Remarks• The above are local defini

Remarks
• The above are local definitions. That a local maximum or minimum has been found does not imply
that a global maximum or minimum has been found.
• For a function defined on a closed subset of Rm, remember that the global maximum or minimum
of the function may occur on a boundary.
• For a function defined on an open subset of Rm it may be more appropriate to seek local suprema
or infima (if they exist) rather than local maxima or minima.
Critical Point or Stationary Point. If a function f : Rm ! R is differentiable sufficiently close to a, then a
is a critical point, or stationary point, if
@f
@xj
(a) = 0 for j = 1, . . . ,m, i.e. if rf(a) = 0 . (2.25)
Property of a Weak Extremum. If f : Rm ! R is differentiable, and f has a weak extremum at a point
a in the interior of its domain of definition, then a is a critical point of f, i.e. rf(a) = 0.
To see this suppose, without loss of generality, that f has a weak local minimum. Then for |h|
sufficiently small,
f(a + hej) > f(a) .
Hence
lim
h!0+
f(a + hej) − f(a)
h > 0 ,
and
lim
h!0−
f(a + hej) − f(a)
h 6 0 .
But f is differentiable, which implies that the above two limits must both be equal to @f
@xj
(a) (inter
alia see (1.24)); hence @f
@xj
(a) = 0.
Remark. A weak extremum at a point a need not be a critical point if a lies on the boundary of
the domain of f.
Saddle Point. A critical point that 7/99 is not a weak extremum is called a saddle point.
Level Set. The set L(c) defined by L(c) = {x|f(x) = c} is called a level set of f. In R2 it is called a level
curve or contour. In R3 it is called a level surface.
2.3.2 Functions of Two Variables
For a function of two variables, f : R2 ! R, the function can be visualised by thinking of it as the surface
with the explicit representation
z = f(x, y) ;
z is constant on the level curves of f. Further, from the equivalent implicit representation

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หมายเหตุ
•ข้างต้นเป็นคำจำกัดความของท้องถิ่น ที่สูงสุดหรือต่ำสุดในท้องถิ่นได้รับการพบไม่ได้หมายความ
ว่าโลกสูงสุดหรือต่ำสุดที่มีการค้นพบ.
•สำหรับฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ในกลุ่มย่อยปิดของ RM, จำไว้ว่าโลกสูงสุดหรือต่ำสุด
ของฟังก์ชันอาจเกิดขึ้นบนขอบเขต
•สำหรับฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ในกลุ่มย่อยเปิด Rm มันอาจจะเหมาะสมกว่าที่จะแสวงหา Suprema ท้องถิ่น
หรือ infima (ถ้ามี) มากกว่า Maxima ท้องถิ่นหรือน้อย.
จุดที่สำคัญหรือจุดเครื่องเขียน ถ้าฟังก์ชัน f: Rm! R คืออนุพันธ์พอใกล้แล้ว
เป็นจุดที่สำคัญหรือจุดหยุดนิ่งถ้า
@f
@xj
(ก) = 0 สำหรับ J = 1 . . , M, เช่นถ้า RF (ก) = 0 (2.25)
ทรัพย์สินของ extremum อ่อนแอ ถ้า f: Rm! R คืออนุพันธ์และ F มี extremum อ่อนแอที่จุด
ในการตกแต่งภายในของโดเมนของความหมายแล้วเป็นจุดที่สำคัญของ F คือ RF (ก) = 0
เพื่อดูนี้สมมติว่าไม่มีการสูญเสียของทั่วไป, ว่า F มีขั้นต่ำในท้องถิ่นอ่อนแอ แล้ว | H |
ขนาดเล็กพอ
. f (A + เฮ้)> f (ก)
ดังนั้น
Lim
! H 0+
f (A + เฮ้) - f (ก)
H> 0
และ
Lim
! H 0- F
(ก + เฮ้) - f (ก)
H 6 0.
แต่ F อนุพันธ์ซึ่งหมายความว่าข้างต้นทั้งสองข้อ จำกัด ทั้งสองจะต้องเท่ากับ @f
@xj
(ก) (อินเตอร์
เห็นสิ่งอื่น ๆ (1.24)); จึง @f
@xj
(ก) = 0
หมายเหตุ เอ็กซ์อ่อนแอที่จุดไม่ได้มีความต้องการที่จะเป็นจุดที่สำคัญหากมีการโกหกในเขตแดนของ
โดเมนของ f.
