Surface Integrals (Closed and Open)

Surface Integrals (Closed and Open)
2.4 A volume is defined in cylindrical coordinates as 1  r  2, π/6  ϕ  π/3, 1  z  2. Calculate the flux of the vector
A ¼ ^r 4z through the surface enclosing the given volume.
2.5 Given a surface S ¼ S1 + S2 defined in spherical coordinates with S1 defined as 0  R  1; θ ¼ π/6; 0  ϕ  2π and
S2 defined as R ¼ 1; 0  θ  π/6; 0  ϕ  2π. Vector A ¼ ^R 1 þ ^θ θ is given. Find the integral of A ds over the
surface S.
2.6 Given A ¼ ^x x2 þ ^y y2 þ ^z z2, integrate A ds over the surface of the cube of side 1 with four of its vertices at (0,0,0),
(0,0,1), (0,1,0), and (1,0,0).
2.7 The axis of a disk of radius a is in the direction of the vector k ¼ ^z 3. Vector field A ¼ ^r 5 þ ^z 3 is given. Find the total
flux of A through the disk.
Volume Integrals
2.8 A mass density in space is given by ρ(r, z) ¼ r(r + a) + z(z + d) kg/m3 (in cylindrical coordinates).
(a) Calculate the total mass of a cylinder of length d, radius a, centered at the origin with its axis along the z axis.
(b) Calculate the total mass of a sphere of radius a centered at the origin.
2.9 A right circular cone is cut off at height h0. The radius of the small base is a and that of the large base is b (Figure 2.27).
The cone is filled with particles in a nonuniform distribution: n(r, h) ¼ 105r3 + 103r(h – h0)2. Find the total number of
particles contained in the cone.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Integrals ผิว (ปิด และเปิด)2.4 การไดรฟ์ข้อมูลถูกกำหนดไว้ในพิกัดทรงกระบอก 1 r 2, π/6 ϕ π/3, 1 z 2 คำนวณฟลักซ์ของเวกเตอร์เป็น¼ ^ r 4z ผ่านพื้นผิวปิดล้อมปริมาณกำหนด2.5 ให้พื้นผิว S ¼ S1 + S2 ที่กำหนดไว้ในพิกัดทรงกลมกับ S1 กำหนดเป็น 0 R 1 ค่าΘ¼ Π/6 Φ 0 2π และกำหนดเป็น R ¼ 1; S2 ค่าΘ 0 Π/6 0 Φ 2Π เวกเตอร์เป็น¼ ^ R 1 þ ^ ค่าθค่าθจะได้รับ หาสถาปนิกของ ds ที่มากกว่าการพื้นผิว s ได้2.6 ให้เป็น¼ ^ x x2 þ ^ y y2 þ ^ z z2 รวมกับ ds ผ่านพื้นผิวของก้อนของด้านข้าง 1 กับสี่ของจุดยอดที่ (0,0,0),(0,0,1), (0,1,0), และ (1,0,0)2.7 แกนของดิสก์ของรัศมีอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ k ¼ ^ z 3 เวกเตอร์ในฟิลด์เป็น¼ ^ þ r 5 ^ z 3 จะได้รับ หาผลรวมฟลักซ์ของผ่านดิสก์ปริมาณ Integrals2.8 มีมวลความหนาแน่นในพื้นที่ถูกกำหนด โดยρ (r, z) ¼ r(r + a) + z (z + d) kg/m3 (ในพิกัดทรงกระบอก)(ก) คำนวณมวลรวมของทรงกระบอกความยาว d รัศมี a มากับของแกนตามแกน z(ข) คำนวณมวลรวมของทรงกลมรัศมีตรงกลางที่จุดกำเนิด2.9 กรวยกลมตรงถูกตัดที่ความสูง h0 มีรัศมีของฐานเล็กเป็นและที่ฐานใหญ่ b (รูปที่ 2.27)กรวยเต็มไป ด้วยอนุภาคในการกระจาย nonuniform: n (r, h) ¼ 105r3 + 103r (h – h0) 2 พบจำนวนทั้งหมดอนุภาคที่อยู่ในกรวย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ปริพันธ์พื้นผิว (ปิดและเปิด)
2.4 ปริมาณที่กำหนดไว้ในพิกัดทรงกระบอก 1? R? 2 π / 6? φ? π / 3, 1? Z? 2. การคำนวณฟลักซ์ของเวกเตอร์
¼ ^ R 4z ผ่านพื้นผิวการปิดล้อมปริมาณที่กำหนด.
