BULL. AUSTRAL. MATH. SOC. I6A76VOL.

BULL. AUSTRAL. MATH. SOC. I6A76
VOL. 9 (1973), 33-42.
Embedding near domains
J.A. Graves and J.J. Malone
A class of near rings which generalizes the class of integral
domains is defined. The definition of near domain is derived
from the desirability of embedding near domains in near fields.
The near domains presented here are shown to contain the D-rings
of Berman and Siverman.
1. Near domains
We take integral domain to mean a commutative ring having no divisors
of zero. Near rings with no zero divisors have been considered by Ligh and
Malone [8], Clay [3] and Ferrero [4]. Ligh and Malone studied the
properties of finite near rings having in one case no zero divisors and in
another a finite number of zero divisors . Their work was not an attempt to
generalize the concept of integral domain. Clay [3] called a near ring
without divisors of zero a near integral domain but as he stated his
definition was for the want of a better name. The main object of his note
was the statement of the conjecture that, except for certain trivial cases,
such a system having finite characteristic must have prime characteristic.
This conjecture was later disproved by Ferrero [4]. Thus the absence of
zero divisors does not enhance the structure of a near ring to the extent
one might expect.
THEOREM 1.1. Let R be a near ring satisfying the right
canoe I la tion law.
(i) For all a £ R , Oa = aO = 0 .
(ii) R has no (proper) zero divisors,
(iii) The left cancellation law holds in R .
Received 12 February 1973-
33
34 J.A. Graves and J . J . Ma I one
Proof. If a # 0 and Oa = b * 0 , then b = bb or Ob = Obb so
that 0 = Ob and 0 = Ocz . If ab = 0 , b t 0 , then ab = Ob and
a = 0 . If ab = aa , a t 0 , then a(fc-e) = 0 and b = a . //
Ore has shown in [7 2] that, given a non-commutative ring having no
proper divisors of zero, a necessary and sufficient condition for the ring
to have a constructible division ring of quotients is that each pair of
non-zero elements has a left (or right) common multiple.
DEFINITION 1.2. A near ring' R is said to satisfy the left (right)
Ore condition if for all a t 0 , H 0 ( S , there exist s t 0 ,
t # 0 € R such that sa = tb (as = bt) .
DEFINITION 1.3. A (left) near domain is a (left) near ring D
satisfying the left Ore condition and the right cancellation law.
The usual proof that a finite integral domain is a field depends,
essentially, only on right cancellation and may be used to establish:
THEOREM 1.4. If R is a finite near ring for which the right
cancellation law holds* then R is a near field.
It can be shown that finite cannot be omitted from the hypothesis of
Theorem l.U. Let G be an additively written free group on two generators
x and y and for each non-negative integer n define T : G •*• G by
h(x, y)T = h{nx, ny) , for a l l h(x, y) € G . Let R be the near ring
generated additively by the T . McQuarrie [9] shows that R is a
distributively generated near ring with identity and Graves [5] shows that
R has the right cancellation property but satisfies neither the right nor
the left Ore condition.
By Theorem l.U, right cancellation implies the left Ore condition
(when R is finite). The near ring given as 2.5, 26) in [2] shows that
the converse does not hold.
THEOREM . 1 . 5 . A near domain R satisfying the descending chain
condition on principal R-subgroups is a near field.
Proof. Li gh [7] has shown that a near ring satisfying the descending
chain condition on principal i?-subgroups and having no zero divisors must
contain a left identity and moreover, if the left identity is unique, then
if is a near field. We have shown right cancellation implies no zero
Embedding near domains 35
divisors. Hence an application of Ligh's result yields e € R such that
er = r , for all r (. R . If a * 0 € i? , we have for each x € R ,
xea = xa which implies xe = x . Hence e is the unique identity and, by
Ligh's result, R is a near field. //
2. Near rings of quotients
In this section we show that a near domain may be embedded in a near
field and deduce some of the consequences of this embedding. Maxson [ H ]
has defined near rings of quotients and stated conditions for a near ring
to have a near ring of quotients. We generalize to the case of near rings
of quotients with respect to a multiplicative set.
DEFINITION 2.1. Let R be a near ring and S a multiplicative set
in fl . We say R satisfies the left Ore condition with respect to S if
for each (s, r) € S x R there exists (s., r ) € S x R such that
s.r = r s .
DEFINITION 2.2. Let S be a multiplicative set in a near ring R .
