4.5 The Domain And Range in a Relat

4.5 The Domain And Range in a Relation
By now, we know that a relation is just a set of ordered pairs.
Some examples of relation include:
• {(0,1), (41,51), (2,-10)}
• {(0,1), (7,11), (-3,8)}
• {(-1,6), (1,7), (41,5), (32,8)}
As you can see the examples above, there is nothing special at all about the numbers that are in a relation. In another words, any bunch of numbers is a relation so long as these numbers come in pairs.
What is the Domain and range of a relation?
The domain is set of all the first numbers of the ordered pairs. In other word, the domain is all the x-value.
The range is the set of the second numbers in each pair, or the y-values.
Example 1
Relation 1 { (0,2), (4,23), (91,35) }
Domain : { 0, 4, 91}
Range : { 2, 23, 35}

Example 1Relation 1 { (3,-6), (5,32), (12,-12), (-22,4) }
Domain : { 3, 5, 12, -22 }
Range : { -6, 32, -12, 4 }
4.6 The Codomain, Object And Image of a Relation
To explain the meaning, let’s take a look at the relation between set x and
set y, where set x is mapped onto set y.

• Set x is called the domain
Domain = { 4, 6, 9 }
• Set y is called the codomain
Codomain = { 2, 3, 4, 5 }
• the objects are the elements is set x.
4 is the objects of images 2 and 4
• the image are the elements is set y.
3 is the objects of images 6 and 9
• the set of images is called the range
Range = { 2, 3, 4 }
Example 1
The arrow diagram shows the relation square root of between set x and set y.
(a) List the domain
(b) List the codomain
(c) List the range
(d) State the object of 2
(e) Stage the images of 64
Solution
(a) Domain = { 8, 27, 64 }
(b) Codomain = { 1, 2, 3,4, 5 }
(c) Range = { 2, 3, 4 }
(d) The object of 2 is 8
(e) the images of 64 are 4
Example 2
The ordered pairs below show a relation between set x and set y.
{ (1,2), (2,3), (4,6), (5,6), (7,8) }
(a) List the domain
(b) List the range
(c) State the image of 2
(d) State the objects of 6
(e) State the type of relation
Soluiton
(a) Domain = { 1, 2, 4, 5, 7 }
(b) Range = { 2, 3, 6, 8 }
(c) The images of 2 is 3.
(d) The objects of 6 are 4 are 5
(e) Many-to-one relation
4.7 Function
What is the function?
A function is a special type of relation between two sets A and B, where each and every member of A is related to one and only one member of B, although some members of B may not be related to any member of A. Such kind of relation is known as function.
A function is also known as Mapping.
Examples of function are as follow:



Each and every member of x is related to one and only one member of y.

Note
Therefore only a one-to-one relation or a many-to-one relation can be a function.

The other two type of relation:-
(a) One-to-many relation and
(b) Many-to-many relation

4.8 Function Notation
What is function notation?
The function notation is used to describe the relations between the domain
and the range.
For example :


How to read? The function f mao x onto (x+2).
It can also be written as : f(x) = x + 2
x is the object and f(x) is the image.
Function notation can also be expressed as f(x), f, g(x), or h(x).
Let’s take a look at an example.

These mathematical statements all mean the same!
y = 2x + 3
f(x) = 2x + 3
g(x) =2x + 3
h(x)= 2x + 3
This function notation. They all mean exactly the same.
When you graph all of these exactly as you would y = 2x+3.
We are just using a different notation.
Example :
If 3 is the object, find the image f(x) = x+2
Given that f(x) = x+2
f(3) = 3+2
= 5 (Ans)

Example 1
Exanple 2
note A function is also know as mapping.
The arrow diagram show the relation ‘ is 3 less than’ from set A to set B.
This relation is a function or a mapping because every member of set A is connected to one and only one member of set B.
We write f : x x + 3 which mean that ‘ the function f maps x onto x + 3’
In function notation, we write as:
f(x) = x+3 How to read?
Is read as the ‘function of x’ is equal to x+3
If f(x) = x+3 and x=5, then
f(5) = 5+3
= 8
Example 3
If f : x 2x+4, find:
(a) f(0) (b) f(2) (c) f(-3) (d) f( )

Solution
(a) f : x 2x+4
f(x) = 2x+4
f(0) = 2(0)+4
= 4
(b) f(x) = 2x+4
f(2) = 2(2)+4
= 8
(c) f(x) = 2x+4
f(-3) = 2(-3)+4
= -2
(d) f(x) = 2x+4
f( ) = 2( )+4
= 5
Example 4
If f(x) = 3 + 1
(a) f(-1)
(b) f(-2)
(c) f(-5)

