- ข้อความ
- ประวัติศาสตร์
consists of two parts, Ho and H′, w
consists of two parts, Ho and H′, with Ho being the unperturbed Hamiltonian and H′ the perturbed Hamiltonian. Thus, one can write
'oHHaH=+ for a ≤ 1 (4.46)
The unperturbed one-electron Schrödinger equation is given by
onononoHEφ = (4.47)
Where φno and Eno are the unperturbed eigenfunctions and eigenvalues, respectively. The perturbed Schrödinger equation is given by
nnHE φ = (4.48)
The solutions of the electron wave functions and energies in Eq. (4.48) can be expressed in terms of a power series expansion, which are given respectively by
212nnonnaaφφφφ=+++L Where 1a≤ (4.49)
212nnonnEEaEaE=+++L (4.50)
The new perturbed wave functions φnj (j = 1, 2, 3, ...) given in Eqs.(4.49) and (4.50) can be expressed in terms of a linear combination of the unperturbed wave functions φlo as
0njlljlobφ ∞==Σ (4.51)
Now, substituting Eqs. (4.46), (4.49) and (4.50) into Eq. (4.48) and equating the coefficients of a and a2 terms on both sides of Eqs.(4.49) and (4.50)), one obtains
11onnononnnoHHEE φφφφ′+=+ (4.52)
212112onnnonnnnnoHHEEEφφφφ ′+=++ (4.53)
Note that Eq. (4.52) contains the coefficients of a term, and Eq.(4.53) contains the coefficients of a2 term. For simplicity one can set a equal to 1. Consequently, the first-order correction of energy, En1, and wave function, φn1, is obtained by multiplying both sides of Eq. (
4.52) by the unperturbed conjugate wave function *
moφand integrating the equation over the entire volume. The result yields
*3*1100moollonomonollonnoll HbHdrEbEdφφφφφφ∞∞==⎡⎤⎡⎛⎞⎛⎞′+=+⎢⎥⎢⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣ΣΣ∫∫ (4.54)
Integrating Eq. (4.54) using the orthonormality of the wave functions φno and the hermitian property of Ho, one obtains
(4.55) *311formmomononombEHdrEbmnφφ′+=∫
(4.56) *31fornnononnEHdrHmφφ′′==∫
Solving Eqs.(4.55) and (4.56) yields
()1formnmnomoHbEE′=− (4.57)
En1 = 0 for m = n (4.58)
In Eq. (4.57), H′mn is called the matrix element, and is defined by the second term on the left-hand side of Eq. (4.55). Thus, the new electron wave function φn with the first-order correction using the perturbation theory is given by
1nnonφφφ=+
()0mnmononomommnHEEφφ∞=≠′=+−Σ (4.59)
Where the matrix element, H’mn, can be expressed by
(4.60) *3'monomnHdrH=′∫φφ
Where H’ is the perturbing Hamiltonian. Equation (4.59) can be used to find the wave functions of valence electrons in a periodic crystal lattice using the NFE approximation. In order to find the lowest order correction of the electron energy due to the perturbing potential H’, it is usually necessary to carry out the expansion to the second-order correction given by Eq. (4.50). The reason for the second-order correction in energy calculations is because the perturbed Hamiltonian H′ has a vanishing diagonal matrix element such that the first-order correction in energy is equal to zero (i.e., En1 = 0). This can be explained by the fact that the perturbed Hamiltonian H′ is usually an odd function of the coordinates, and hence H′nn is equal to zero. From Eq. (4.51), the perturbed wave functions for the first- and second-order corrections are given respectively by
110nllb φφ∞==Σ (4.61)
220nllb φφ∞==Σ (4.62)
Now, substituting Eqs. (4.61) and (4.62) into Eq. (4.53) and using the same procedure as described above for the first-order correction of electron wave functions, one obtains the second-order correction of energy, which is
( 220nmnmnomomnHEEE∞=≠′=−Σ (4.63)
Using Eq. (4.63), the expression for the electron energy corrected to the second order is given by
()20nmnnomnomomnHEEEE∞=≠′=+−Σ (4.64)
Equations (4.59) and (4.64) are the new wave functions and energies of electrons derived from the quantum mechanical stationary perturbation theory. The results may be used in the NFE approximation to find the wave functions and energies of the outer-shell electrons of a crystalline solid. As mentioned earlier, the valence electrons in a semiconductor are loosely bound to the atoms, and hence the periodic crystal potential seen by these valence electrons can be treated as a small perturbing Hamiltonian. The unperturbed one-electron Schrödinger equation is depicted by
222()()ooookkkmrEr−∇=φφh (4.65)
Which has the solutions of free electron wave functions and energies given respectively by
1()okikrrNVeφ⋅= (4.66)
222okokEm=h (4.67)