A near ring R^ is called a near ring of left quotients of R with
respect to S if
( i ) Rg has an identity 1 ,
( i i ) there exists an embedding (monomorphism) $ : R "* RQ ,
( i i i ) for each s (. S , $(s) is a unit in Rg ,
(iv) every q t R^ can be expressed as q = [4>(s)]~ [^Cr)] ,
{8, r) € S x R .
THEOREM 2.3. Let S t P be a multiplicative set of (both left and
right) cancellable elements in a (left) near ring R . Then a near ring of
left quotients of R with respect to S exists if and only if R
satisfies the left Ore condition with respect to S .
Proof. Suppose Ro ' exists. Then by the definition of Rc there
exists $ : R •* Rs embedding R into Rs . For each (s, r) € S x R ,
the product [$(r) ][$(s) ]~ in Rs is expressible as
36 J.A. Graves and J .J . Malone
[•(rOn-Ms)]"1 = [*(s1)]~1[*(r1)] , for some [a^ rj I S * R . But then
[$(s )] [*(r)] = [$(r ) ] [ * ( s ) ] implies s r = r s since $ is a monomorphism.
To show the converse we construct R = 0 , for if v € R , $(r) = er/e = 0/e - eO/e implies
er = eO and so r = 0 . Thus 4> is a monomorphism embedding i? into
*5 •
For all s (. S , $(

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

วัว โทน นี้ คณิตศาสตร์ SOC. I6A76ฉบับ 9 (1973), 33-42ฝังใกล้กับโดเมนเจเอสุสานและ J.J. มาโลนชั้นใกล้วงแหวนซึ่ง generalizes ชั้นตั้งมีกำหนดโดเมน ความหมายของโดเมนที่ใกล้จะมาจากปรารถนาของการฝังใกล้กับโดเมนในเขตใกล้แสดงโดเมนใกล้แสดงนี่มี D-วงแหวนของ Berman และ Siverman1 โดเมนใกล้เราจะตั้งให้แหวนสลับมีหารไม่มีความหมาย โดเมนศูนย์ การพิจารณา โดยแแหวนใกล้กับหารไม่เป็นศูนย์ และมาโลน [8], ดิน [3] และรอ [4] แและมาโลนศึกษาการคุณสมบัติของมีจำกัด ใกล้วงแหวนที่มีในกรณีหนึ่งหารไม่เป็นศูนย์ และในอีกศูนย์หารจำนวนจำกัด การทำงานไม่ใช่ความพยายามทั่วไปแนวคิดของโดเมนที่ตั้ง เรียกว่าวงแหวนใกล้ดิน [3]โดยไม่ต้องหารศูนย์โดตั้งใกล้แต่ตามเขาของเขานิยามได้สำหรับต้องชื่อดีกว่า วัตถุประสงค์หลักของหมายเหตุของเขาเป็นคำสั่งของข้อความคาดการณ์นั้น ยกเว้นบางกรณีเล็ก ๆ น้อย ๆระบบดังกล่าวมีลักษณะที่แน่นอนต้องมีลักษณะสำคัญข้อความคาดการณ์นี้ถูกภายหลังดำรง โดยรอ [4] ดังนั้นการขาดงานของศูนย์หารเสริมโครงสร้างของวงแหวนใกล้ขอบเขตหนึ่งอาจคาดหวังทฤษฎีบทที่ 1.1 ให้ R เป็นแหวนใกล้ตรงด้านขวาพายเรือแคนูฉันลากฎหมายทางการค้า(i) สำหรับทั้งหมด£ R, Oa =อ่าว = 0(ii) R (เฉพาะ) ไม่มีศูนย์หาร(iii) กฎหมายยกเลิกซ้ายถือใน Rได้รับ 12 1973 กุมภาพันธ์-33หลุมฝังศพของเจเอ 34 และ J เจ Ma ผมหนึ่งหลักฐาน ถ้า#0 และ Oa = b * 0 แล้ว b =บีบีหรือ Ob = Obb ดังนั้นที่ 0 = Ob และ 0 = Ocz ถ้า ab = 0, b t 0 แล้ว ab = Ob และมี = 0 ถ้า ab = aa, t 0 แล้ว a(fc-e) = 0 และ b =การ //แร่ได้แสดงใน [7 2] ว่า ให้แหวนไม่สลับมีไม่มีหารที่เหมาะสมของศูนย์ เงื่อนไขจำเป็น และเพียงพอสำหรับวงแหวนมีแหวนแผนกสร้างได้ของ quotients ว่าแต่ละคู่องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์มีหลายทั่วไปไปทางซ้าย (หรือขวา)นิยาม 1.2 วงแหวนใกล้ ' R กล่าวว่า ความพึงพอใจด้านซ้าย (ขวา)แร่ เงื่อนไขถ้าสำหรับ t ทั้งหมดเป็น 0, H 0 (S มี s t 0t #0 เช่น R € sa ที่ = tb (ตาม =บาท)นิยาม 1.3 (ซ้าย) ใกล้กับโดเมนคือ (ซ้าย) ใกล้วงแหวน Dความพึงพอใจสภาพแร่ซ้ายและขวาการยกเลิกกฎหมายขึ้นอยู่กับหลักฐานปกติโดเมนตั้งจำกัดเขตหลัก เฉพาะบนขวาเลิก และอาจถูกใช้เพื่อสร้าง:ทฤษฎีบทที่ 1.4 ถ้า R มีจำกัดใกล้วงแหวนที่ด้านขวาการยกเลิกกฎหมายถือ * แล้ว R คือ เขตที่ใกล้สามารถแสดงจำกัดที่ไม่สามารถตัดออกจากสมมติฐานของทฤษฎีบท l.U. ให้ G เป็นกลุ่มฟรีการเขียนตรงบนทั้งสองx และ y และกำหนดสำหรับแต่ละจำนวนเต็มไม่เป็นลบ n T: G • * • G โดยh (x, y) T = h { nx, ny), สำหรับการ l l h (x, y) € G ให้ R เป็นวงแหวนใกล้สร้างขึ้นตรง โดย T McQuarrie [9] แสดงว่า R มีdistributively สร้างใกล้วงแหวนที่มีตัวตน และหลุมฝังศพ [5] แสดงให้เห็นว่าR มีคุณสมบัติขวายก แต่ขวาไม่ตอบสนอง หรือสภาพแร่ซ้ายโดยทฤษฎีบท l.U ขวายกหมายถึงแร่สภาพซ้าย(เมื่อ R คือมีจำกัด) วงแหวนใกล้เป็น 2.5, 26) [2] แสดงที่สนทนาไม่ได้ถือทฤษฎีบท 1 5 โดเมนใกล้ R พอโซ่เรียงเงื่อนไขในหลัก R-กลุ่มเป็นเขตใกล้หลักฐาน Li gh [7] ได้แสดงที่วงแหวนใกล้พอที่จากมากไปน้อยเชนเงื่อนไขหลักที่ฉันหรือไม่-กลุ่มย่อยและมีหารไม่เป็นศูนย์ประกอบด้วยตัวซ้าย และนอกจาก นี้ ถ้าตัวซ้ายไม่ซ้ำกัน แล้วถ้าเป็นเขตใกล้ เราได้แสดงขวายกเลิกหมายถึงการไม่มีศูนย์ฝังใกล้โดเมน 35หาร ดังนั้น การประยุกต์ผลของแผลผลิต e € R ซึ่งเอ้อ = r, r ทั้งหมด ( R ถ้ามี * 0 € ฉัน ต้องการสำหรับแต่ละ x € Rxea = xa ถึง xe = x ดังนั้น e เป็นเอกลักษณ์เฉพาะ และ โดยผลของแ R คือ เขตที่ใกล้ //2. ใกล้วงแหวน quotientsในส่วนนี้ เราแสดงว่า โดเมนที่ใกล้อยู่ในใกล้ฟิลด์ และ deduce บางส่วนของผลกระทบของการนี้ฝัง Maxson [H]มีกำหนดใกล้วงแหวนของ quotients และระบุเงื่อนไขสำหรับแหวนใกล้มีของ quotients แหวนใกล้ เราทั่วไปตัวเรือนของแหวนใกล้ของ quotients เกี่ยวกับชุดคูณนิยาม 2.1 ให้ R เป็นแหวนใกล้และ S ชุดคูณในชั้น เราบอกว่า R ตรงสภาพแร่ซ้ายเกี่ยวกับ S ถ้าสำหรับแต่ละ (s, r) € S x R มีอยู่ (s., r) € S x R ซึ่งs.r = r sนิยาม 2.2 ให้ S เป็นชุดคูณในแหวนใกล้ Rใกล้วงแหวน R ^ เรียกว่าวงแหวนใกล้ของ quotients ซ้ายของอาร์เคารพ S ถ้า(i) Rg มีรหัสประจำตัว 1(ฉันฉัน) มี$ (monomorphism) การฝัง: R " * แป้น rq อดีต(ฉันฉันฉัน) สำหรับแต่ละ s ( S, $(s) เป็นหน่วยใน Rg(iv) ทุก t q R ^ แสดงเป็น q = [4 > (s)] ~ [^Cr)],{8, r) € S x Rทฤษฎีบทที่ 2.3 ให้ S t P สามารถตั้งคูณของ (ทั้งด้านซ้าย และชิ้น (ซ้าย) ใกล้วงแหวน R ขวา) แล้วใกล้ของแหวนquotients ซ้ายของ R กับ S อยู่ และถ้า Rตอบสนองสภาพแร่ซ้ายเกี่ยวกับ Sหลักฐาน สมมติว่า Ro ' ที่มีอยู่ แล้วตามนิยามของ Rc มีมี$: R • * Rs ฝัง R ไป Rs สำหรับแต่ละ (s, r) € S x Rผลิตภัณฑ์ [$(r)] [$] ~ อาร์เอสคือ expressible เป็นหลุมฝังศพของเจเอ 36 และ J เจ มาโลน[•(rOn-Ms)] " 1 = [* (s1)]~1[*(r1)], สำหรับบาง [การ ^ rj ฉัน S * R แต่แล้ว[$(s )] [* (r)] = [$(r)] [* (s)] หมายถึง s r = r s $เป็น การ monomorphismแสดงการสนทนาเราสร้าง R < โดยการกำหนดตัวเทียบเท่าความสัมพันธ์ " V1 บน S * R และไบนารีการดำเนินการเพิ่มและการคูณoo ชุดของคลาสที่สมมูล (S * / ?) /^ . ในการพิสูจน์ส่วนหนึ่งของการทฤษฎีบท มีรายละเอียดมากมายการจะตรวจสอบและไม่ใช่ทั้งหมดเหล่านี้ดำเนินการตรวจสอบจะได้รับ อย่างไรก็ตาม หลายภาพต่าง ๆ ทั่วไปจะนำเสนอเทคนิคของหลักฐานถ้า [a, x), (d, y) t S * R ที่เรากำหนด (c, x) ^ {d, y) ถ้ามีอยู่ (s, r) € S x R ที่ให้ = rd หมายถึง sx =ลี่ บริการที่แม้ว่า r จะไม่มีใน S ดังนั้น = rd ที่ s แบบและ dองค์ประกอบของ S หมายถึงการผลิตภัณฑ์ rd £ S และกองกำลังของ r เป็น จากคำจำกัดความ สามารถตั้งข้อสังเกตว่า ถ้า(e, x) ^ { y d ), แล้วสำหรับทุก [^, ไข้หวัดใหญ่) € R x R มี =โฆษณาหมายถึงตั้งแต่ความสัมพันธ์ ^ เป็นความสัมพันธ์สมมูล เราสามารถพิจารณาการชุดของคลาสที่สมมูล (Sxi) / ^ = S R ที่เราแสดงระดับชั้นประกอบด้วย (a, x) ด้วย x/a และเป็นไปตามภาคเรียนx/a = y/d และถ้า {a, x) ^ (d, y)กำหนด + (บวก) Rs โดย x/a + y/d = {sx+ry)/sc = (sx + ลี่) /rdที่ (e, r) 5 ยูโร x R ตรงนั้น = rd 6 Sเราสังเกตคำจำกัดความเป็นอิสระของตัวเลือก (s, r) โดยสมมติ (s, rO ตรง s.e = r.d และแสดงให้เห็นว่า[s x+r y)/s1a = (sx + ลี่) /ea คือ, [s ^ o, s ^ r ^) ^ (se, sx + ลี่) ปล่อยให้(s_, r_) เป็นดังกล่าวที่ sos ° ~ rp8 c " T n e n S2s ฉัน = r2S s d n ผม n c e8 o = r ^ d, = rd ดังนั้น เรามี s ^ r d = s2s / c = r2s c = r2r ^ ซึ่งหมายถึงs2rx = r2r ดังนั้น s ^ ^ ^ ^ ^ ^ 2 2กล่าวคืออยู่อาจเทียบเท่าที่จำเป็นตอนนี้ นอกจากนี้ยังได้กำหนดไว้ในความรู้สึกของการเป็นอิสระของฝังใกล้โดเมน 37เลือกตัวแทนสำหรับการเรียนเทียบเท่า ให้เช่า(c, x) " * > (e 1, x ') d n (d, y) ^ ฉัน d ', y ') เรา s h o wx / o + y / d = x ' / e ' + y 'ฉันจะ d' b y c h o o s ฉัน g n (s, r) n d (s 1, r ') s u c