Solution
(a) f(x) = 3 + 1
f(-1) = 3( )+ 1
= 3 + 1
= 4
(b) f(x) = 3 + 1
f(-2) = 3( )+ 1
= 12 + 1
= 13
(c) f(x) = 3 + 1
f(-5) = 3( )+ 1
= 75 + 1
= 76

Example 5
Given that g : x 3x + 4, find:
(a) g(4)
(b) g(0)
(c) g(-2)

Solution
(a) g : x 3x + 4
g(x) = 3x + 4
g(4) = 3(4) + 4
= 12 + 4
= 16
(b) g(x) = 3x + 4
g(0) = 3(0) + 4
= 4
(c) g(x) = 3x + 4
g(-2) = 3(-2) + 4
= -2

4.9 Vertical Line Test
Vertical Line Test is to find out whether a relation is a function or not.
If the relation is a function, its graph will intercept by a vertical line at only one point only.
Example 1
Is each of the relation a function?

(a) { (0,1), (1,2), (2,4) }
(b) { (0,1), (1,2), (1,4) }
Solution



Exercise 4B

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

4.5 การโดเมนและช่วงในความสัมพันธ์ โดยขณะนี้ เรารู้ว่า ความสัมพันธ์เป็นเพียงชุดของคู่สั่ง รวมตัวอย่างของความสัมพันธ์:• { (0,1), (41,51), (2, -10) }• { (0,1), (7,11), (-3,8) }• {(-1,6), (1,7), (41,5), (32,8) }คุณสามารถดูตัวอย่างข้างต้น ไม่มีอะไรพิเศษที่เกี่ยวกับหมายเลขที่อยู่ในความสัมพันธ์ ในคำอื่น ๆ มีพวงของตัวเลขเป็นความสัมพันธ์ตราบใดที่ตัวเลขเหล่านี้มาเป็นคู่โดเมนและช่วงของความสัมพันธ์คืออะไรโดเมนคือชุดของหมายเลขแรกของคู่สั่ง ในคำอื่น ๆ โดเมนคือ ทั้งหมด x ค่าช่วงที่เป็นชุดของตัวเลขที่สองในแต่ละคู่ หรือค่า yตัวอย่างที่ 1ความสัมพันธ์ 1 { (0,2), (4,23), (91,35) } โดเมน: {0, 4, 91 } ช่วง: {2, 23, 35 }ตัวอย่าง 1Relation 1 { (3, -6), (5,32), (12, -12), (-22,4) } โดเมน: {3, 5, 12, -22 } ช่วง: {-6, 32, -12, 4 } 4.6 Codomain วัตถุ และภาพของความสัมพันธ์ อธิบายความหมาย ลองมาดูที่ความสัมพันธ์ระหว่างชุด x และ ตั้งค่า y ที่ตั้ง x ถูกแมปไปยังตั้งค่า y•ชุด x เรียกว่าโดเมน โดเมน = {4, 6, 9 }•ตั้งค่า y เรียกว่า codomain ที่ Codomain = {2, 3, 4, 5 }•วัตถุมีองค์ประกอบถูกตั้งค่า x4 เป็นของรูปที่ 2 และ 4•รูปภาพมีองค์ประกอบถูกตั้งค่า y3 เป็นวัตถุรูปภาพ 6 และ 9•ชุดของรูปภาพเรียกว่าช่วงช่วง = {2, 3, 4 } ตัวอย่างที่ 1แผนภาพลูกศรแสดงความสัมพันธ์ของรากของระหว่างชุด x และชุด y(ก) รายการโดเมน(ข) รายการที่ codomain(ค) รายการช่วง(d) ของ 2 รัฐ(อี) ระยะที่ภาพของ 64โซลูชั่น(ก) โดเมน = {8, 27, 64 }(ข) codomain = {1, 2, 3, 4, 5 }(c) ช่วง = {2, 3, 4 }(d) 2 คือ 8(จ) ภาพของ 64 มี 4ตัวอย่างที่ 2สั่งคู่ด้านล่างแสดงความสัมพันธ์ระหว่างชุด x และชุด y { (1, 2), (2,3), (4,6), (5,6), (7,8) }(ก) รายการโดเมน(ข) รายการช่วง(ค) สถานะภาพ 2(d) ของ 6 รัฐ(จ) ระบุชนิดของความสัมพันธ์Soluiton(ก) โดเมน = {1, 2, 4, 5, 7 }(ข) ช่วง = {2, 3, 6, 8 }(ค) ภาพ 2 เป็น 3(d วัตถุ)จาก 6 เป็น 4 เป็น 5(e) ความสัมพันธ์หลาย--วัน4.7 ฟังก์ชัน การทำงานคืออะไร ฟังก์ชันคือ ความสัมพันธ์ระหว่างสองชุด A และ B ที่ทุก ๆ สมาชิกของ A จะเกี่ยวข้องกับสมาชิก B เดียวเท่านั้นแม้ว่าสมาชิกบางคนของ B