Where N is the total number of unit cells in the crystal, V is the volume of the unit cell, okφ(r) is the free electron wave functions, and is the free electron energy. The pre-exponential factor given by Eq. (4.66) is the normalization constant. The one-electron Schrödinger equation in the presence of a periodic crystal potential V(r) is given by okE
()22*()()()2kkkrVrrErm⎛⎞−∇+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠φφh (4.68)
'oHHaH=+ for a ≤ 1 (4.46)
The unperturbed one-electron Schrödinger equation is given by
onononoHEφ = (4.47)
Where φno and Eno are the unperturbed eigenfunctions and eigenvalues, respectively. The perturbed Schrödinger equation is given by
nnHE φ = (4.48)
The solutions of the electron wave functions and energies in Eq. (4.48) can be expressed in terms of a power series expansion, which are given respectively by
212nnonnaaφφφφ=+++L Where 1a≤ (4.49)
212nnonnEEaEaE=+++L (4.50)
The new perturbed wave functions φnj (j = 1, 2, 3, ...) given in Eqs.(4.49) and (4.50) can be expressed in terms of a linear combination of the unperturbed wave functions φlo as
0njlljlobφ ∞==Σ (4.51)
Now, substituting Eqs. (4.46), (4.49) and (4.50) into Eq. (4.48) and equating the coefficients of a and a2 terms on both sides of Eqs.(4.49) and (4.50)), one obtains
11onnononnnoHHEE φφφφ′+=+ (4.52)
212112onnnonnnnnoHHEEEφφφφ ′+=++ (4.53)
Note that Eq. (4.52) contains the coefficients of a term, and Eq.(4.53) contains the coefficients of a2 term. For simplicity one can set a equal to 1. Consequently, the first-order correction of energy, En1, and wave function, φn1, is obtained by multiplying both sides of Eq. (
4.52) by the unperturbed conjugate wave function *
moφand integrating the equation over the entire volume. The result yields
*3*1100moollonomonollonnoll HbHdrEbEdφφφφφφ∞∞==⎡⎤⎡⎛⎞⎛⎞′+=+⎢⎥⎢⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣ΣΣ∫∫ (4.54)
Integrating Eq. (4.54) using the orthonormality of the wave functions φno and the hermitian property of Ho, one obtains
(4.55) *311formmomononombEHdrEbmnφφ′+=∫
(4.56) *31fornnononnEHdrHmφφ′′==∫
Solving Eqs.(4.55) and (4.56) yields
()1formnmnomoHbEE′=− (4.57)
En1 = 0 for m = n (4.58)
In Eq. (4.57), H′mn is called the matrix element, and is defined by the second term on the left-hand side of Eq. (4.55). Thus, the new electron wave function φn with the first-order correction using the perturbation theory is given by
1nnonφφφ=+
()0mnmononomommnHEEφφ∞=≠′=+−Σ (4.59)
Where the matrix element, H’mn, can be expressed by
(4.60) *3'monomnHdrH=′∫φφ
Where H’ is the perturbing Hamiltonian. Equation (4.59) can be used to find the wave functions of valence electrons in a periodic crystal lattice using the NFE approximation. In order to find the lowest order correction of the electron energy due to the perturbing potential H’, it is usually necessary to carry out the expansion to the second-order correction given by Eq. (4.50). The reason for the second-order correction in energy calculations is because the perturbed Hamiltonian H′ has a vanishing diagonal matrix element such that the first-order correction in energy is equal to zero (i.e., En1 = 0). This can be explained by the fact that the perturbed Hamiltonian H′ is usually an odd function of the coordinates, and hence H′nn is equal to zero. From Eq. (4.51), the perturbed wave functions for the first- and second-order corrections are given respectively by
110nllb φφ∞==Σ (4.61)
220nllb φφ∞==Σ (4.62)
Now, substituting Eqs. (4.61) and (4.62) into Eq. (4.53) and using the same procedure as described above for the first-order correction of electron wave functions, one obtains the second-order correction of energy, which is
( 220nmnmnomomnHEEE∞=≠′=−Σ (4.63)
Using Eq. (4.63), the expression for the electron energy corrected to the second order is given by
()20nmnnomnomomnHEEEE∞=≠′=+−Σ (4.64)
Equations (4.59) and (4.64) are the new wave functions and energies of electrons derived from the quantum mechanical stationary perturbation theory. The results may be used in the NFE approximation to find the wave functions and energies of the outer-shell electrons of a crystalline solid. As mentioned earlier, the valence electrons in a semiconductor are loosely bound to the atoms, and hence the periodic crystal potential seen by these valence electrons can be treated as a small perturbing Hamiltonian. The unperturbed one-electron Schrödinger equation is depicted by
222()()ooookkkmrEr−∇=φφh (4.65)
Which has the solutions of free electron wave functions and energies given respectively by
1()okikrrNVeφ⋅= (4.66)
222okokEm=h (4.67)
