In a previous paper [1] two of the

In a previous paper [1] two of the present authors considered in detail the mechanics of a superball bouncing back and forth on a rough horizontal plane. Reversals in direction in the horizontal motion of the ball result from the application of a tangential law of restitution at the point of impact of the ball and the plane. This concept was first introduced by Garwin [2] who used a tangential coefficient of restitution of one, which is not physically realistic. Garwin’s model was modified by Cross [3] who employed a tangential coefficient of restitution a satisfying 0oao1, with the horizontal velocity of the point of impact of the ball being reversed and reduced in magnitude by a factor of a in the impact. Further details of the physics of this model are given in [1], together with references to other theoretical and experimental work. All who have experimented with a superball will have at sometime bounced the ball on the floor, followed by a bounce on a vertical wall. If the bounce on the wall occurs while the ball is still rising, it gives the ball some backspin, so that the direction of motion is reversed at the next bounce on the floor resulting in the ball hitting the wall a second time. With practice, the ball can be made to bounce between the floor and wall several times. Such motion is illustrated in the animations in Figs. 2, 3, 5, and 11. It is our purpose to give a theoretical investigation of such motions and the non-linear mappings which they engender. To this end we establish in Section 2 the basic equations governing the model.
Essentially, each journey of the ball from floor to wall to floor, assumed to take place in the same vertical plane, comprises four events: (i) after launch from the floor the ball pursues a parabolic trajectory until it hits the wall, (ii) the rebound from the wall, (iii) the parabolic trajectory of the return journey to the floor and (iv) the impact with the floor which provides the launch data for the next excursion of the ball. The result of this analysis is the derivation of a non-linear mapping which relates the floor launch data (linear and angular velocity components of the ball and distance from the wall) to the same parameters after the next bounce on the floor. In Section 3 some numerical trajectories of the non-linear mapping are computed and examples given of motions with various numbers of floor to wall bounces. Also illustrated are the parameter spaces of initial conditions required to produce various numbers of bounces off the wall. In Section 4 a scaling invariance is introduced which rewrites the non-linear map of Section 2 in terms of suitable canonical coordinates. This results in a threedimensional non-linear map, a reduction in dimension by one from the original system. Section 5 presents some numerical results for the regions of initial conditions which will result in a given number of bounces against the wall in the canonical variables, analogous to those of Section 3 for the original variables. The next two sections of the work analyse these numerical results in some detail, focussing on the behaviour of the mapping on two planes which comprise boundaries of the region of interest. The paper concludes by proposing a number of further questions related to the problem. Before continuing to our analysis of the problem we have just described, we note that there are limitations to the model of the bounce of the superball that we use. It is recognised that the

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในเอกสารก่อนหน้า [1] สองผู้เขียนนำเสนอพิจารณาในรายละเอียดกลศาสตร์ของ superball ที่กำยำและกลับบนเครื่องบินแนวนอนหยาบ กลับทิศทางในการเคลื่อนไหวในแนวนอนของลูกได้จากการประยุกต์ใช้กฎหมาย tangential ของ restitution ณขณะกระทบลูกและเครื่องบิน แนวคิดนี้ถูกแนะนำ โดย Garwin [2] ที่ใช้ coefficient tangential ของ restitution หนึ่ง ซึ่งไม่เป็นความจริงจริง first แบบจำลองของ Garwin เป็น modified โดยข้าม [3] ที่จ้าง coefficient tangential restitution 0oao1 ความพึงพอใจ ด้วยความเร็วแนวนอนของจุดผลกระทบของลูกบอลกำลังกลับ และลดขนาดตามสัดส่วนของ การในผลกระทบ รายละเอียดเพิ่มเติมของฟิสิกส์รุ่นนี้จะได้รับใน [1], พร้อมกับอ้างอิงทฤษฎี และทดลองการใช้งานอื่น ๆ ทุกคนมีเบื้องกับ superball มีจะมีที่บางครั้งเด้งลูกบอลบน floor ตาม ด้วยการตีกลับบนผนังแนวตั้ง ถ้าตีกลับบนผนังเกิดขึ้นในขณะที่ลูกบอลยังคงสูงขึ้น ให้ลูก backspin บาง เพื่อให้มีกลับทิศทางของการเคลื่อนไหวที่ตีกลับถัดไปบน floor ที่เกิดในลูกที่ตีกำแพงเป็นครั้งที่สอง แบบฝึกหัด สามารถทำลูกบอลให้เด้งกลับระหว่าง floor และผนังหลายครั้ง มีแสดงการเคลื่อนไหวดังกล่าวในภาพเคลื่อนไหวใน Figs. 2, 3, 5 และ 11 วัตถุประสงค์เพื่อให้การตรวจสอบทฤษฎีดังกล่าวและการแม็ปไม่ใช่เชิงเส้นที่พวกเขา engender ได้ เพื่อการนี้ เราสร้างใน 2 ส่วนควบคุมแบบจำลองสมการพื้นฐานEssentially, each journey of the ball from floor to wall to floor, assumed to take place in the same vertical plane, comprises four events: (i) after launch from the floor the ball pursues a parabolic trajectory until it hits the wall, (ii) the rebound from the wall, (iii) the parabolic trajectory of the return journey to the floor and (iv) the impact with the floor which provides the launch data for the next excursion of the ball. The result of this analysis is the derivation of a non-linear mapping which relates the floor launch data (linear and angular velocity components of the ball and distance from the wall) to the same parameters after the next bounce on the floor. In Section 3 some numerical trajectories of the non-linear mapping are computed and examples given of motions with various numbers of floor to wall bounces. Also illustrated are the parameter spaces of initial conditions required to produce various numbers of bounces off the wall. In Section 4 a scaling invariance is introduced which rewrites the non-linear map of Section 2 in terms of suitable canonical coordinates. This results in a threedimensional non-linear map, a reduction in dimension by one from the original system. Section 5 presents some numerical results for the regions of initial conditions which will result in a given number of bounces against the wall in the canonical variables, analogous to those of Section 3 for the original variables. The next two sections of the work analyse these numerical results in some detail, focussing on the behaviour of the mapping on two planes which comprise boundaries of the region of interest. The paper concludes by proposing a number of further questions related to the problem. Before continuing to our analysis of the problem we have just described, we note that there are limitations to the model of the bounce of the superball that we use. It is recognised that the