อาจไม่เกี่ยวข้องกับสมาชิกของชนิดพิเศษ ชนิดของความสัมพันธ์ดังกล่าวเรียกว่าเป็นฟังก์ชันยังมีเรียกฟังก์ชันเป็นการแม็ปตัวอย่างของฟังก์ชันมีดังต่อไปนี้:แต่ละสมาชิกของ x สัมพันธ์กับสมาชิก y เดียวเท่านั้นหมายเหตุดังนั้น เฉพาะความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งหรือความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งได้ฟังก์ชันอื่น ๆ สองชนิดของความสัมพันธ์: -(ก) หนึ่งความสัมพันธ์ และ(ข) หลายต่อหลายความสัมพันธ์4.8 สัญกรณ์ฟังก์ชัน สัญกรณ์ฟังก์ชันคืออะไร สัญกรณ์ฟังก์ชันใช้เพื่ออธิบายความสัมพันธ์ระหว่างโดเมน และช่วงตัวอย่าง:วิธีการอ่าน F ฟังก์ชันเหมา x บน (x + 2) สามารถเขียนเป็น: f(x) = x + 2x เป็นวัตถุ และ f(x) มีภาพฟังก์ชันเครื่องหมายสามารถแสดงเป็น f(x), f, g(x) หรือ h(x)ลองมาดูตัวอย่างคำสั่งทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ทั้งหมดหมายถึง เหมือนกัน y = 2 x + 3f(x) = 2 x + 3g(x) = 2 x + 3 h(x) = 2 x + 3เครื่องหมายนี้ฟังก์ชันการ พวกเขาทั้งหมดหมายความ ว่า เหมือนกันเมื่อคุณกราฟทั้งหมดนี้ตรง ตามที่คุณต้องการให้ y = 2 x + 3เราเป็นเพียงการใช้สัญลักษณ์ต่าง ๆตัวอย่าง:ถ้า 3 เป็นวัตถุ หา f(x) รูป = x + 2 ให้ f(x) ที่ = x + 2 f(3) = 3 + 2 = 5 (Ans)ตัวอย่างที่ 1Exanple 2หมายเหตุ A ฟังก์ชันยังรู้เป็นแมป แผนภาพลูกศรแสดงความสัมพันธ์ ' เป็น 3 น้อยกว่า ' จากชุด A ตั้งเกิด ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันหรือการแม็ปเนื่องจากทุกสมาชิกของชุด A เชื่อมต่อกับสมาชิก เดียวเท่านั้นเกิดเราเขียน f: x x + 3 ซึ่งหมายถึง ที่ ' แผนที่ฟังก์ชัน f x ไป x + 3ในสัญกรณ์ฟังก์ชัน เราเขียนเป็น: f(x) = x + 3 อ่านอย่างไร อ่านเป็น 'ฟังก์ชันของ x' มีค่าเท่ากับ x + 3 ถ้า f(x) = x + 3 และ x = 5 แล้ว f(5) = 5 + 3 = 8ตัวอย่างที่ 3ถ้า f: x 2 x + 4 การค้นหา:(ก) f(0) (b) f(2) (c) f(-3) (d) f () โซลูชั่น(ก) f: x 2 x + 4f(x) = 2 x + 4f(0) = 2 (0) + 4 = 4(ข) f(x) = 2 x + 4f(2) = 2 (2) + 4 = 8(c) f(x) = 2 x + 4f(-3) = 2(-3) + 4 = -2(d) f(x) = 2 x + 4(f) = 2 () + 4 = 5ตัวอย่างที่ 4ถ้า f(x) = 3 + 1(ก) f(-1)(ข) f(-2)(c) f(-5)โซลูชั่น(ก) f(x) = 3 + 1 f(-1) =(3) + 1 = 3 + 1 = 4(ข) f(x) = 3 + 1f(-2) =(3) + 1 = 12 + 1 = 13(c) f(x) = 3 + 1f(-5) =(3) + 1 = 75 + 1 = 76ตัวอย่างที่ 5กำหนดให้ g: x 3 x + 4 การค้นหา:(ก) g(4)(ข) g(0)(c) g(-2)โซลูชั่น(ก) g: x 3 x + 4g(x) = 3 x + 4g(4) = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 16(ข) g(x) = 3 x + 4g(0) = 3(0) + 4 = 4(c) g(x) = 3 x + 4g(-2) = 3(-2) + 4 = -24.9 ทดสอบแนว ทดสอบบรรทัดแนวตั้งจะพบว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชัน หรือไม่ถ้าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชัน กราฟมันจะดักตามเส้นแนวตั้งที่จุดเดียวเท่านั้นตัวอย่างที่ 1แต่ละความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชัน(ก) { (0,1), (1,2), (2, 4) }(ข) { (0,1), (1,2), (1,4) }โซลูชั่นออกกำลังกาย 4B