Where N is the total number of unit cells in the crystal, V is the volume of the unit cell, okφ(r) is the free electron wave functions, and is the free electron energy. The pre-exponential factor given by Eq. (4.66) is the normalization constant. The one-electron Schrödinger equation in the presence of a periodic crystal potential V(r) is given by okE
()22*()()()2kkkrVrrErm⎛⎞−∇+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠φφh (4.68)
0/5000
consists of two parts, Ho and H′, with Ho being the unperturbed Hamiltonian and H′ the perturbed Hamiltonian. Thus, one can write'oHHaH=+ for a ≤ 1 (4.46)The unperturbed one-electron Schrödinger equation is given byonononoHEφ = (4.47)Where φno and Eno are the unperturbed eigenfunctions and eigenvalues, respectively. The perturbed Schrödinger equation is given bynnHE φ = (4.48)The solutions of the electron wave functions and energies in Eq. (4.48) can be expressed in terms of a power series expansion, which are given respectively by212nnonnaaφφφφ=+++L Where 1a≤ (4.49)212nnonnEEaEaE=+++L (4.50)The new perturbed wave functions φnj (j = 1, 2, 3, ...) given in Eqs.(4.49) and (4.50) can be expressed in terms of a linear combination of the unperturbed wave functions φlo as0njlljlobφ ∞==Σ (4.51)Now, substituting Eqs. (4.46), (4.49) and (4.50) into Eq. (4.48) and equating the coefficients of a and a2 terms on both sides of Eqs.(4.49) and (4.50)), one obtains11onnononnnoHHEE φφφφ′+=+ (4.52)212112onnnonnnnnoHHEEEφφφφ ′+=++ (4.53)Note that Eq. (4.52) contains the coefficients of a term, and Eq.(4.53) contains the coefficients of a2 term. For simplicity one can set a equal to 1. Consequently, the first-order correction of energy, En1, and wave function, φn1, is obtained by multiplying both sides of Eq. (4.52) by the unperturbed conjugate wave function *moφand integrating the equation over the entire volume. The result yields*3*1100moollonomonollonnoll HbHdrEbEdφφφφφφ∞∞==⎡⎤⎡⎛⎞⎛⎞′+=+⎢⎥⎢⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣ΣΣ∫∫ (4.54)Integrating Eq. (4.54) using the orthonormality of the wave functions φno and the hermitian property of Ho, one obtains(4.55) *311formmomononombEHdrEbmnφφ′+=∫(4.56) *31fornnononnEHdrHmφφ′′==∫Solving Eqs.(4.55) and (4.56) yields()1formnmnomoHbEE′=− (4.57)En1 = 0 for m = n (4.58)In Eq. (4.57), H′mn is called the matrix element, and is defined by the second term on the left-hand side of Eq. (4.55). Thus, the new electron wave function φn with the first-order correction using the perturbation theory is given by1nnonφφφ=+()0mnmononomommnHEEφφ∞=≠′=+−Σ (4.59)Where the matrix element, H’mn, can be expressed by(4.60) *3'monomnHdrH=′∫φφWhere H’ is the perturbing Hamiltonian. Equation (4.59) can be used to find the wave functions of valence electrons in a periodic crystal lattice using the NFE approximation. In order to find the lowest order correction of the electron energy due to the perturbing potential H’, it is usually necessary to carry out the expansion to the second-order correction given by Eq. (4.50). The reason for the second-order correction in energy calculations is because the perturbed Hamiltonian H′ has a vanishing diagonal matrix element such that the first-order correction in energy is equal to zero (i.e., En1 = 0). This can be explained by the fact that the perturbed Hamiltonian H′ is usually an odd function of the coordinates, and hence H′nn is equal to zero. From Eq. (4.51), the perturbed wave functions for the first- and second-order corrections are given respectively by110nllb φφ∞==Σ (4.61)220nllb φφ∞==Σ (4.62)Now, substituting Eqs. (4.61) and (4.62) into Eq. (4.53) and using the same procedure as described above for the first-order correction of electron wave functions, one obtains the second-order correction of energy, which is( 220nmnmnomomnHEEE∞=≠′=−Σ (4.63)Using Eq. (4.63), the expression for the electron energy corrected to the second order is given by()20nmnnomnomomnHEEEE∞=≠′=+−Σ (4.64)Equations (4.59) and (4.64) are the new wave functions and energies of electrons derived from the quantum mechanical stationary perturbation theory. The results may be used in the NFE approximation to find the wave functions and energies of the outer-shell electrons of a crystalline solid. As mentioned earlier, the valence electrons in a semiconductor are loosely bound to the atoms, and hence the periodic crystal potential seen by these valence electrons can be treated as a small perturbing Hamiltonian. The unperturbed one-electron Schrödinger equation is depicted by222()()ooookkkmrEr−∇=φφh (4.65)Which has the solutions of free electron wave functions and energies given respectively by1()okikrrNVeφ⋅= (4.66)222okokEm=h (4.67)Where N is the total number of unit cells in the crystal, V is the volume of the unit cell, okφ(r) is the free electron wave functions, and is the free electron energy. The pre-exponential factor given by Eq. (4.66) is the normalization constant. The one-electron Schrödinger equation in the presence of a periodic crystal potential V(r) is given by okE()22*()()()2kkkrVrrErm⎛⎞−∇+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠φφh (4.68)
การแปล กรุณารอสักครู่..
ประกอบด้วยสองส่วนโฮและเอช 'กับโฮเป็นมิลใจเย็น ๆ และ H' มิลโตเนียนตกอกตกใจ ดังนั้นหนึ่งสามารถเขียน
'oHHaH + = สำหรับ≤ 1 (4.46)
ใจเย็นหนึ่งอิเล็กตรอนSchrödingerสมการจะได้รับจากonononoHEφ = (4.47) ในกรณีที่φnoและ Eno เป็น eigenfunctions ใจเย็นและค่าลักษณะเฉพาะตามลำดับ ตกอกตกใจSchrödingerสมการจะได้รับจากnnHE φ = (4.48) โซลูชั่นของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนและพลังงานในสมการ (4.48) สามารถแสดงออกในแง่ของการขยายตัวชุดไฟซึ่งจะได้รับตามลำดับ212nnonnaaφφφφ = +++ L ที่ไหน1a≤ (4.49) 212nnonnEEaEaE = +++ L (4.50) ฟังก์ชั่นใหม่ที่ตกอกตกใจคลื่นφnj (ญ = 1 , 2, 3, ... ) ได้รับใน EQS. (4.49) และ (4.50) สามารถแสดงออกในแง่ของการรวมกันเชิงเส้นของฟังก์ชั่นคลื่นใจเย็นφloเป็น0njlljlobφ == ∞Σ (4.51) ตอนนี้แทน EQS (4.46) (4.49) และ (4.50) ลงในสมการ (4.48) และเท่าค่าสัมประสิทธิ์ของ a2 และเงื่อนไขทั้งสองด้านของ EQS ได้. (4.49) และ (4.50)) คนหนึ่งได้11onnononnnoHHEE φφφφ '+ = + (4.52) 212112onnnonnnnnoHHEEEφφφφ' + = ++ (4.53) โปรดทราบว่าสมการ . (4.52) มีค่าสัมประสิทธิ์ของคำและสม. (4.53) มีค่าสัมประสิทธิ์ของเทอม a2 สำหรับความเรียบง่ายอย่างใดอย่างหนึ่งสามารถตั้งค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นการแก้ไขลำดับแรกของพลังงาน EN1 และฟังก์ชั่นคลื่นφn1, จะได้รับโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการ (4.52) โดยฟังก์ชันคลื่นผันใจเย็น * moφandสมบูรณาการมากกว่าปริมาณทั้งหมด อัตราผลตอบแทนผลที่* 3 * 1100moollonomonollonnoll (4.54) การบูรณาการสมการ (4.54) โดยใช้ orthonormality ของฟังก์ชันคลื่นφnoและทรัพย์สินเทียนโฮคนหนึ่งได้(4.55) * 311formmomononombEHdrEbmnφφ '+ = ∫ (4.56) * 31fornnononnEHdrHmφφ' '== ∫แก้EQS. (4.55) และ (4.56) อัตราผลตอบแทน() 1formnmnomoHbEE '= - (4.57) EN1 = 0 m = n (4.58) ในสมการ (4.57) H'mn เรียกว่าเมทริกซ์และถูกกำหนดโดยระยะที่สองทางด้านซ้ายมือของสมการ (4.55) ดังนั้นฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนใหม่φnกับการแก้ไขครั้งแรกที่สั่งซื้อโดยใช้ทฤษฎีความยุ่งเหยิงจะได้รับโดย1nnonφφφ + = () 0mnmononomommnHEEφφ∞ = ≠ '= + - Σ (4.59) ในกรณีที่องค์ประกอบเมทริกซ์, H'mn สามารถแสดง โดยการ(4.60) * 3'monomnHdrH = '∫φφที่ไหนH' คือมิลก่อกวน สมการ (4.59) สามารถใช้ในการหาฟังก์ชั่นคลื่นของอิเล็กตรอนในผลึกตาข่ายเป็นระยะ ๆ โดยใช้การประมาณการศึกษานอกโรงเรียน เพื่อที่จะหาการแก้ไขเพื่อที่ต่ำสุดของอิเล็กตรอนพลังงานเนื่องจากการที่มีศักยภาพก่อกวน H 'ก็มักจะจำเป็นที่จะต้องดำเนินการเพื่อให้การขยายตัวของการแก้ไขที่สองคำสั่งที่ได้รับจากสมการ (4.50) เหตุผลสำหรับการแก้ไขที่สองสั่งซื้อในการคำนวณพลังงานเป็นเพราะมิลตกอกตกใจ H 'มีองค์ประกอบเมทริกซ์ทแยงมุมหายไปดังกล่าวว่าการแก้ไขลำดับแรกในการใช้พลังงานเท่ากับศูนย์ (เช่น EN1 = 0) นี้สามารถอธิบายได้ด้วยความจริงที่ว่ามิลตกอกตกใจ H 'มักจะเป็นฟังก์ชั่นที่แปลกพิกัดและ H'nn จึงมีค่าเท่ากับศูนย์ จากสมการ (4.51) ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นคลื่นตกอกตกใจสำหรับการแก้ไขครั้งแรกและครั้งที่สองเพื่อที่จะได้รับตามลำดับ110nllb φφ∞ == Σ (4.61) 220nllb φφ∞ == Σ (4.62) ตอนนี้แทน EQS (4.61) และ (4.62) ลงในสมการ (4.53) และการใช้ขั้นตอนเดียวกันตามที่อธิบายไว้ข้างต้นสำหรับการแก้ไขลำดับแรกของการทำงานของคลื่นอิเล็กตรอนหนึ่งได้รับการแก้ไขที่สองคำสั่งของพลังงานซึ่งเป็น(220nmnmnomomnHEEE∞ = ≠ '= - Σ (4.63). การใช้สมการ ( 4.63) การแสดงออกสำหรับพลังงานอิเล็กตรอนแก้ไขคำสั่งที่สองจะได้รับจาก() 20nmnnomnomomnHEEEE∞ = ≠ '= + - Σ (4.64) สมการ (4.59) และ (4.64) เป็นฟังก์ชั่นคลื่นลูกใหม่และพลังงานของอิเล็กตรอนที่ได้มาจาก ควอนตัมกลทฤษฎีความยุ่งเหยิงนิ่ง. ผลอาจจะใช้ในการประมาณการศึกษานอกโรงเรียนที่จะหาฟังก์ชั่นคลื่นและพลังงานของอิเล็กตรอนนอกเปลือกของผลึกของแข็ง. ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้อิเล็กตรอนในสารกึ่งตัวนำที่มีความผูกพันอย่างอิสระอะตอม และด้วยเหตุนี้ศักยภาพคริสตัลระยะมองเห็นได้ด้วยอิเล็กตรอนเหล่านี้สามารถได้รับการปฏิบัติในฐานะที่เป็นมิลก่อกวนขนาดเล็ก. โดยใจเย็นหนึ่งอิเล็กตรอนSchrödingerสมเป็นภาพโดย222 () () ooookkkmrEr-∇ = φφh (4.65) ซึ่งมีการแก้ปัญหาของฟรี ฟังก์ชั่นคลื่นอิเล็กตรอนและพลังงานที่ได้รับตามลำดับที่1 () okikrrNVeφ⋅ = (4.66) 222okokEm = h (4.67) ในกรณีที่ N คือจำนวนของเซลล์หน่วยคริสตัล, V คือปริมาตรของหน่วยเซลล์ที่okφ (R) เป็น ฟังก์ชั่นคลื่นอิเล็กตรอนอิสระและเป็นพลังงานอิเล็กตรอนอิสระ ปัจจัยที่ชี้แจงก่อนกำหนดโดยสมการ (4.66) เป็นค่าคงที่การฟื้นฟู หนึ่งอิเล็กตรอนSchrödingerสมการในการปรากฏตัวของผลึกธาตุที่มีศักยภาพ V (R) จะได้รับจาก Oke () 22 * () () () 2kkkrVrrErm⎛⎞-∇ + = ⎜⎟⎜⎟⎝⎠φφh (4.68)
