Fact 1: We begin by showing that x

Fact 1: We begin by showing that x is the largest of the four numbers x, y, w, z.
Since x – y = w + z, we can add y to both sides of the equation to get, x = w + z + y. Thus x is the largest of the numbers.
Also, using the given statement xy = wz, we know x is the largest so, x > w and x > z. Suppose that y is greater or equal to z. Since x > w, then xy > wz, which is a contradiction as xy = wz. Thus y < z. Now assume y is greater or equal to w. Since x > z, then xy > wz, which is a contradiction as xy = wz. Thus y < w. Hence y is the smallest.
Fact 2: We now have to show x/d = w/e.
Let d = gcd(x,z) and e = gcd(w,y). Since d = gcd(x,z) and e = gcd(w,y) there exist integers l, p, k, m such that dl = x, dp =z, ek = w, and em = y. We want to show that x/d = w/e. As xy = wz, we see x = wz/y. Since x is a natural number, y has to divide wz. If y divides w then e = gcd (w,y) = y. Thus, x = wz/y and x = kz. Since k is an integer, z divides x. Hence d = gcd (x,z) = z. Thus xy = wz, implies x/z = w/y. Since y = e and z = d, we have shown x/d = w/e. This completes the proof in this case.
If y does not divide w, then y divides wz. Since w and y have a greatest common divisor of e, we know x = wz/y = kz/m, and m divides z because x is an integer. So there exists an integer t such that z = tm and x = kt. Thus t divides x and z. Since d = gcd(x,z) and t divides both x and z, t divides d. We also know x = wz/y = wtm/em = wt/e. Thus, we need only show that d divides t in order to obtain t = d and finish the proof. Now note that x = wz/y = ekz/em = kz/m. So then m = kz/x = kdp/dl = kp/l. Therefore, ml = kp. Note that m cannot divide k. If m divides k, then em divides ek, which means y divides w. We are assuming this doesn’t happen in this case, and we already covered this case in the last paragraph. Hence m divides p. Since z = tm = dp, t = d(p/m). As m divides p there is an integer l such that p/m = l and t = dl. Thus, d divides t. Since d divides t and t divides d, we must have d = t. Hence x = wt/e = wd/e, or x/d = w/e. Therefore we are done. We set a = x/d = w/e.
Fact 3: We have shown that x/d = w/e. We now show that z/d = y/e, which we will call b.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความจริงที่ 1: เราเริ่มต้น โดยแสดง x ที่เป็นใหญ่ที่สุดของหมายเลขสี่ x, y, w, z ตั้งแต่ x – y = w + z เราสามารถเพิ่ม y ทั้งสองข้างของสมการได้ x = w + z + y ได้ ดังนั้น x เป็นใหญ่ที่สุดของตัวเลข ใช้ xy งบกำหนด = wz เรารู้ว่า x ใหญ่ที่สุด ดังนั้น x > w และ x > z.สมมติว่า y นั้นคือมากกว่า หรือเท่ากับ z ตั้งแต่ x > w แล้ว xy > wz ซึ่งเป็นความขัดแย้งเป็น xy = wz ดังนั้น y < z ตอนนี้สมมติว่า y คือมากกว่า หรือเท่ากับ w ตั้งแต่ x > z แล้ว xy > wz ซึ่งเป็นความขัดแย้งเป็น xy = wz ดังนั้น y < ปริมาณ Hence y คือ น้อยที่สุด ความจริงที่ 2: ตอนนี้เรามีแสดง x / d = w/e ให้ d = gcd(x,z) และ e = gcd(w,y) ตั้งแต่ d = gcd(x,z) และ e = gcd(w,y) มีอยู่เต็ม l, p, k, m ดังกล่าวที่ dl = x, dp = z เอก = w และเอ็ม = y เราต้องแสดงว่า x / d = w/e เป็น xy = wz เราดู x = wz/y เนื่องจาก x เป็นตัวเลขธรรมชาติ y เป็นแบ่ง wz ถ้า y หาร w แล้ว e = gcd (w, y) = y ดังนั้น x = wz/y และ x = kz K เป็น จำนวนเต็ม z แบ่งไฟร์ Hence d = gcd (x, z) = z ดังนั้น xy = wz ความหมายของ x / z = w/y เนื่องจาก y = e และ z = d ที่เราได้แสดง x / d = w/e เสร็จสิ้นการพิสูจน์ในกรณีนี้ ถ้า