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

4.5 จากโดเมนและเรนจ์ในความสัมพันธ์
ตอนนี้เรารู้ว่าความสัมพันธ์เป็นเพียงชุดของคู่อันดับ .
ตัวอย่างบางส่วนของความสัมพันธ์รวมถึง :
- { ( 0.1 ) ( 41,51 ) , ( 2 , 10 ) }
- { ( 0.1 ) ( 7,11 ) ( - 3,8 ) }
- { ( - 1,6 ) , ( 1 , 7 ) , ( 41,5 ) , ( 32,8 ) }
ตามที่คุณสามารถดูตัวอย่างข้างต้นมีอะไรพิเศษที่เกี่ยวกับตัวเลขที่อยู่ในความสัมพันธ์ พูดอีกอย่างก็คือพวงของตัวเลขความสัมพันธ์ตราบใดที่ตัวเลขเหล่านี้มาเป็นคู่
อะไรคือโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ ?
โดเมนคือชุดของตัวเลขทั้งหมดแรกของคู่อันดับ . ในคำอื่น ๆที่ โดเมนทั้งหมด x-value .
ช่วงเป็นชุดของตัวเลขที่สองในแต่ละคู่ หรือ y-values .
1
1 { ตัวอย่างความสัมพันธ์ ( 2 ) , ( 4,23 ) , ( 91,35 ) }
{ 0 , 4 โดเมน : 91 }
{ 2 ช่วง : 23 , 35 }

ตัวอย่าง 1relation 1 { ( 3 , 6 ) , ( 5,32 ) ( 12 / 12 ) ( - 22,4 ) }
โดเมน : { 3 , 5 , 12 - 22 }
{ - ช่วง 6 , 32 - 12 , 4 }
4.6 โจโคโบะ , วัตถุและภาพลักษณ์ของ ความสัมพันธ์
อธิบาย ความหมาย ลองไปดูที่ความสัมพันธ์ระหว่างเซต X และ Y
ตั้งที่กำหนด x เป็นแมปไปยังชุด Y .

แต่ละชุด X เรียกว่าโดเมนโดเมน =
{ }
4 , 6 , 9 - ชุด y เรียกว่าโคโดเมน
โจโคโบะ = { 2 , 3 , 4 , 5 }
แต่ละวัตถุเป็นองค์ประกอบมีการตั้งค่า X .
4 เป็นวัตถุของภาพ 2 และ 4
- ภาพมีองค์ประกอบตั้ง Y .
3 เป็นวัตถุของภาพที่ 6 และ 9
- ชุดของภาพเรียกว่าช่วง
ช่วง = { 2 , 3 , 4 } 1

เช่น แผนผังลูกศรแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง X และรากที่สองของชุดชุด Y .
( )
( B ) รายชื่อโดเมนรายชื่อโจโคโบะ
( C ) รายการช่วง
( D ) 2
สถานะของวัตถุ( E ) เวทีภาพ 64

