In apreviouspaper [1] two ofthepres

In apreviouspaper [1] two ofthepresentauthorsconsidered
in detailthemechanicsofasuperballbouncingbackandforthon
a roughhorizontalplane.Reversalsindirectioninthehorizontal
motion oftheballresultfromtheapplicationofatangentiallaw
of restitutionatthepointofimpactoftheballandtheplane.This
concept wasfirstintroducedbyGarwin [2] who usedatangential
coefficient ofrestitutionofone,whichisnotphysicallyrealistic.
Garwin’s modelwasmodifiedbyCross [3] who employeda
tangential coefficientofrestitution a satisfying 0oao1, withthe
horizontal velocityofthepointofimpactoftheballbeing
reversed andreducedinmagnitudebyafactorof a in theimpact.
Further detailsofthephysicsofthismodelaregivenin [1],
together withreferencestoothertheoreticalandexperimental
work.
All whohaveexperimentedwithasuperballwillhaveat
sometime bouncedtheballonthefloor,followedbyabounceona
vertical wall.Ifthebounceonthewalloccurswhiletheballisstill
rising, itgivestheballsomebackspin,sothatthedirectionof
motion isreversedatthenextbounceonthefloorresultinginthe
ball hittingthewallasecondtime.Withpractice,theballcanbe
made tobouncebetweenthefloorandwallseveraltimes.Such
motion isillustratedintheanimationsinFigs.2,3,5,and11.Itis
our purposetogiveatheoreticalinvestigationofsuchmotions
and thenon-linearmappingswhichtheyengender.Tothisendwe
establish inSection2thebasicequationsgoverningthemodel.
Essentially, eachjourneyoftheballfromfloortowalltofloor,
assumed totakeplaceinthesameverticalplane,comprisesfour
events: (i)afterlaunchfromthefloortheballpursuesaparabolic
trajectory untilithitsthewall,(ii)thereboundfromthewall,
(iii) theparabolictrajectoryofthereturnjourneytothefloorand
(iv) theimpactwiththefloorwhichprovidesthelaunchdatafor
the nextexcursionoftheball.Theresultofthisanalysisisthe
derivation ofanon-linearmappingwhichrelatesthefloorlaunch
data (linearandangularvelocitycomponentsoftheballand
distance fromthewall)tothesameparametersafterthenext
bounce onthefloor.
In Section3somenumericaltrajectoriesofthenon-linear
mapping arecomputedandexamplesgivenofmotionswith
various numbersoffloortowallbounces.Alsoillustratedarethe
parameter spacesofinitialconditionsrequiredtoproducevarious
numbers ofbouncesoffthewall.InSection4ascalinginvariance
is introducedwhichrewritesthenon-linearmapofSection2in
terms ofsuitablecanonicalcoordinates.Thisresultsinathree-
dimensional non-linearmap,areductionindimensionbyone
from theoriginalsystem.
Section 5presentssomenumericalresultsfortheregionsof
initial conditionswhichwillresultinagivennumberofbounces
against thewallinthecanonicalvariables,analogoustothoseof
Section 3fortheoriginalvariables.Thenexttwosectionsofthe
work analysethesenumericalresultsinsomedetail,focussingon
the behaviourofthemappingontwoplaneswhichcomprise
boundaries oftheregionofinterest.Thepaperconcludesby
proposing anumberoffurtherquestionsrelatedtotheproblem.
Before continuingtoouranalysisoftheproblemwehavejust
described, wenotethattherearelimitationstothemodelofthe
bounce ofthesuperballthatweuse.Itisrecognisedthatthe
Contents listsavailableat ScienceDirect
journalhomepage: www.elsevier.com/locate/nlm
InternationalJournalofNon-LinearMechanics
0020-7462/$ -seefrontmatter & 2010 ElsevierLtd.Allrightsreserved.
doi:10.1016/j.ijnonlinmec.2010.09.002
 Corresponding author.Tel.:[phone];fax:[phone].
E-mail address: [e-mail] (P.J.Aston).