y หาร w แล้ว y หาร wz เนื่องจาก y และ w มีตัวหารร่วมที่หารอี เรารู้ว่า x = wz/y = kz/m และ z m แบ่งเนื่องจาก x เป็นจำนวนเต็ม เพื่อให้มีการเต็ม t ดังกล่าวที่ z = tm และ x = kt จึง แบ่ง t x และ z ตั้งแต่ d = gcd(x,z) และ t หาร x และ z, t d แบ่ง เรายังรู้ว่า x = wz/y = wtm/เอ็ม = wt/อี ดังนั้น เราต้องแสดงเฉพาะที่ t d แบ่งเพื่อรับ t = d และจบพิสูจน์ ขณะนี้ ทราบว่า x = wz/y = ekz/เอ็ม = kz/m แล้วดังนั้น m = kz / x = kdp/dl = kp/l ดังนั้น ml = kp หมายเหตุ m ที่ไม่แบ่ง k ถ้า m หาร k แล้วเอ็มแบ่งเอก ซึ่งหมายความว่า y หาร w เราจะสมมติว่า สิ่งนี้ไม่เกิดขึ้นในกรณีนี้ และเราครอบคลุมกรณีนี้ในย่อหน้าสุดท้ายแล้ว ดังนั้น m หาร p ตั้งแต่ z = tm = dp, t = d(p/m) M หาร p มีเป็น l เป็นจำนวนเต็มเช่นนั้น p/m = l และ t = dl ดังนั้น d แบ่ง t เนื่องจาก d แบ่ง t และ t หาร d เราต้องได้ d =ต.ดังนั้น x = wt/e = wd/e หรือ x / d = w/e ดังนั้น เราจะทำ เราตั้งเป็น = x / d = w/e ความจริงที่ 3: เราได้แสดงที่ x / d = w/e ตอนนี้แสดงว่า z/d = y/e ซึ่งเราจะเรียก b

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

. ความเป็นจริง 1: เราเริ่มต้นด้วยการแสดงให้เห็นว่า x เป็นที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลขสี่ X, Y, W, Z
ตั้งแต่ x - y = W + Z, เราสามารถเพิ่มและทั้งสองด้านของสมการที่จะได้รับ, x = + w Z + y ดังนั้น x เป็นที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลข.
นอกจากนี้การใช้คำสั่งที่กำหนด XY = WZ เรารู้ว่า x เป็นที่ใหญ่ที่สุดดังนั้น, x> w และ x> Z สมมติว่าและเป็นมากกว่าหรือเท่ากับ Z ตั้งแต่ x> W, XY แล้ว> WZ ซึ่งเป็นความขัดแย้งเป็น XY = WZ ดังนั้น y <Z ตอนนี้ถือว่าเป็นและมากกว่าหรือเท่ากับ W ตั้งแต่ x> Z, XY แล้ว> WZ ซึ่งเป็นความขัดแย้งเป็น XY = WZ ดังนั้น y <W ดังนั้นและเป็นที่สุด.
ความจริง. 2: ตอนนี้เราต้องแสดงให้เห็น x / D = w / อี
ให้ D = GCD (x, Z) และ e = GCD (ก, y) ตั้งแต่ D = GCD (x, Z) และ e = GCD (ก, y) มีอยู่ integers ลิตร, p, k, ม. ดังกล่าวว่าดล = x, DP = Z, เอก w = และ em = y เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่า x / D = w / อี ในฐานะที่เป็น XY = WZ เราเห็น x = WZ / y ตั้งแต่ x เป็นจำนวนธรรมชาติและมีการแบ่ง WZ ถ้าและแบ่งกว้างแล้วอี = GCD (ก, y) = y ดังนั้น x = WZ / y และ x = KZ ตั้งแต่ k เป็นจำนวนเต็ม, Z แบ่ง x ดังนั้น D = GCD (x, Z) = Z ดังนั้น XY = WZ นัย x / Z = w / และ และตั้งแต่อี = z และ = d เราได้แสดงให้เห็น x / D = w / อี เสร็จสมบูรณ์หลักฐานในกรณีนี้.
ถ้าและไม่ได้แบ่ง W, แล้ว y แบ่ง WZ ตั้งแต่ W และ y มีตัวหารร่วมมากของ e เรารู้ว่า x = WZ / y = KZ / m และเมตรแบ่ง Z เพราะ x เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นมีอยู่ทีจำนวนเต็มเช่นที่ Z = TM และ x = KT ดังนั้นเสื้อแบ่ง x z และ ตั้งแต่ D = GCD (x, Z) และเสื้อแบ่งทั้ง x และ Z, เสื้อแบ่งง นอกจากนี้เรายังรู้ว่า x = WZ / y = WTM / em = น้ำหนัก / E ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องใช้เพียงแสดงให้เห็นว่า D แบ่งเสื้อเพื่อให้ได้ t = D และเสร็จสิ้นการพิสูจน์ ตอนนี้ทราบว่า x = WZ / y = EKZ / em = KZ / ตารางเมตร ดังนั้นแล้ว m = KZ / x = KDP / ดล = kp / ลิตร ดังนั้นมล = kp หมายเหตุมที่ไม่สามารถแบ่ง k หากเมตรแบ่ง k แล้ว em แบ่งเอกซึ่งหมายความว่าและแบ่งก เราจะสมมติว่านี้ไม่ได้เกิดขึ้นในกรณีนี้และเราครอบคลุมอยู่แล้วกรณีนี้ในย่อหน้าสุดท้าย ดังนั้นเมตรแบ่ง P ตั้งแต่ Z = TM = DP, t = D (p / เมตร) ในฐานะที่เป็นเมตรแบ่ง P มีจำนวนเต็มลิตรเช่นนั้น / p M = ลิตรและ t = ดล ดังนั้นงแบ่งเสื้อ ตั้งแต่งแบ่งเสื้อและเสื้อแบ่งวันเราจะต้องมี D = t ดังนั้น x = น้ำหนัก / E = WD / E หรือ x / D = w / อี ดังนั้นเราจึงจะดำเนินการ เราตั้ง = x / D = w / e.
