A DIRECT DERIVATION OF THE CATALAN

A DIRECT DERIVATION OF THE CATALAN FORMULA
Claim 1: All of these substrings are different.
Proof: Suppose that two substrings were the same. In the original infinite sequence S they would start at positions i and j for some 1 ≤ i < j ≤ 2n + 1.
Let [a,b] denote the substring of consisting of the a th to b th digits inclusive. Then, by assumption, [i,j – 1] = [ j, 2j – i -1], and furthermore [j, 2j – i -1] = [2j – 1, 3j – 2j -1], and so on. Therefore, from the i th digit onwards, S contains a cycle of length j – i < 2n + 1. It follows that S also contains a cycle of length j – 1 starting from the first digit.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

รากศัพท์โดยตรงของสูตรคาตาลัน
เรียกร้องที่ 1:. ทั้งหมดของสตริงย่อยเหล่านี้จะแตกต่างกัน
พิสูจน์: สมมติว่าทั้งสองสตริงได้เหมือนกัน ในลำดับอนันต์เดิม S พวกเขาจะเริ่มต้นที่ตำแหน่ง i และ j สำหรับบาง 1 ≤ i <J ≤ 2n + 1.
ให้ [, b] แสดงย่อยของประกอบด้วย th ถึง b th ตัวเลขรวม จากนั้นโดยสมมติฐาน [I, J - 1] = [เจ, 2j - ฉัน -1] และนอกจาก [เจ, 2j - ฉัน -1] = [2j - 1, 3j - 2j -1] และอื่น ๆ . ดังนั้นจาก i th หลักเป็นต้นไป, S มีวงจรของความยาว J - i <2n + 1 ตามที่ S นอกจากนี้ยังมีวงจรของความยาว J - 1 เริ่มจากหลักแรก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เป็นแหล่งที่มาโดยตรงของ คาตาลัน สูตร 1 :
เรียกร้องทั้งหมดของสตริงย่อยเหล่านี้จะแตกต่างกัน .
หลักฐาน : สมมติว่าสองสตริงย่อยอยู่เหมือนกัน ในลำดับอนันต์ของพวกเขาจะเริ่มต้นที่ตำแหน่งเดิม และ เจ สำหรับบาง 1 ≤ < J ≤ 2n 1 .
ให้ [ a , b ] แสดงข้อความของประกอบด้วย TH B TH ตัวเลขรวม แล้ว สมมติ ผม J - 1 ] = [ J 2j –ฉัน - 1 ]และนอกจากนี้ [ J 2j –ฉัน - 1 ] = [ 2j – 1 , 3j – 2j - 1 ] , และดังนั้นบน ดังนั้น จากผมที่ตัวเป็นต้นไป ด้วยประกอบด้วยวงจรของความยาว J ( i < 2n 1 มันเป็นไปตามที่ประกอบด้วยวงจรของความยาว J – 1 เริ่มจากหลักแรก .