวนของการทำงานมีความสำเร็จ M1 ว่าต่อไปนี้ดูแหล่งที่มา MathML กระจายทวินามซึ่งถูกกำหนดโดยความน่าจะเป็นที่ดูแหล่งที่มา MathML เปิด MathJax ในการสังเกต m2 ทำงานกับความสำเร็จ M1 . ซ้ำของกระบวนการนี้จะนำไปสู่ความหมาย recursive ดูแหล่งที่มา MathML เปิด MathJax บนในต่อไปนี้เรา จำกัด การความสนใจของเรากรณีพิเศษที่ NK หมายเลขทุกคนเท่าเทียมกันถึง n และตัวเลข MK จะเท่ากับจำนวนที่คาดหวังของความสำเร็จที่ เวที K, IE ดูแหล่งที่มา MathML, และอื่น ๆ หมายเลข MK จะไม่โดยทั่วไปจะ integers เว้นแต่ P คือเหตุผลและ n คือขนาดใหญ่พอ นี้สามารถแก้ไขได้โดยการพิจารณาจากจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงกับ mk แทน แต่เราจะไม่ทำอย่างนั้นนี่ เรื่องของกระดาษคือการวิเคราะห์เชิงของอาร์เรย์ของตัวเลขการ PK, N กำหนดซ้ำโดย P0, N = P และสมการ (1) ดูแหล่งที่มา MathML เปิด MathJax บนน่าแปลกที่ตัวเลขเหล่านี้ดูเหมือนจะไม่ได้รับความสนใจใด ๆ ใน ที่ผ่านมา. พวกเขาเกิดขึ้นอย่างเป็นธรรมชาติอย่างไร พวกเขามีความเป็นไปได้ว่าในชุดที่ซ้อนกันของการทดลอง Bernoulli จำนวนของความสำเร็จที่เกิดขึ้นในแต่ละขั้นตอนมีจำนวนที่คาดว่าจะประสบความสำเร็จ คลาสสิก, ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามดูแหล่งที่มา MathML ถูกกำหนดสำหรับจำนวนเต็มบวกm⩽nโดยสูตร n! / m! (n-M) !. เราขยายคำนิยามนี้กับกรณีของจำนวนจริงโดยการเปลี่ยน factorials ในหารโดยฟังก์ชั่นแกมมาคือดูแหล่งที่มา MathML สำหรับสองลำดับที่ BN ของจำนวนจริงบวกที่เราเขียน an~bn ถ้าบรรยาย→∞an / = 1 พันล้าน. ด้วยผลต่อไปนี้เราเริ่มต้นการศึกษาของ PK ความน่าจะเป็นเอ็น. ทฤษฎีบท 1.1. ทุก Kand จำนวนเต็มบวกทุก P ∈ (0,1) มีอยู่αkandβksuchที่ PK, n~αk (2πn) -βkas n →∞ ตัวเลขที่ได้รับจากαkareαk = [P (1 P)] (- 1/2) k อัตราβkdoได้ขึ้นอยู่กับค่าเริ่มต้น P0, N = แพนจะได้รับจากβk = [1 - (- 1/2) K] / 3; โดยเฉพาะอย่างยิ่งαkandβkconverge 1 และ 1/3 ตามลำดับ. ที่น่าสนใจอัตราβkจะเกี่ยวข้องกับการที่รู้จักกันดีหมายเลข Jacobsthal Jk (OEIS A001045) ผ่าน2kβk = Jk กรณีเล็กน้อยp∈ {0,1} จะจัดการได้อย่างง่ายดายด้วยแยกจากกันและจะเห็นได้จะนำไปสู่ ​​PK, n≡1 ผลต่อไปเรามองไปที่อาร์เรย์ (PK, n) จากมุมที่แตกต่างกันและพิจารณากรณีที่ K มีแนวโน้มที่จะอินฟินิตี้ในขณะที่ n จะจัดขึ้นอย่างต่อเนื่อง. ทฤษฎีบท 1.2. ทุก NAND จำนวนเต็มบวกทุกp∈ (0,1) ความน่าจะเป็น PK, nconverge เป็น K →∞เพื่อpn∈ขีด จำกัด (0,1) ข้อ จำกัด นี้เป็นอิสระจาก Pand มีเอกลักษณ์เฉพาะด้วยการเป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกันของสมการแก้ไขจุดสมการ (2) ดูแหล่งที่มา MathML เปิด MathJax บนนอกจากนี้ pn~ (2πn) -1/3 เป็น n →∞. 