ความจริงที่ 3: เราได้แสดงให้เห็นว่า x / D = w / อี ตอนนี้เราแสดงให้เห็นว่า z / D = y / E ซึ่งเราจะเรียกข

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความจริง 1 : เราเริ่มต้นด้วยการแสดงที่ X เป็นที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลขสี่ X , Y , W , Z .
ตั้งแต่ X – Y = w Z , เราสามารถเพิ่ม Y ทั้งสองข้างของสมการจะได้ x = w Z Y และ X เป็นที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลข
ยังโดยใช้ให้งบ XY = Wz เรารู้ว่า X เป็นที่ใหญ่ที่สุดดังนั้น x > W และ X > Z . สมมติว่า Y คือมากกว่าหรือเท่ากับ Z ตั้งแต่ X > w แล้ว > Wz XY ,ซึ่งเป็นความขัดแย้งเป็น XY = Wz . ดังนั้น y < Z . y ตอนนี้ถือว่ามากกว่าหรือเท่ากับ W . ตั้งแต่ X > Z แล้ว xy > Wz ซึ่งเป็นที่ขัดแย้งเป็น XY = Wz . ดังนั้น y < W . ดังนั้น Y มันเล็กที่สุด
ความจริง 2 : ตอนนี้เราต้องแสดง x / D = w / E
ให้ D = LCD ( x , z ) E = LCD ( W , Y ) ตั้งแต่ D = LCD ( x , z ) E = LCD ( W , y ) มีจำนวนเต็ม L , P , K , M เช่นที่ DL = x , DP = Z , I = w = วาย และเอ็มเราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่า x / D = w / E เป็น XY = Wz เราเห็น X = Wz / Y ตั้งแต่ x เป็นจำนวนเต็มบวก , Y ต้องแบ่ง Wz . ถ้า Y แบ่ง W แล้ว E = LCD ( W , Y ) = y และ x = Wz / y และ x = ky . เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม Z แบ่ง X ดังนั้น D = LCD ( x , z ) = Z ดังนั้น XY = Wz พบ X / Z = w = E / Y ตั้งแต่ Y และ Z = D เราต้องแสดง x / D = w / E นี้ซึ่งต้องพิสูจน์ครับในกรณีนี้
ถ้า Y ไม่ได้แบ่ง W ,แล้ว Y แบ่ง Wz . ตั้งแต่ W และ Y มีตัวหารร่วมมากของ E เราว่า X = Wz / Y = KZ / M และ M แบ่ง Z เพราะ x เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นมีจำนวนเต็ม T เช่นที่ Z = R และ X = KT . จึงไม่แบ่ง X และ Z . ตั้งแต่ D = LCD ( x , z ) t แบ่งทั้ง X และ Z , t แบ่งดี เราก็รู้ว่า x = y = WSM Wz / / em = WT / E ดังนั้นเราต้องการเพียงแสดงให้เห็นว่า D แบ่งให้ได้ T T = D และจบการพิสูจน์ ตอนนี้ทราบว่า x = y = ekz Wz / / em = KZ / ม. แล้ว M = x = ky / kdp / dl = KP / ลิตร ดังนั้น มิลลิลิตร = KP . หมายเหตุ ถ้า M K M ไม่สามารถแบ่งแบ่ง K แล้วมันแบ่งเอกซึ่งหมายความว่า Y W . เราแบ่งสมมตินี้จะไม่เกิดขึ้นในคดีนี้ และเราได้ครอบคลุมกรณีนี้ในย่อหน้าสุดท้าย ดังนั้น M แบ่งหน้าตั้งแต่ Z = TM = dp , t = D ( P / M ) โดยแบ่ง P มีจำนวนเต็มลิตร เช่น P / M = L และ T = เดซิลิตร ดังนั้น ตั้งแต่ D . D แบ่งแบ่งแบ่ง ดี ที แอนด์ ที เราต้องมี D = T . ดังนั้น x = WT / E / E = WD หรือ X / D = w / E ดังนั้น เราจะทำ เราตั้งค่า = x / D = w / e .
ความเป็นจริงที่ 3 เราได้แสดงให้เห็นว่า x / D = w / E ตอนนี้เราแสดงให้เห็นว่า Z / D = y / E ซึ่งเราจะเรียก B