In the second case, Iq ◦ Ip is of p

In the second case, Iq ◦ Ip is of parabolic type, and the corresponding hyperbolic
isometry maps a horocycle with center at a to itself. The number 1
a−p
− 1
a−q is proportional
to the translation length along the horocycle (the horocyclic coordinate can
be measured by the stereographic projection from the point a) so that (2) is again
equivalent to (5).
Finally, in the third case the map Iq ◦ Ip is of elliptic type and corresponds to a
rotation with center 
◦. The angle paq is half the rotation angle (to see this, use the
Poincar´e model); hence ∠paq = ∠sar is equivalent to (5).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในกรณีที่สอง Iq ◦ Ip เป็นจานชนิด และให้สอดคล้องกับไฮเพอร์โบลิisometry แผนที่ horocycle มีศูนย์ที่เป็นตัวเอง หมายเลข 1a−p− 1a−q เป็นสัดส่วนระยะเวลาแปลตาม horocycle (horocyclic ประสานงานสามารถวัด โดยประมาณน้ำจากจุด) ให้ (2) เป็นอีกเทียบเท่ากับ (5)สุดท้าย ในกรณีแผนที่ไอคิว◦ Ip เป็น elliptic และสอดคล้องกับการหมุนด้วย◦. paq มุมคือ มุมการหมุนครึ่ง (ดูนี้ การPoincar´e รุ่น); ดังนั้น ∠paq = ∠sar จะเท่ากับ (5)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในกรณีที่สอง IP ◦ IQ ของพาราโบลา ชนิดและ isometry ค่า
horocycle สอดคล้องข้อมูลกับศูนย์ที่ตัวเอง เบอร์ 1 เป็น−− 1
p

q
เป็น−เป็นสัดส่วนกับความยาว horocycle ( แปลตามพิกัด horocyclic สามารถ
วัด โดยฉายภาพสเตริโอกราฟิกจากจุด A ) ดังนั้น ( 2 ) เทียบเท่าอีกแล้ว

( 5 ) สุดท้ายกรณีที่ 3 แผนที่ไอคิว◦ IP เป็นชนิดของรูป และสอดคล้องกับการหมุนกับศูนย์ 

◦ . มุม PAQ ครึ่งมุมในการหมุน ( ที่เห็นนี้ใช้
ปวงกาเรใหม่ E รุ่น ) ; ดังนั้น∠ PAQ = ∠ SAR จะเทียบเท่ากับ ( 5 )