อานจุด จุดสำคัญที่ 7/99 ไม่ได้เป็นเอ็กซ์อ่อนแอจะเรียกว่าเป็นจุดอาน.
ตั้งค่าระดับ ชุด L (ค) กำหนดโดย L (c) = {x | f (x) = C} เรียกว่าชุดระดับของ F ใน R2 จะเรียกว่าระดับ
เส้นโค้งหรือรูปร่าง ใน R3 จะเรียกว่าพื้นผิวระดับ.
2.3.2 ฟังก์ชั่นของสองตัวแปร
สำหรับฟังก์ชั่นของทั้งสองตัวแปร F: R2! R, ฟังก์ชั่นที่สามารถมองเห็นได้ด้วยการคิดว่ามันเป็นพื้นผิว
ที่มีความชัดเจนเป็นตัวแทน
Z = f (x, y);
Z เป็นค่าคงที่ในระดับของเส้นโค้ง F นอกจากนี้จากการเป็นตัวแทนโดยปริยายเทียบเท่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หมายเหตุบริการข้างต้นเป็นข้อกำหนดท้องถิ่น สูงสุดหรือต่ำสุดที่ท้องถิ่นได้ไม่ได้หมายความว่าที่สุดทั่วโลก หรืออย่างน้อยได้รับการพบ- เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้บนเซตย่อยที่ปิดของ RM , จำได้ว่าสูงสุดหรือต่ำสุด )ของฟังก์ชันที่อาจจะเกิดขึ้นในขอบเขต- เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้บนเปิดเป็นเซตย่อยของ RM มันอาจจะเหมาะสมมากขึ้นในการแสวงหา suprema ท้องถิ่นหรือ infima ( หากมี ) มากกว่า MAXIMA ท้องถิ่นหรือไม่นี่ ม๊า .จุดที่สำคัญหรือจุดนิ่ง ถ้าฟังก์ชัน f : r ! R เป็น Differentiable พอเข้าใกล้แล้วเป็นจุดที่สำคัญหรือจุดคงที่ ถ้า@ F@ XJ( a ) = 0 j = 1 , . . . . . . . . , m ( ถ้า RF ( ) = 0 ( 25 )คุณสมบัติของ extremum อ่อนแอ ถ้า f : r ! R เป็น Differentiable และ F มี extremum อ่อนแอที่จุดในการตกแต่งภายในของโดเมนนิยามของ แล้วเป็นจุดสําคัญของ f คือ RF ( ) = 0เพื่อดูว่า ไม่มีการสูญเสียโดยทั่วไปว่า F มีจุดอ่อนท้องถิ่นต่ำสุด แล้ว | H |ขนาดเล็กเพียงพอF ( + สวัสดี ) > F ( A )ดังนั้นลิมH 0 +F ( + สวัสดี ) − F ( A )H > 0และลิมH 0 บริษัท เวสเทิร์นF ( + สวัสดี ) − F ( A )H 6 0แต่ถ้าเป็น Differentiable ซึ่งหมายความว่าทั้งสองข้าง จำกัด ต้องเท่ากับ @ F@ XJ( ) ( อินเตอร์Alia ดู ( 1.24 ) ) @ F ; ดังนั้น@ XJ( a ) = 0หมายเหตุ เป็น extremum อ่อนแอที่ชี้ไม่ต้องจุดวิกฤต ถ้าอยู่ในขอบเขตของโดเมนของ f .จุดอานม้า จุดวิกฤตที่ 7 / 99 ไม่ใช่ extremum อ่อนแอเรียกว่าจุดอานม้า .ตั้งค่าระดับ ชุด L ( c ) กำหนดโดย L ( c ) = { x | f ( x ) = c } เรียกว่าระดับชุดของ F ใน R2 มันเรียกว่าระดับเส้นโค้งหรือเส้น . ใน R3 มันเรียกว่าระดับพื้นผิว2.3.2 ฟังก์ชันสองตัวแปรสำหรับฟังก์ชันสองตัวแปร , F : R ! R , ฟังก์ชั่นที่สามารถมองเห็น โดยคิดเป็นผิวกับการแสดงที่ชัดเจนy = f ( x , y )Z จะคงที่ในระดับเส้นโค้งของ F . เพิ่มเติมจากเทียบเท่าแทนโดยปริยาย