'oHHaH + = สำหรับ≤ 1 (4.46)
ใจเย็นหนึ่งอิเล็กตรอนSchrödingerสมการจะได้รับจากonononoHEφ = (4.47) ในกรณีที่φnoและ Eno เป็น eigenfunctions ใจเย็นและค่าลักษณะเฉพาะตามลำดับ ตกอกตกใจSchrödingerสมการจะได้รับจากnnHE φ = (4.48) โซลูชั่นของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนและพลังงานในสมการ (4.48) สามารถแสดงออกในแง่ของการขยายตัวชุดไฟซึ่งจะได้รับตามลำดับ212nnonnaaφφφφ = +++ L ที่ไหน1a≤ (4.49) 212nnonnEEaEaE = +++ L (4.50) ฟังก์ชั่นใหม่ที่ตกอกตกใจคลื่นφnj (ญ = 1 , 2, 3, ... ) ได้รับใน EQS. (4.49) และ (4.50) สามารถแสดงออกในแง่ของการรวมกันเชิงเส้นของฟังก์ชั่นคลื่นใจเย็นφloเป็น0njlljlobφ == ∞Σ (4.51) ตอนนี้แทน EQS (4.46) (4.49) และ (4.50) ลงในสมการ (4.48) และเท่าค่าสัมประสิทธิ์ของ a2 และเงื่อนไขทั้งสองด้านของ EQS ได้. (4.49) และ (4.50)) คนหนึ่งได้11onnononnnoHHEE φφφφ '+ = + (4.52) 212112onnnonnnnnoHHEEEφφφφ' + = ++ (4.53) โปรดทราบว่าสมการ . (4.52) มีค่าสัมประสิทธิ์ของคำและสม. (4.53) มีค่าสัมประสิทธิ์ของเทอม a2 สำหรับความเรียบง่ายอย่างใดอย่างหนึ่งสามารถตั้งค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นการแก้ไขลำดับแรกของพลังงาน EN1 และฟังก์ชั่นคลื่นφn1, จะได้รับโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการ (4.52) โดยฟังก์ชันคลื่นผันใจเย็น * moφandสมบูรณาการมากกว่าปริมาณทั้งหมด อัตราผลตอบแทนผลที่* 3 * 1100moollonomonollonnoll (4.54) การบูรณาการสมการ (4.54) โดยใช้ orthonormality ของฟังก์ชันคลื่นφnoและทรัพย์สินเทียนโฮคนหนึ่งได้(4.55) * 311formmomononombEHdrEbmnφφ '+ = ∫ (4.56) * 31fornnononnEHdrHmφφ' '== ∫แก้EQS. (4.55) และ (4.56) อัตราผลตอบแทน() 1formnmnomoHbEE '= - (4.57) EN1 = 0 m = n (4.58) ในสมการ (4.57) H'mn เรียกว่าเมทริกซ์และถูกกำหนดโดยระยะที่สองทางด้านซ้ายมือของสมการ (4.55) ดังนั้นฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนใหม่φnกับการแก้ไขครั้งแรกที่สั่งซื้อโดยใช้ทฤษฎีความยุ่งเหยิงจะได้รับโดย1nnonφφφ + = () 0mnmononomommnHEEφφ∞ = ≠ '= + - Σ (4.59) ในกรณีที่องค์ประกอบเมทริกซ์, H'mn สามารถแสดง โดยการ(4.60) * 3'monomnHdrH = '∫φφที่ไหนH' คือมิลก่อกวน สมการ (4.59) สามารถใช้ในการหาฟังก์ชั่นคลื่นของอิเล็กตรอนในผลึกตาข่ายเป็นระยะ ๆ โดยใช้การประมาณการศึกษานอกโรงเรียน เพื่อที่จะหาการแก้ไขเพื่อที่ต่ำสุดของอิเล็กตรอนพลังงานเนื่องจากการที่มีศักยภาพก่อกวน H 'ก็มักจะจำเป็นที่จะต้องดำเนินการเพื่อให้การขยายตัวของการแก้ไขที่สองคำสั่งที่ได้รับจากสมการ (4.50) เหตุผลสำหรับการแก้ไขที่สองสั่งซื้อในการคำนวณพลังงานเป็นเพราะมิลตกอกตกใจ H 'มีองค์ประกอบเมทริกซ์ทแยงมุมหายไปดังกล่าวว่าการแก้ไขลำดับแรกในการใช้พลังงานเท่ากับศูนย์ (เช่น EN1 = 0) นี้สามารถอธิบายได้ด้วยความจริงที่ว่ามิลตกอกตกใจ H 'มักจะเป็นฟังก์ชั่นที่แปลกพิกัดและ H'nn จึงมีค่าเท่ากับศูนย์ จากสมการ (4.51) ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นคลื่นตกอกตกใจสำหรับการแก้ไขครั้งแรกและครั้งที่สองเพื่อที่จะได้รับตามลำดับ110nllb φφ∞ == Σ (4.61) 220nllb φφ∞ == Σ (4.62) ตอนนี้แทน EQS (4.61) และ (4.62) ลงในสมการ (4.53) และการใช้ขั้นตอนเดียวกันตามที่อธิบายไว้ข้างต้นสำหรับการแก้ไขลำดับแรกของการทำงานของคลื่นอิเล็กตรอนหนึ่งได้รับการแก้ไขที่สองคำสั่งของพลังงานซึ่งเป็น(220nmnmnomomnHEEE∞ = ≠ '= - Σ (4.63). การใช้สมการ ( 4.63) การแสดงออกสำหรับพลังงานอิเล็กตรอนแก้ไขคำสั่งที่สองจะได้รับจาก() 20nmnnomnomomnHEEEE∞ = ≠ '= + - Σ (4.64) สมการ (4.59) และ (4.64) เป็นฟังก์ชั่นคลื่นลูกใหม่และพลังงานของอิเล็กตรอนที่ได้มาจาก ควอนตัมกลทฤษฎีความยุ่งเหยิงนิ่ง. ผลอาจจะใช้ในการประมาณการศึกษานอกโรงเรียนที่จะหาฟังก์ชั่นคลื่นและพลังงานของอิเล็กตรอนนอกเปลือกของผลึกของแข็ง. ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้อิเล็กตรอนในสารกึ่งตัวนำที่มีความผูกพันอย่างอิสระอะตอม และด้วยเหตุนี้ศักยภาพคริสตัลระยะมองเห็นได้ด้วยอิเล็กตรอนเหล่านี้สามารถได้รับการปฏิบัติในฐานะที่เป็นมิลก่อกวนขนาดเล็ก. โดยใจเย็นหนึ่งอิเล็กตรอนSchrödingerสมเป็นภาพโดย222 () () ooookkkmrEr-∇ = φφh (4.65) ซึ่งมีการแก้ปัญหาของฟรี ฟังก์ชั่นคลื่นอิเล็กตรอนและพลังงานที่ได้รับตามลำดับที่1 () okikrrNVeφ⋅ = (4.66) 222okokEm = h (4.67) ในกรณีที่ N คือจำนวนของเซลล์หน่วยคริสตัล, V คือปริมาตรของหน่วยเซลล์ที่okφ (R) เป็น ฟังก์ชั่นคลื่นอิเล็กตรอนอิสระและเป็นพลังงานอิเล็กตรอนอิสระ ปัจจัยที่ชี้แจงก่อนกำหนดโดยสมการ (4.66) เป็นค่าคงที่การฟื้นฟู หนึ่งอิเล็กตรอนSchrödingerสมการในการปรากฏตัวของผลึกธาตุที่มีศักยภาพ V (R) จะได้รับจาก Oke () 22 * () () () 2kkkrVrrErm⎛⎞-∇ + = ⎜⎟⎜⎟⎝⎠φφh (4.68)
การแปล กรุณารอสักครู่..
