Assume c is an odd prime and ab+c=m

Assume c is an odd prime and ab+c=m2 andab−c=n2 forsomeintegers m and n. Subtracting the two equations yields 2c = m2 − n2 = (m + n)(m − n). Unique factorization then implies m−n = 2 and m+n = c, which are contradictory equations since m ± n always have the same parity. Hence, if c is an odd prime, there are no integers a, b such that ab + c and ab − c are both perfect squares.
However,ifc=2,thenab+c=m2 andab−c=n2 implym2−n2 = (m+n)(m−n) = 4. Therefore, either m+n = 4 and m−n = 1 or m+n = m−n = 2 by unique factorization. As noted above, the equations m + n = 4 and m − n = 1 arecontradictory. Ifm+n=m−n=2,thenm=2andn=0. Thereforeab =2, whence a = 2 and b = 1. Thus, (a,b,c) = (2,1,2) is the unique solution.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แสดงว่า c เป็นนายกคี่ และ ab + c = m2 andab−c = n2 forsomeintegers m และ n. ลบอัตราผลตอบแทนสองสมการ 2c = m2 − n2 = (m + n)(m − n) หมายถึงเฉพาะการแยกตัวประกอบแล้ว m−n = 2 และ m + n = c ซึ่งเป็นสมการที่ขัดแย้งเนื่องจาก m ± n เสมอมีความเท่าเทียมกันเหมือนกัน ดังนั้น ถ้า c เป็นนายกเป็นคี่ มีไม่เต็ม a, b ซึ่ง ab + c และ ab − c เป็นสี่เหลี่ยมเหมาะทั้งอย่างไรก็ตาม ifc = 2, thenab + c = m2 andab−c = n2 implym2−n2 = (m+n)(m−n) = 4 ดังนั้น ทั้ง m + n = 4 และ m−n = 1 หรือ m + n = m−n = 2 โดยการแยกตัวประกอบเฉพาะ ตามที่ระบุไว้ข้างต้น สมการ m + n = 4 และ m − n = 1 arecontradictory Ifm + n = m−n = 2, thenm = 2andn = 0 Thereforeab = 2 ไหนเป็น = 2 และ b = 1 ดังนั้น, (a, b, c) = (2,1,2) เป็นการแก้ปัญหาเฉพาะ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สมมติซีเป็นนายกแปลกและ AB + C = m2 andab-C = forsomeintegers N2 เมตรและ n ลบทั้งสองสมการผลตอบแทนถัวเฉลี่ย 2C = m2 - N2 = (m + n) (ม - n) ตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันแล้วหมายถึง M-n = 2 และ M + N = C ซึ่งเป็นสมการขัดแย้งตั้งแต่ม. ± n มักจะมีความเสมอกัน ดังนั้นหาก c คือคี่สำคัญมีจำนวนเต็มไม่มี A, B ดังกล่าวว่า AB + C และ AB - C มีทั้งสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ.
อย่างไรก็ตามไอเอฟซี = 2 thenab + C = m2 andab-C = N2 = implym2-N2 (m + n) (M-n) = 4 ดังนั้นทั้ง m + n = 4 และ m-n = 1 หรือ m + n = m-n = 2 โดยตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน ตามที่ระบุไว้ข้างต้นสม m + n = 4 และ m - n = 1 arecontradictory IFM + N = m-N = 2 thenm = 2andn = 0 Thereforeab = 2 ดังนั้น A = 2 และ B = 1 ดังนั้น (A, B, C) ​​= (2,1,2) เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สมมติว่า C เป็นคี่นายกรัฐมนตรีและ AB + C = m2 andab − C = 2 forsomeintegers M และ N ลบสองสมการผลผลิต 2 = − 2 = ( M2 M + N ) m − n ) การแยกตัวประกอบเฉพาะแล้วนัย m − n = 2 M + N = C ซึ่งเป็นสมการที่ขัดแย้งกันเนื่องจาก ± N มีพาริตี้เดียวกัน ดังนั้น ถ้า C เป็นคี่จำนวนเฉพาะไม่มีจำนวนเต็ม a , b + C เช่น AB AB − C มีทั้งแบบสี่เหลี่ยมอย่างไรก็ตาม การลงทุน = 2 , thenab + C = m2 andab − C = 2 implym2 − 2 = ( m + n ) ( m − n ) = 4 ดังนั้น ทั้ง M + n = 4 m − n = 1 M + n = m − n = 2 โดยเฉพาะ การแยกตัวประกอบ ดังที่ระบุไว้ข้างต้น , สมการ M + n = 4 m − n = 1 arecontradictory . IFM + n = m − n = 2 , 2andn thenm = = 0 thereforeab = 2 ท่าน = 2 และ B = 1 ดังนั้น , ( A , B , C ) = ( 2,1,2 ) เป็นโซลูชั่นที่ไม่ซ้ำกัน