International JournalofNon-LinearMechanics46(2011)204–221

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ใน ofthepresentauthorsconsidered 2 apreviouspaper [1]ใน detailthemechanicsofasuperballbouncingbackandforthonroughhorizontalplane Reversalsindirectioninthehorizontaloftheballresultfromtheapplicationofatangentiallaw เคลื่อนไหวของ restitutionatthepointofimpactoftheballandtheplane นี้แนวคิด wasfirstintroducedbyGarwin [2] ที่ usedatangentialสัมประสิทธิ์ ofrestitutionofone, whichisnotphysicallyrealisticModelwasmodifiedbyCross ของ Garwin [3] ที่ employedacoefficientofrestitution tangential 0oao1 ความพึงพอใจ มีการvelocityofthepointofimpactoftheballbeing แนวนอนกลับ andreducedinmagnitudebyafactorof theimpact ในเพิ่มเติม detailsofthephysicsofthismodelaregivenin [1],withreferencestoothertheoreticalandexperimental กันทำงานWhohaveexperimentedwithasuperballwillhaveat ทั้งหมดsometime bouncedtheballonthefloor, followedbyabounceonaผนังแนวตั้ง Ifthebounceonthewalloccurswhiletheballisstillเพิ่มขึ้น itgivestheballsomebackspin, sothatthedirectionofisreversedatthenextbounceonthefloorresultinginthe เคลื่อนไหวลูก hittingthewallasecondtime Withpractice, theballcanbeทำ tobouncebetweenthefloorandwallseveraltimes ดังกล่าวisillustratedintheanimationsinFigs.2,3,5,and11 เคลื่อนไหว Itispurposetogiveatheoreticalinvestigationofsuchmotions ของเราและ thenon linearmappingswhichtheyengender Tothisendweสร้าง inSection2thebasicequationsgoverningthemodelหลัก eachjourneyoftheballfromfloortowalltofloorสันนิษฐาน totakeplaceinthesameverticalplane, comprisesfourเหตุการณ์: (i) afterlaunchfromthefloortheballpursuesaparabolicวิถี untilithitsthewall, thereboundfromthewall (ii)(iii) theparabolictrajectoryofthereturnjourneytothefloorand(iv) theimpactwiththefloorwhichprovidesthelaunchdatafornextexcursionoftheball Theresultofthisanalysisistheมา ofanon-linearmappingwhichrelatesthefloorlaunchข้อมูล (linearandangularvelocitycomponentsoftheballandtothesameparametersafterthenext fromthewall ระยะห่าง)ตีกลับ onthefloorใน Section3somenumericaltrajectoriesofthenon เชิงการแม็ป arecomputedandexamplesgivenofmotionswithnumbersoffloortowallbounces ต่าง ๆ Alsoillustratedaretheพารามิเตอร์ spacesofinitialconditionsrequiredtoproducevariousหมายเลข ofbouncesoffthewall InSection4ascalinginvarianceเป็น introducedwhichrewritesthenon-linearmapofSection2inofsuitablecanonicalcoordinates เงื่อนไขการ Thisresultsinathree-มิติไม่ใช่-linearmap, areductionindimensionbyoneจาก theoriginalsystemส่วน 5presentssomenumericalresultsfortheregionsofconditionswhichwillresultinagivennumberofbounces เริ่มต้นต่อ thewallinthecanonicalvariables, analogoustothoseofส่วน 3fortheoriginalvariables Thenexttwosectionsoftheงาน analysethesenumericalresultsinsomedetail, focussingonbehaviourofthemappingontwoplaneswhichcompriseขอบ oftheregionofinterest Thepaperconcludesbyเสนอ anumberoffurtherquestionsrelatedtotheproblemก่อนที่จะ continuingtoouranalysisoftheproblemwehavejustอธิบาย wenotethattherearelimitationstothemodeloftheตีกลับ ofthesuperballthatweuse Itisrecognisedthattheเนื้อหา listsavailableat ScienceDirectjournalhomepage: www.elsevier.com/locate/nlmInternationalJournalofNon-LinearMechanics0020-7462 / $ - seefrontmatter และ 2010 ElsevierLtd.Allrightsreserveddoi:10.1016/j.ijnonlinmec.2010.09.002Author.Tel.:[phone];fax:[phone] ที่เกี่ยวข้องที่อยู่อีเมล: (P.J.Aston) ใน [e-mail]นานาชาติ JournalofNon-LinearMechanics46 (2011) 204-221

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ใน apreviouspaper [1] สอง ofthepresentauthorsconsidered
ใน detailthemechanicsofasuperballbouncingbackandforthon
roughhorizontalplane.Reversalsindirectioninthehorizontal
เคลื่อนไหว oftheballresultfromtheapplicationofatangentiallaw
ของ restitutionatthepointofimpactoftheballandtheplane.This
แนวคิด wasfirstintroducedbyGarwin [2] ที่ usedatangential
ofrestitutionofone ค่าสัมประสิทธิ์ whichisnotphysicallyrealistic.