h t h tดังนั้น = rd และ s'c' = r มี ' เขียน x/a + y/d = {sx+ry) /so = (sx + ลี่) /rdและ s'/ e1 + y' Id' ('x' s + r 'y') = a/s '.' = (s'x'+ r 'y') / r จะ ' จากนั้น ค้นหา(s ^, r.) ที่ s ^ c = r.s'c' = s rd = r r จะ ' ไหน s sx = r s'x'และ s.ry = r ^ 'y' เพื่อให้เรามี s (sx + iy) = r (r + s 'i' ' ฉัน / ') ซึ่งผลผลิต (se, sx + ลี่) ^ (s'e1, s'x '+ r' j /')ใด ๆ e Z S, 0/e เป็น identity ขวาสารเติมแต่งสำหรับ / ? " และ-x c เป็น ตัวผกผันการบวกเหมาะสมสำหรับ x / o €ฉัน? cนอกจากนี้สามารถแสดงเป็นเชื่อมโยง เราตอนนี้มี (/ ? e > + Jเป็นกลุ่ม และ เนื่องจากในระถูกกำหนดในแง่ของการเพิ่มของ R, [Rs, +) จะเป็นถ้า และถ้า (ฉันหรือไม่, +) จะเป็นให้ x / o, f £ y/d ? <, กำหนด• (การคูณ) R ~ โดยx / c • y/d =ลี่ให้ (s, r) £ S x ฉัน ตรงเช่น = rdการคูณนี้เป็นอิสระจากการเลือก (s, r) และยังเลือกตัวแทนของความอิสระห้องเรียนสำหรับ e ใด ๆ £ S, e/e = 1 € ? _ตอนนี้ คูณเป็นเชื่อมโยง สำหรับให้ x / c, y/d, z/e €ฉัน? < และคำนวณ { x/o'y/d) • z/e =•ลี่ให้ z/e = r.z/s ดังนั้นที่ sx = rd และs ^ ลี่ =อีกครั้ง ยัง x / o • (y/d'z/e) = x / c • r ^ z/s ^ = rj- ^ z/s.o ที่Spjy = r-e และ s.x = r -> s2d ดูผลิตภัณฑ์เหล่านี้เท่ากับเราค้นหา (s ^, r ^) ที่ s^s.so = r s a ไหน Bis ^ s = rltr > 3 n d 'ใช้ equalities ข้าง s, s ^ rd = e, s ศรี = * s_x = r, r s d ซึ่งหมายถึง su S l r = r ^ r ^ เพิ่มเติม s ^ e = s ^ s ^ = r ^ 8 ^ = rl * r3r2eซึ่งหมายถึง s ^ r. = r, r r ~ ดังนั้น s, r s = r, r r 2 ที่บอกว่า ที่ต้องการมีความเสมอภาคหลุมฝังศพของเจเอ 38 และ J เจ Ma ผมหนึ่งความจริงที่เหลือแจกแจงการคูณมากกว่านี้ใน Roต่อจากคุณสมบัติการแจกแจงด้านซ้ายใน Rจุดนี้ เราได้แสดง (/ ? ", +, •} เป็นซ้ายใกล้วงแหวนด้วยรหัสประจำตัว แสดง Rc เป็นแหวนใกล้ของ quotients ซ้ายของอาร์เคารพ S ต้องตรวจเหลือสามการกำหนดคุณสมบัติของการวงแหวนที่ใกล้ของ quotients ด้านซ้าย: R •* Rg be defined by r •* er/e where 3 6 S . Then * is'>: R •* Rg be defined by r •* er/e where 3 6 S . '>ให้: R • * Rg กำหนด โดย r • * เอ้อ/e 3 6 S แล้ว * เป็นกำหนดไว้อย่างดีเพราะ เอ้อ/e = dv/d สำหรับ e ทั้งหมด d £ S สำหรับ r, r € R§ [r-J + *(r2) = ev- ^ l & + er2/e = [er^er) le = e [r + r ^ เลอ = $(r + r) และ^(r^) • $(r " 2J =เอ้อ. / e •เอ้อ ^ เลอ = rerJse = ser r /se =เอ้อ ^ cje = $(r r2)ที่ (s, r) เป็น ser =อีกครั้ง ดังนั้น$เป็น morphism มีวงแหวนใกล้เพิ่มเติม เคอร์เนล 4 > = 0 ถ้า v € R, $(r) = เอ้อ/e = 0/e - eO/e หมายถึงเอ้อ = eO และดังนั้น r = 0 ดังนั้น 4 > มี monomorphism ฝังฉัน ลงใน* 5 •สำหรับ s ทั้งหมด ( S , $(