2.5 กำหนดพื้นผิว S ¼ S1 + S2 ที่กำหนดไว้ในพิกัดทรงกลม S1 กำหนดเป็น 0? R? 1; θ¼π / 6; 0? φ? 2πและ
S2 กำหนดเป็น R ¼ 1; 0? θ? π / 6; 0? φ? 2π เวกเตอร์¼ ^ R 1 Þ ^ θθจะได้รับ ค้นหาหนึ่งของหรือไม่ DS เหนือ
พื้นผิวเอส
2.6 กำหนด¼ ^ x X2 Þ ^ Y Y2 Þ ^ Z Z2, รวม? DS บนพื้นผิวของก้อนด้าน 1 กับสี่ของจุดของมันที่ (0, 0,0),
(0,0,1), (0,1,0) และ (1,0,0).
2.7 แกนของดิสก์ของรัศมีเป็นไปในทิศทางของเวกเตอร์ k ^ ¼ซี 3. เวกเตอร์เขตข้อมูล¼ ^ R 5 ^ Z 3 จะได้รับ ค้นหาทั้งหมด
ฟลักซ์ผ่านดิสก์.
ปริมาณปริพันธ์
2.8 ความหนาแน่นของมวลในพื้นที่จะได้รับโดยρ (r z) ¼ R (R + A) + Z (Z + D) kg / m3 (ในพิกัดทรงกระบอก)
(ก) การคำนวณมวลรวมของทรงกระบอกความยาว D เป็นรัศมีศูนย์กลางที่แหล่งกำเนิดที่มีแกนตามแนวแกน z.
(ข) การคำนวณมวลรวมของทรงกลมรัศมีศูนย์กลางที่แหล่งกำเนิดได้.
2.9 สิทธิ กรวยกลมถูกตัดออกที่สูง H0 รัศมีของฐานขนาดเล็กและที่ของฐานขนาดใหญ่ B (รูปที่ 2.27).
กรวยเต็มไปด้วยอนุภาคในการกระจายไม่สม่ำเสมอ: N (R, H) ¼ 105r3 + 103r (H - H0) 2 พบจำนวนรวมของ
อนุภาคที่มีอยู่ในรูปกรวย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

integrals ผิว ( เปิดและปิด )2.4 ปริมาณที่กำหนดไว้ในพิกัดทรงกระบอก 1 R 2 , π / 6 ϕπ / 3 , 1 Z 2 การคำนวณการไหลของเวกเตอร์เป็น¼ ^ r 4Z ผ่านพื้นผิวแนบระบุปริมาณ2.5 ให้พื้นผิวของ¼ S1 + S2 ที่กำหนดไว้ในพิกัดทรงกลมกับ S1 กำหนดเป็น 0 R 1 ; θ¼π / 6 ; 0 ϕ 2 πและหมายถึง¼ S2 R 1 ; 0 θπ / 6 ; 0 ϕ 2 π . เวกเตอร์¼ ^ R 1 þ ^ θθจะได้รับ หาหนึ่งของ DS มากกว่าผิว2.6 ให้¼ ^ x X2 þ ^ Y Y2 ^ z þกขึ้น รวม DS ผ่านพื้นผิวของลูกบาศก์ของด้าน 1 กับ 4 ของจุดที่ ( 0,0,0 )( 0,0,1 ) , ( 0,1,0 ) และ ( 1,0,0 )2.7 แกนของดิสก์ของรัศมีอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ K ¼ ^ z 3 เวกเตอร์สนาม¼ ^ r 5 þ ^ Z 3 จะได้รับ พบทั้งหมดการไหลของของเหลวผ่านดิสก์ส่วนประกอบ ปริมาณ2.8 มวลความหนาแน่นในพื้นที่ให้โดยρ ( R , Z ) ¼ R ( R + A ) + Z ( z + d ) kg / m3 ( ในพิกัดทรงกระบอก )( ก ) คำนวณมวลรวมของทรงกระบอก ความยาวของ D , รัศมี , ศูนย์กลางที่จุดเริ่มต้นกับแกนตามแกน Z .( ข ) คำนวณหามวลทั้งหมดของทรงกลมรัศมีศูนย์กลางที่ต้นกำเนิด2.9 ขวาวงกลมกรวยตัดที่ H0 ความสูง รัศมีของฐานขนาดเล็กเป็นและที่ฐานใหญ่ B ( รูปที่ 2.27 )กรวยที่เต็มไปด้วยอนุภาคในการกระจายสม่ำเสมอ : N ( r , H ) ¼ 105r3 + 103r ( H ( H0 ) 2 . หาจำนวนทั้งหมดของอนุภาคอยู่ในกรวย