ประกอบด้วยสองส่วน , โฮและ H นั้น มีโฮเป็น Hamiltonian H นั้น วนเวียน และเพื่อสะดวกใน Hamiltonian . ดังนั้นหนึ่งสามารถเขียน
'ohhah = สำหรับ≤ 1 ( 4.46 )
เพื่อสะดวกหนึ่งอิเล็กตรอนสมการของชเรอดิงเงอร์ให้
onononohe φ = ( 4.47 )
ที่φไม่มีและ Eno เป็น eigenfunctions เพื่อสะดวก และแบบตามลำดับ ที่วนเวียน สมการของชเรอดิงเงอร์ให้
( nnhe φ = 4.48 )โซลูชั่นของอิเล็กตรอนฟังก์ชันคลื่นและพลังงานในอีคิว ( 4.48 ) สามารถแสดงในแง่ของอำนาจแบบขยาย ซึ่งจะได้รับตาม
212nnonnaa φφφφ = L ที่ 1A ≤ ( 4.49 )
212nnonneeaeae = L ( 4.50 )
ใหม่ วนเวียน ฟังก์ชันคลื่นφ NJ ( j = 1 , 2 , 3 . . . . . ) ระบุใน EQS ( 4.49 ) และ ( 4 )50 ) สามารถแสดงในแง่ของการรวมกันของฟังก์ชันเชิงเส้นเพื่อสะดวกφคลื่นวเป็น
0njlljlob φ∞ = = Σ ( 4.51 )
ตอนนี้แทน EQS . ( ราคา ) , ( 4.49 ) และ ( 4 ) อีคิว ( 4.48 ) และการเทียบสัมประสิทธิ์ของ A2 เงื่อนไขทั้งสองด้านของ EQS ( 4.49 ) และ ( 4 ) คนหนึ่งได้
11onnononnnohhee φφφφ′ = 4.52 )
212112onnnonnnnnohheee φφφφ School = ( 4.53 )
ทราบว่าอีคิว ( 452 ) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมและอีคิว ( 4.53 ) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของ A2 ในระยะ สำหรับความเรียบง่ายที่สามารถตั้งค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น เพื่อแก้ไข en1 คลื่นพลังงาน และฟังก์ชันφ N1 ได้โดยคูณทั้งสองข้างของอีคิว (
4.52 ) โดยเพื่อสะดวกคือฟังก์ชันคลื่น *
โมφและบูรณาการสมการกว่าทั้งปริมาณ
ผลผลผลิต* 3 * 1100moollonomonollonnoll hbhdrebed φφφφφφ∞∞ = = = ⎢⎥⎢⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣ΣΣ∫∫⎡⎤⎡⎛⎞⎛⎞′ ( 4.54 )
บูรณาการอีคิว ( 4.54 ) ใช้ orthonormality ของฟังก์ชันคลื่นφไม่มีและคุณสมบัติของ hermitian โฮคนหนึ่งได้
( 4.55 ) * 311formmomononombehdrebmn φφ′ = ∫
( 4.56 ) * 31fornnononnehdrhm φφ′′ = = ∫
แก้ EQS ( 4.55 ) และ ( 4.56 ) ผลผลิต
( ) 1formnmnomohbee School = − ( 4.57 )
en1 = 0 = m = n ( 4.58 )
ในอีคิว ( 4.57 ) H ) นั้นเรียกว่าธาตุเมทริกซ์ , และจะถูกกำหนดโดยระยะที่สอง ด้านซ้ายมือของอีคิว ( 4.55 ) ดังนั้น , ใหม่ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนφกับการแก้ไขครั้งแรกโดยใช้ทฤษฎีความยุ่งเหยิงให้
1nnon φφφ =
( ) 0mnmononomommnhee φφ∞ = ≠′ = −Σ ( 4.59 )
ที่เมทริกซ์องค์ประกอบ h'mn , สามารถแสดงโดย
( 460 ) * 3'monomnhdrh = ′∫φφ
ที่ H ' เป็นในใจงั้น Hamiltonian . สมการ ( 4.59 ) สามารถใช้เพื่อหาฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนในผลึก lattice ใช้เป็นระยะ ๆ ( ประมาณ เพื่อที่จะหาที่ถูกที่สุดเพื่อแก้ไขของอิเล็กตรอนพลังงานเนื่องจากการในใจงั้นศักยภาพ H 'มันมักจะจำเป็นเพื่อดำเนินการขยายไปที่สองแก้ไขโดยให้อีคิว ( 4.50 ) เหตุผลที่สองคือการแก้ไขในการคำนวณพลังงานเพราะไม่สบายใจ Hamiltonian H นั้นได้หายไปเมทริกซ์ทแยงมุมองค์ประกอบดังกล่าวว่าเพื่อแก้ไขในพลังงานเท่ากับศูนย์ ( เช่น en1 = 0 )นี้สามารถอธิบายได้ด้วยความจริงที่ว่ากระสับกระส่าย Hamiltonian H นั้นมักจะเป็นฟังก์ชั่นที่แปลกของพิกัด ดังนั้น H นั้นไม่เท่ากับศูนย์ จากอีคิว ( 4.51 ) , กระสับกระส่ายฟังก์ชันคลื่นครั้งแรก - และสอง - การแก้ไขให้
110nllb ตามลำดับ โดยφφ∞ = = Σ ( 4.61 )
220nllb φφ∞ = = Σ ( 4.62 )
ตอนนี้แทน EQS . ( 4.61 ) และ ( 4.62 ) อีคิว ( 453 ) และการใช้กระบวนการเดียวกับที่อธิบายข้างต้นสำหรับแรกแก้ไขฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอน หนึ่ง ได้อันดับที่สอง การพลังงาน ซึ่งเป็น∞ = =