modelwasmodifiedbyCross Garwin ของ [3] ที่ employeda
coefficientofrestitution วง 0oao1 พอใจ withthe
velocityofthepointofimpactoftheballbeing แนวนอนกลับ andreducedinmagnitudebyafactorof ในอันเนื่อง. เพิ่มเติม detailsofthephysicsofthismodelaregivenin [1], ร่วมกัน withreferencestoothertheoreticalandexperimental ทำงาน. ทั้งหมด whohaveexperimentedwithasuperballwillhaveat บางครั้ง bouncedtheballonthefloor, followedbyabounceona wall.Ifthebounceonthewalloccurswhiletheballisstill แนวตั้งที่เพิ่มขึ้นitgivestheballsomebackspin, sothatthedirectionof เคลื่อนไหว isreversedatthenextbounceonthefloorresultinginthe ลูก hittingthewallasecondtime.Withpractice, theballcanbe ทำ tobouncebetweenthefloorandwallseveraltimes.Such เคลื่อนไหว isillustratedintheanimationsinFigs.2,3,5, and11 .Itis purposetogiveatheoreticalinvestigationofsuchmotions ของเราและthenon-linearmappingswhichtheyengender.Tothisendwe สร้าง inSection2thebasicequationsgoverningthemodel. หลัก eachjourneyoftheballfromfloortowalltofloor, สันนิษฐาน totakeplaceinthesameverticalplane, comprisesfour เหตุการณ์: (i) afterlaunchfromthefloortheballpursuesaparabolic วิถี untilithitsthewall (ii) thereboundfromthewall, (iii) theparabolictrajectoryofthereturnjourneytothefloorand (iv) theimpactwiththefloorwhichprovidesthelaunchdatafor nextexcursionoftheball.Theresultofthisanalysisisthe มา ofanon- linearmappingwhichrelatesthefloorlaunch ข้อมูล (linearandangularvelocitycomponentsoftheballand fromthewall ระยะทาง) tothesameparametersafterthenext ตีกลับ onthefloor. ใน Section3somenumericaltrajectoriesofthenon เชิงเส้นการทำแผนที่arecomputedandexamplesgivenofmotionswith numbersoffloortowallbounces.Alsoillustratedarethe ต่างๆพารามิเตอร์spacesofinitialconditionsrequiredtoproducevarious ตัวเลข ofbouncesoffthewall.InSection4ascalinginvariance เป็น introducedwhichrewritesthenon-linearmapofSection2in แง่ ofsuitablecanonicalcoordinates.Thisresultsinathree- มิติที่ไม่ linearmap, areductionindimensionbyone จาก theoriginalsystem. มาตรา 5presentssomenumericalresultsfortheregionsof conditionswhichwillresultinagivennumberofbounces เริ่มต้นกับthewallinthecanonicalvariables, analogoustothoseof มาตรา 3fortheoriginalvariables.Thenexttwosectionsofthe ทำงาน analysethesenumericalresultsinsomedetail, focussingon behaviourofthemappingontwoplaneswhichcomprise ขอบเขต oftheregionofinterest.Thepaperconcludesby. เสนอ anumberoffurtherquestionsrelatedtotheproblem ก่อน continuingtoouranalysisoftheproblemwehavejust อธิบาย wenotethattherearelimitationstothemodelofthe ตีกลับ ofthesuperballthatweuse.Itisrecognisedthatthe สารบัญ listsavailableat ScienceDirect journalhomepage: www.elsevier.com/locate/nlm InternationalJournalofNon-LinearMechanics 0020-7462 / $ 2,010 และ -seefrontmatter ElsevierLtd.Allrightsreserved. ดอย: 10.1016 / j.ijnonlinmec.2010.09.002? สอดคล้อง author.Tel: + 441483682631; แฟกซ์:.. [phone] ที่อยู่ E-mail: [e-mail] (PJAston). นานาชาติ JournalofNon-LinearMechanics46 (2011) 204-221