In this section we recall some resu

In this section we recall some results for strongly convex functions with mod-
ulus c defined on real intervals. A function f : (a, b) → R is called strongly
convex with modulus c > 0 if
f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y) − ct(1 − t)(x − y)
2
,
with x, y ∈ (a, b) and t ∈ [0, 1]. It is known that f : (a, b) → R is strongly
convex with modulus c > 0 if and only if at every point x0 ∈ (a, b) it has a
support of the form
f(x) ≥ f(x0) + L(x − x0) + c(x − x0)
2
;
where L ∈ [f
′
−(x0), f′
+(x0)] and f
′
±(x0) are the right and left derivative respec-
tively of f at x0 ([7]). Actually, in the case f differentiable L = f
′
(x0).
For differentiable f the following statements take place ([7])
1. f is strongly convex with modulus c if and only if f
′
is strongly increasing,
that is,
(f
′
(x) − f
′
(y))(x − y) ≥ 2c(x − y)
2
.
2. For twice differentiable f, f is strongly convex with modulus c if and
only if f
′′(x) ≥ 2c.
3 Strongly Convex Functions

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในส่วนนี้ เราเรียกคืนผลลัพธ์บางฟังก์ชันนูนอย่างกับมด-c ulus กำหนดช่วงจริง มีฟังก์ชัน f: (a, b) → R จะเรียกว่าขอนูน มีโมดูลัส c > 0 ถ้าtf(x) ≤ f (tx + y (1 − t)) + (1 − t)f(y) − ct (1 − t) (x − y)2,มี x, y ∈ (a, b) และ t ∈ [0, 1] เป็นที่รู้จักกันว่า f: (a, b) → R เป็นอย่างยิ่งนูน มีโมดูลัส c > 0 ถ้าและเฉพาะถ้าที่ทุกจุด x 0 ∈ (a, b) มีการสนับสนุนของแบบฟอร์มf(x) ≥ f(x0) L (x − x 0) + c (x − x 0)2;ที่ L ∈ [f′−(x0), f′+(x0)] และ f′±(x0) อยู่ที่ซ้าย และขวาแบบ respec-tively ของ f ที่ x 0 ([7]) จริง ใน f กรณี differentiable L = f′(x 0)สำหรับ differentiable f ประโยคเกิดขึ้น ([7])1. f เป็นอย่างยิ่งนูนกับโมดูลัสของ c ถ้ารับ f′ขอเพิ่มนั่นก็คือ(f′(x) f −′(y)) (x − y) ≥ 2c (x − y)2.สำหรับสอง differentiable f, f เป็นอย่างยิ่งนูน มีโมดูลัสว่า c และก็ต่อเมื่อ f′′(x) ≥ 2cฟังก์ชัน 3 นูนขอ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในส่วนนี้เราจำได้ผลบางอย่างสำหรับการทำงานที่นูนออกมาอย่างมากกับ mod-
ลัสซีกำหนดไว้ในช่วงเวลาจริง ฟังก์ชัน f (A, B) → R
เรียกว่าขอนูนกับโมดูลัค> 0
ถ้าฉ(TX + (1 - t) y) ≤ TF (x) + (1 - t) f (y) - กะรัต ( 1 - t) (x - y)
2, กับ x, y ∈ (A, B) และเสื้อ∈ [0, 1] เป็นที่รู้จักกันว่า f: (A, B) → R เป็นอย่างยิ่งนูนกับโมดูลัค> 0 ถ้าหากที่∈ x0 ทุกจุด (A, B) มีการสนับสนุนในรูปแบบf (x) ≥ f (x0 ) + L (x - x0) + C (x - x0) 2; ที่ L ∈ [ฉ'- (x0) ฉ' + (x0)] และฉ'± (x0) อยู่ทางขวาและซ้ายตามลำดับอนุพันธ์ ลำดับที่ของฉ x0 ([7]) อันที่จริงในกรณีฉอนุพันธ์ L = ฉ'(x0). สำหรับอนุพันธ์งบต่อไปนี้เกิดขึ้น ([7]) 1 ฉนูนเป็นอย่างยิ่งกับโมดูลัคและถ้าหากฉ'เป็นอย่างยิ่งที่เพิ่มขึ้นนั่นคือ(ฉ' (x) - เอฟ'(y)) (x - y) ≥ 2c (x - y) 2. 2 สำหรับครั้งที่สองอนุพันธ์ฉฉนูนเป็นอย่างยิ่งกับโมดูลัคและถ้าเพียง แต่ถ้า f '' (x) ≥ 2c. 3 ฟังก์ชั่นอย่างยิ่งนูน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในส่วนนี้เรานึกถึงผลลัพธ์บางอย่างเพื่อขอนูนฟังก์ชันกับ mod -
ulus C กำหนดจริงๆ ฟังก์ชัน f ( A , B ) → keyboard - key - name R จะเรียกว่าขอ
นูนด้วยค่า c > 0 ถ้า
F ( TX ( 1 − t ) Y ) ≤ TF ( X ) ( 1 − t ) f ( y ) − ( − 1 ) ( t ) x − Y )
2
,
กับ X , Y ∈ ( , B ) T ∈ [ 0 , 1 ] มันเป็นที่รู้จักกันว่า f ( A , B ) → keyboard - key - name R ขอ
นูนด้วยค่า c > 0 ถ้าและเพียงถ้าทุกจุด x0 ∈ ( A , B ) มันสนับสนุนรูปแบบ

f ( x ) f ( ≥ x0 ) L ( x − x0 ) c ( x − x0 )
2
;
ที่ผม∈ [ f

ดูแล บริษัท เวสเทิร์น ( x0 ) f ,
( x0 School ) ] และ f

±’ ( x0 ) ซ้ายและขวา respec -
มีอนุพันธ์ของ f ที่ x0 ( [ 7 ] ) จริงๆ แล้ว ในคดี Differentiable F L = f

( x0 School ) .
สำหรับ Differentiable F งบเอาสถานที่ดังต่อไปนี้ ( [ 7 ] )
1F ขอนูนกับค่า C ถ้าและเพียงถ้า f


นั้นขอเพิ่ม นั่นคือ
( F ( x )

ดูแล− F นั้น

( Y ) ( Y ) x − ( − 2 ) ≥ X Y )
2
.
2 f Differentiable สองครั้ง F ขอนูนด้วยค่า C ถ้า
ถ้า F ( x )
′′≥ 2C .
3 ฟังก์ชันนูนขอ