( 220nmnmnomomnheee ≠′−Σ ( 4.63 )
ใช้อีคิว ( 4.63 ) , การแสดงออกสำหรับอิเล็กตรอนพลังงานแก้ไขใบที่สองจะได้รับโดย
( ) 20nmnnomnomomnheeee ∞ = ≠′−Σ ( = 4.64 )
สมการ ( 4.59 ) และ ( 4 )64 ) เป็นฟังก์ชันใหม่คลื่นและพลังงานของอิเล็กตรอนที่ได้จากสมการควอนตัมเชิงกล ) ทฤษฎี ผลลัพธ์อาจจะถูกใช้ในการศึกษาการประมาณค่าเพื่อหาฟังก์ชันคลื่นและพลังงานของอิเล็กตรอนชั้นนอกของผลึกของแข็ง ตามที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ อิเล็กตรอนในสารกึ่งตัวนำจะหลวมๆผูกไว้กับอะตอมและด้วยเหตุนี้อาจเกิดขึ้นเป็นระยะ ๆโดยอิเล็กตรอนเวเลนซ์เห็นคริสตัลเหล่านี้สามารถจะถือว่าเป็นขนาดเล็กในใจงั้น Hamiltonian . อิเล็กตรอนหนึ่งเพื่อสะดวกในสมการของชเรอดิงเงอร์ถูกอธิบายโดย
222() ( ) ooookkkmrer −∇ = φφ H ( 4.65 )
ซึ่งมีโซลูชั่นของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนอิสระและพลังให้ตามลำดับโดย
1() okikrrnve φ⋅ = ( 4.66 )
222okokem = H ( 4.67 )โดยที่ n คือจำนวนเซลล์ในหน่วยคริสตัล , V คือปริมาตรของหน่วยเซลล์ โอเคφ ( R ) เป็นอิเล็กตรอนอิสระฟังก์ชันคลื่นและพลังงานของอิเล็กตรอนอิสระ ก่อนชี้แจงปัจจัยให้อีคิว ( 4.66 ) คือ ความคงที่ หนึ่งอิเล็กตรอนสมการของชเรอดิงเงอร์ในการแสดงศักยภาพคริสตัลเป็นระยะ v ( R ) ที่ได้รับจากวง
( 22 * ( ) ( ) ( ) 2kkkrvrrerm ⎛⎞−∇⎜⎟⎜⎟⎝⎠φφ H ( = 4.68 )
'ohhah = สำหรับ≤ 1 ( 4.46 )
เพื่อสะดวกหนึ่งอิเล็กตรอนสมการของชเรอดิงเงอร์ให้
onononohe φ = ( 4.47 )
ที่φไม่มีและ Eno เป็น eigenfunctions เพื่อสะดวก และแบบตามลำดับ ที่วนเวียน สมการของชเรอดิงเงอร์ให้
( nnhe φ = 4.48 )โซลูชั่นของอิเล็กตรอนฟังก์ชันคลื่นและพลังงานในอีคิว ( 4.48 ) สามารถแสดงในแง่ของอำนาจแบบขยาย ซึ่งจะได้รับตาม
212nnonnaa φφφφ = L ที่ 1A ≤ ( 4.49 )
212nnonneeaeae = L ( 4.50 )
ใหม่ วนเวียน ฟังก์ชันคลื่นφ NJ ( j = 1 , 2 , 3 . . . . . ) ระบุใน EQS ( 4.49 ) และ ( 4 )50 ) สามารถแสดงในแง่ของการรวมกันของฟังก์ชันเชิงเส้นเพื่อสะดวกφคลื่นวเป็น
0njlljlob φ∞ = = Σ ( 4.51 )
ตอนนี้แทน EQS . ( ราคา ) , ( 4.49 ) และ ( 4 ) อีคิว ( 4.48 ) และการเทียบสัมประสิทธิ์ของ A2 เงื่อนไขทั้งสองด้านของ EQS ( 4.49 ) และ ( 4 ) คนหนึ่งได้
11onnononnnohhee φφφφ′ = 4.52 )
212112onnnonnnnnohheee φφφφ School = ( 4.53 )
ทราบว่าอีคิว ( 452 ) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของเทอมและอีคิว ( 4.53 ) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของ A2 ในระยะ สำหรับความเรียบง่ายที่สามารถตั้งค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น เพื่อแก้ไข en1 คลื่นพลังงาน และฟังก์ชันφ N1 ได้โดยคูณทั้งสองข้างของอีคิว (
4.52 ) โดยเพื่อสะดวกคือฟังก์ชันคลื่น *
โมφและบูรณาการสมการกว่าทั้งปริมาณ
ผลผลผลิต* 3 * 1100moollonomonollonnoll hbhdrebed φφφφφφ∞∞ = = = ⎢⎥⎢⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎢⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣ΣΣ∫∫⎡⎤⎡⎛⎞⎛⎞′ ( 4.54 )
บูรณาการอีคิว ( 4.54 ) ใช้ orthonormality ของฟังก์ชันคลื่นφไม่มีและคุณสมบัติของ hermitian โฮคนหนึ่งได้
( 4.55 ) * 311formmomononombehdrebmn φφ′ = ∫
( 4.56 ) * 31fornnononnehdrhm φφ′′ = = ∫
แก้ EQS ( 4.55 ) และ ( 4.56 ) ผลผลิต
( ) 1formnmnomohbee School = − ( 4.57 )
en1 = 0 = m = n ( 4.58 )
ในอีคิว ( 4.57 ) H ) นั้นเรียกว่าธาตุเมทริกซ์ , และจะถูกกำหนดโดยระยะที่สอง ด้านซ้ายมือของอีคิว ( 4.55 ) ดังนั้น , ใหม่ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนφกับการแก้ไขครั้งแรกโดยใช้ทฤษฎีความยุ่งเหยิงให้