( แก้ไข ) โดเมน = { 8 , 27 , 64 }
( b ) โจโคโบะ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
( C ) ช่วง = { 2 , 3 , 4 }
( D ) วัตถุ 2 8
( E ) ภาพตัวอย่าง 4
2
64 จะสั่งคู่ด้านล่างแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง X และ Y ชุดชุด
{ ( 1 , 2 ) , ( 2 , 3 ) , ( 4 , 6 ) , ( 5 , 6 ) , ( 7 , 8 ) }
( )
( B ) รายชื่อโดเมนรายการช่วง
( C ) สถานะภาพ 2
( D ) สภาพ วัตถุ 6
( E ) รัฐชนิดของความสัมพันธ์

soluiton ( ) โดเมน = { 1 , 2 , 4 , 5 , 7 }
( B ) ช่วง = { 2 , 3 , 6 , 8 }
( C ) ภาพที่ 2 คือ 3
( D ) วัตถุจาก 6 เป็น 4 คือ 5
( E ) หลายหนึ่งความสัมพันธ์
4.7 ฟังก์ชัน
อะไรคือหน้าที่ ?
ฟังก์ชันเป็นชนิดพิเศษของความสัมพันธ์ระหว่างสองชุด A และ B ที่แต่ละคนและทุกสมาชิกของเกี่ยวข้องกับหนึ่งและเพียงหนึ่งในสมาชิกของ Bแม้ว่าสมาชิกบางคนของบีอาจจะไม่สัมพันธ์กับสมาชิกใด ๆของ A ชนิดของความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันเป็นฟังก์ชัน .
ฟังก์ชันเรียกว่าแผนที่ .
ตัวอย่างของฟังก์ชันมีดังนี้



แต่ละคนและทุกสมาชิกของ X นั้น เกี่ยวข้องกับ และ สมาชิกคนเดียวของ Y

หมายเหตุ ดังนั้นเพียงหนึ่งหรือหลายความสัมพันธ์หนึ่งความสัมพันธ์สามารถเป็นฟังก์ชัน

อีกสองชนิดของความสัมพันธ์ -
:( หนึ่ง ) กับความสัมพันธ์หลาย
( b ) มากมายหลายความสัมพันธ์


สิ่งที่เป็นฟังก์ชันฟังก์ชัน 4.8 สัญกรณ์สัญกรณ์ ?
ฟังก์ชั่นโน้ตถูกใช้เพื่ออธิบายถึงความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและ

ช่วง ตัวอย่างเช่น :


อ่านอย่างไร ? ฟังก์ชัน f ( x 2 ) ลงเหมา x .
มันยังสามารถเขียนเป็น : f ( x ) = x
2 X คือวัตถุ และ f ( x ) เป็นภาพ .
โน้ตยังสามารถแสดงเป็นฟังก์ชัน f ( x ) F , g ( x )หรือ H ( X )
มาดูตัวอย่าง

งบทางคณิตศาสตร์เหล่านี้ทั้งหมดมีความหมายเดียวกัน y = 2x
3
f ( x ) = 2 x 3
g ( x ) = 2x
3 H ( x ) = 2x
3 สัญกรณ์ฟังก์ชันนี้ พวกเขาทั้งหมดมีความหมายเหมือนกัน .
เมื่อคุณกราฟทั้งหมดเหล่านี้ตรงตามที่คุณจะ y = 2x 3
เราจะใช้สัญกรณ์ที่แตกต่างกัน ตัวอย่าง :

ถ้า 3 เป็นเป้าหมาย หาภาพ f ( x ) = x
2 ระบุว่า f ( x ) = x
2 F ( 3 ) = 2
3= 5 ( ANS )

ตัวอย่าง 1
2
หมายเหตุ หน้าที่เป็นฝ้าก็รู้ว่าเป็นแผนที่ แผนภาพลูกศรแสดงความสัมพันธ์
' น้อยกว่า ' จาก 3 ชุดชุด B .
ความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันหรือแผนที่ เพราะสมาชิกทุกคนของการตั้งค่าการเชื่อมต่อกับหนึ่งและเพียงหนึ่งสมาชิก ชุด B .
เราเขียน F : x x 3 ซึ่งหมายถึงว่าฟังก์ชัน f x '
3 X ลงบนแผนที่ในฟังก์ชันโน้ตที่เราเขียนเป็น :
f ( x ) = x 3 วิธีการอ่าน ?
Is read as the ‘function of x’ is equal to x 3
If f(x) = x 3 and x=5, then
f(5) = 5 3
= 8
Example 3
If f : x 2x 4, find:
(a) f(0) (b) f(2) (c) f(-3) (d) f( )

Solution
(a) f : x 2x 4
f(x) = 2x 4
f(0) = 2(0) 4
= 4
(b) f(x) = 2x 4
f(2) = 2(2) 4
= 8
(c) f(x) = 2x 4
f(-3) = 2(-3) 4
= -2
(d) f(x) = 2x 4
f( ) = 2( ) 4
= 5
Example 4
If f(x) = 3 1
(a) f(-1)