2 พิสูจน์ในส่วนนี้เรานำเสนอพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.1 และ 1.2 ทฤษฎีบท เราซ้ำแล้วซ้ำอีกจะใช้ประมาณของสเตอร์ลิงสำหรับ factorials (หรือฟังก์ชันแกมมา). บทแทรก 2.1 ของสเตอร์ลิงประมาณ. สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ที่ปัจจัย n! satisfies สมการ (3) ดูแหล่งที่มา MathML เปิด MathJax บนประมาณคล้ายคลึงถือสำหรับฟังก์ชันแกมมา Γ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับทุก NAND จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนจริงบวกαnotเกิน N,

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทคัดย่อเราวิเคราะห์พฤติกรรมซีมโทติคของความน่าจะเป็นของการสังเกตคาดว่าจำนวนความสำเร็จในแต่ละขั้นตอนเป็นลำดับด้วยการทดลอง Bernoulli . แรงจูงใจของเราคือความปรารถนาให้อย่างแท้จริง frequentist ตีความหมายของแนวคิดของความน่าจะเป็นตามขนาดตัวอย่างที่จำกัด ผลหลักที่น่าจะเป็นภายใต้การพิจารณาสลาย asymptotically เป็น n − 1 / 3 โดยที่ n คือความยาวปกติของการทดลอง Bernoulli . ส่วนผสมหลักในการพิสูจน์ทฤษฎีบทจุดตรึงใหม่ ไม่ใช่เป็น contractive สมมาตรฟังก์ชันในหน่วย ช่วงคำสำคัญการทดลอง Bernoulli ; คาด ; ทฤษฎีบทจุดคงที่ frequentism1 . ความรู้เบื้องต้นและผลหลักใน frequentist ตีความ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หมายถึงความถี่สัมพัทธ์ของการหมุนเวียนในตัวเลขขนาดใหญ่ของการทดลองที่เป็นอิสระ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงสัจพจน์สมัยใหม่ การตีความนี้ สะท้อนออกมาในรูปแบบต่าง ๆของกฎหมายของตัวเลขขนาดใหญ่ เราหมายถึงผู้อ่านตำรามาตรฐานใด ๆในทฤษฎี ความน่าจะเป็นสำหรับเทคนิค การอภิปรายหัวข้อเหล่านี้และฟอน ( 1981 ) สำหรับบัญชีปรัชญามากขึ้น frequentism เห็นว่าลำดับของ N1 อิสระจากความน่าจะเป็นของแต่ละความสำเร็จ P ( เช่นการโยนของเอนเอียงเหรียญ ) จะให้ผลผลิตโดยเฉลี่ย n1p ความสําเร็จ ซึ่งจะเห็นได้จากความจริงที่ว่าจำนวนของความสำเร็จในการตั้งค่านี้คือมุมมองแหล่ง MathML การแจกแจงทวินามซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นดู MathML แหล่งงานสังเกต M1 ที่ประสบความสำเร็จ และคาดว่า n1p ค่า ใน frequentist อย่างแท้จริงวิธีความน่าจะเป็นเหล่านี้ควรจะตีความอีกครั้ง เป็นขอบเขตของความถี่สัมพัทธ์ ยิ่งกว่านั้น ถ้าลำดับการทดลองอิสระ N1 จะซ้ำอย่างอิสระ 2 ครั้ง แล้ว เฉลี่ย หนึ่งจะสังเกตดู MathML แหล่งวิ่งกับความสําเร็จ M1 ในความเป็นจริงสำหรับแต่ละ M1 = 1 , . . . , N1 , เลขวิ่งด้วยว่า M1 สำเร็จตามดูแหล่งที่มา MathML การแจกแจงทวินามซึ่งถูกกำหนดโดยความน่าจะเป็นดู MathML แหล่งเปิด mathjax บนการสังเกตความสำเร็จวิ่งกับ M2 M1 ทำซ้ำกระบวนการนี้นำไปสู่นิยาม recursiveดู MathML แหล่งเปิด mathjax