1nnon φφφ =
( ) 0mnmononomommnhee φφ∞ = ≠′ = −Σ ( 4.59 )
ที่เมทริกซ์องค์ประกอบ h'mn , สามารถแสดงโดย
( 460 ) * 3'monomnhdrh = ′∫φφ
ที่ H ' เป็นในใจงั้น Hamiltonian . สมการ ( 4.59 ) สามารถใช้เพื่อหาฟังก์ชันคลื่นของอิเล็กตรอนในผลึก lattice ใช้เป็นระยะ ๆ ( ประมาณ เพื่อที่จะหาที่ถูกที่สุดเพื่อแก้ไขของอิเล็กตรอนพลังงานเนื่องจากการในใจงั้นศักยภาพ H 'มันมักจะจำเป็นเพื่อดำเนินการขยายไปที่สองแก้ไขโดยให้อีคิว ( 4.50 ) เหตุผลที่สองคือการแก้ไขในการคำนวณพลังงานเพราะไม่สบายใจ Hamiltonian H นั้นได้หายไปเมทริกซ์ทแยงมุมองค์ประกอบดังกล่าวว่าเพื่อแก้ไขในพลังงานเท่ากับศูนย์ ( เช่น en1 = 0 )นี้สามารถอธิบายได้ด้วยความจริงที่ว่ากระสับกระส่าย Hamiltonian H นั้นมักจะเป็นฟังก์ชั่นที่แปลกของพิกัด ดังนั้น H นั้นไม่เท่ากับศูนย์ จากอีคิว ( 4.51 ) , กระสับกระส่ายฟังก์ชันคลื่นครั้งแรก - และสอง - การแก้ไขให้
110nllb ตามลำดับ โดยφφ∞ = = Σ ( 4.61 )
220nllb φφ∞ = = Σ ( 4.62 )
ตอนนี้แทน EQS . ( 4.61 ) และ ( 4.62 ) อีคิว ( 453 ) และการใช้กระบวนการเดียวกับที่อธิบายข้างต้นสำหรับแรกแก้ไขฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอน หนึ่ง ได้อันดับที่สอง การพลังงาน ซึ่งเป็น∞ = =
( 220nmnmnomomnheee ≠′−Σ ( 4.63 )
ใช้อีคิว ( 4.63 ) , การแสดงออกสำหรับอิเล็กตรอนพลังงานแก้ไขใบที่สองจะได้รับโดย
( ) 20nmnnomnomomnheeee ∞ = ≠′−Σ ( = 4.64 )
สมการ ( 4.59 ) และ ( 4 )64 ) เป็นฟังก์ชันใหม่คลื่นและพลังงานของอิเล็กตรอนที่ได้จากสมการควอนตัมเชิงกล ) ทฤษฎี ผลลัพธ์อาจจะถูกใช้ในการศึกษาการประมาณค่าเพื่อหาฟังก์ชันคลื่นและพลังงานของอิเล็กตรอนชั้นนอกของผลึกของแข็ง ตามที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ อิเล็กตรอนในสารกึ่งตัวนำจะหลวมๆผูกไว้กับอะตอมและด้วยเหตุนี้อาจเกิดขึ้นเป็นระยะ ๆโดยอิเล็กตรอนเวเลนซ์เห็นคริสตัลเหล่านี้สามารถจะถือว่าเป็นขนาดเล็กในใจงั้น Hamiltonian . อิเล็กตรอนหนึ่งเพื่อสะดวกในสมการของชเรอดิงเงอร์ถูกอธิบายโดย
222() ( ) ooookkkmrer −∇ = φφ H ( 4.65 )
ซึ่งมีโซลูชั่นของฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนอิสระและพลังให้ตามลำดับโดย
1() okikrrnve φ⋅ = ( 4.66 )
222okokem = H ( 4.67 )โดยที่ n คือจำนวนเซลล์ในหน่วยคริสตัล , V คือปริมาตรของหน่วยเซลล์ โอเคφ ( R ) เป็นอิเล็กตรอนอิสระฟังก์ชันคลื่นและพลังงานของอิเล็กตรอนอิสระ ก่อนชี้แจงปัจจัยให้อีคิว ( 4.66 ) คือ ความคงที่ หนึ่งอิเล็กตรอนสมการของชเรอดิงเงอร์ในการแสดงศักยภาพคริสตัลเป็นระยะ v ( R ) ที่ได้รับจากวง
( 22 * ( ) ( ) ( ) 2kkkrvrrerm ⎛⎞−∇⎜⎟⎜⎟⎝⎠φφ H ( = 4.68 )
การแปล กรุณารอสักครู่..
ภาษาอื่น ๆ
การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.
- รุปภาพ
- which has direct implications for improv
- certain
- เพราะฉันต้องการให้คุณเกลียดฉันอยู่แล้ว
- we had the freshmenhellweeks last 2 week
- รู้สึกเหงากับการนอนคนเดียว
- The problems of people of all ages
- ปวดหลัง
- architect
- เขากินต้มยำร้อนาก
- Sequence
- Solve the problem of waste water reduce
- Statistics
- Deli
- ถ้าเจนไม่ได้มาคุณจะให้ฉันมาหรือเปล่า
- คุณพักแถวนี้
- Conclusion: Both the indoor FA concentra
- เพราะชีวิตของฉันไม่ได้ราบรื่นเหมือนใครหล
- ลูกค้าค่อนข้างเยอะ
- ดำเนินงาน
- if the patient needs surgery, the doctor
- วันที่ 5 พฤษภาคม
- 40 วิธีลดภาวะโลกร้อน1. ถอดปลั๊กไฟฟ้าทุกค
- Conclusion: Both the indoor FA concentra