บนในต่อไปนี้เรา จํากัด ความสนใจของเรากรณีพิเศษที่ตัวเลข ฯลฯ ทั้งหมดเท่ากับบาง และตัวเลขที่ MK จะเท่ากับจำนวนของความสำเร็จที่คาดหวังเวที K คือดูแหล่ง MathML , และดังนั้นบน ตัวเลขที่ MK จะไม่โดยทั่วไปเป็นจำนวนเต็ม นอกจาก P มีเหตุผลและมีขนาดใหญ่พอสมควร นี้สามารถแก้ไขได้โดยการพิจารณาจำนวนเต็มใกล้ MK แทน แต่เราจะไม่ทำมันที่นี่ เรื่องของกระดาษคือการวิเคราะห์การหมุนเวียนของอาร์เรย์ของ PK ตัวเลข recursively กำหนดโดย P0 n , n = P และสมการ ( 1 )ดู MathML แหล่งเปิด mathjax บนจู่ ๆ ตัวเลขเหล่านี้ดูเหมือนจะไม่ได้รับความสนใจใด ๆในอดีต พวกเขาเกิดขึ้นเป็นธรรมชาติมาก อย่างไรก็ตาม พวกเขามีความน่าจะเป็นที่ซ้อนกันในชุดของ Bernoulli ทดลอง จำนวนของความสำเร็จเกิดขึ้นในแต่ละขั้นตอนด้วยคาดว่าจำนวนของความสำเร็จ . คลาสสิก , สัมประสิทธิ์ทวินามดู MathML แหล่งกำหนดบวกจำนวนเต็ม m ⩽ N ตามสูตร N ! / M ! ( n − M ) เราขยายคำนิยามนี้กรณีของจำนวนจริงโดยการแทนในส่วนที่แฟกทอเรียลฟังก์ชันแกมมา MathML เช่นดูต้นทาง ลำดับ 2 , 3 ของจำนวนจริงบวกที่เราเขียนต่อ∼ถ้าบรรยาย→∞การ / 10 = 1กับผลลัพธ์ต่อไปนี้เราเริ่มต้นการศึกษาความน่าจะเป็น PK )ทฤษฎีบท 1.1 .สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก kand ทุก p ∈ ( 0.1 ) แล้ว ยังมีα kand บีตา ksuch ที่ PK , N ∼α K ( 2 π N ) N →∞−βนะคะ . ตัวเลขαแคร์ให้α K = [ p ( 1 − P ) ] ( − 1 / 2 ) K . อัตราบีตา KdO ไม่ได้ขึ้นอยู่กับด้วยค่าเริ่มต้น , N = ฟอสฟอรัสจะได้รับโดยบีตา K = [ 1 − ( − 1 / 2 ) K ] / 3 โดยเฉพาะ α kand บีตา kconverge 1 และ 1 / 3 ตามลำดับทั้งนี้ อัตราบีตา K จะเกี่ยวข้องกับตัวเลขที่รู้จักกันดี jacobsthal JK ( oeis a001045 ) ผ่านทาง 2K บีตา K = JK คดีเล็กน้อย P ∈ { 0.1 } สามารถจัดการกับแยกและเห็นไปสู่การ PK , N ≡ 1 ในผลต่อไปเราดูอาร์เรย์ ( PK ) จากมุมที่แตกต่างกันและพิจารณากรณีที่ k เข้าใกล้อนันต์ ขณะที่ N จัดขึ้นอย่างต่อเนื่องทฤษฎีบท 1.2สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก และทุกจุด∈ ( 0.1 ) ความน่าจะเป็น PK nconverge เป็น K →∞เพื่อจำกัดช่วง∈ ( 0.1 ) จำกัด นี้เป็นอิสระของฟอสฟอรัสเป็น characterised โดยเป็นโซลูชั่นของสมการจุดตรึงสมการ ( 2 )ดู MathML แหล่งเปิด mathjax บนนอกจากนี้ PN ∼ ( 2 π n − 1 / 3 เป็น n →∞ .2 . ปรู๊ฟในส่วนนี้เราจะนำเสนอข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบททฤษฎีบท 1.1 และ 1.2 เรา จะ ซ้ำ ๆใช้ของสเตอร์ลิงประมาณสำหรับที่แฟกทอเรียล ( หรือฟังก์ชันแกมมา )พ 2.1 ของสเตอร์ลิงประมาณสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n แฟกทอเรียล n ! น่าพอใจสมการ ( 3 )ดู MathML แหล่งเปิด mathjax บนประมาณเดียวกันถือสำหรับฟังก์ชันแกมมาΓ . โดยเฉพาะทุกๆทาง