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในกระดาษก่อนหน้า [1] สองของผู้เขียนในปัจจุบันการพิจารณาในรายละเอียดกลศาสตร์ของ Superball กระดอนไปมาในแนวระนาบหยาบ กลับในทิศทางการเคลื่อนไหวในแนวนอนของลูกส่งผลให้เกิดจากการประยุกต์ใช้กฎหมายวงของการชดใช้ความเสียหายที่จุดของผลกระทบของลูกและเครื่องบิน แนวคิดนี้เป็นสายแรกนำโดย Garwin [2] ที่ใช้เพียงพอ COEF วงของสายการชดใช้ความเสียหายของหนึ่งซึ่งไม่เป็นจริงทางร่างกาย รูปแบบ Garwin เป็นสาย Modi ed โดยครอส [3] ที่จ้างเพียงพอ COEF วงไฟของการชดใช้ความเสียหาย 0oao1 ความพึงพอใจที่มีความเร็วในแนวนอนของจุดของผลกระทบของลูกถูกกลับรายการและลดขนาดโดยปัจจัยในผลกระทบ รายละเอียดเพิ่มเติมของฟิสิกส์ของรุ่นนี้จะได้รับใน [1] ร่วมกับการอ้างอิงถึงงานอื่น ๆ ในทางทฤษฎีและการทดลอง ทุกคนที่ได้ทดลองกับ Superball จะมีบางครั้งที่เด้งลูกบน oor ชั้นตามด้วยการตีกลับบนผนังในแนวตั้ง ถ้าเด้งบนผนังเกิดขึ้นในขณะที่ลูกยังคงเพิ่มขึ้นจะช่วยให้ลูก backspin บางส่วนเพื่อให้ทิศทางของการเคลื่อนไหวจะถูกกลับรายการที่เด้งต่อไปในชั้น oor บอลหลุดตีผนังเป็นเวลาที่สอง กับการปฏิบัติลูกสามารถทำที่จะตีกลับระหว่าง oor ชั้นและผนังหลายต่อหลายครั้ง การเคลื่อนไหวดังกล่าวจะแสดงในภาพเคลื่อนไหวในมะเดื่อ 2, 3, 5, และ 11 มันเป็นจุดประสงค์ของเราที่จะให้การตรวจสอบทางทฤษฎีของการเคลื่อนไหวดังกล่าวและแมปที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่พวกเขาก่อให้เกิด . ด้วยเหตุนี้เราสร้างไว้ในมาตรา 2
สมการพื้นฐานการปกครองรูปแบบพื้นฐานแล้วการเดินทางของแต่ละลูกจากoor ชั้นกับผนังเพื่อชั้น oor สันนิษฐานว่าจะใช้สถานที่ในระนาบแนวตั้งเดียวกันประกอบด้วยสี่เหตุการณ์: (i) หลังจากการเปิดตัวจาก ชั้น oor ลูกแสวงหาวิถีโค้งจนฮิตผนัง (ii) การตอบสนองจากผนัง (iii) วิถีโค้งของการเดินทางกลับไป oor ชั้นและ (iv) ผลกระทบที่มี oor ชั้นที่ให้ข้อมูลการเปิดตัว เที่ยวต่อไปของลูก ผลของการวิเคราะห์นี้เป็นที่มาของการทำแผนที่ที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่เกี่ยวข้องข้อมูลการเปิดตัว oor ชั้น (การเชิงเส้นและส่วนประกอบความเร็วเชิงมุมของลูกและห่างจากผนัง) พารามิเตอร์เดียวกันหลังจากตีกลับต่อไปใน oor ฟลอริด้า ในส่วนที่ 3 บางไบตัวเลขของการทำแผนที่ที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่มีการคำนวณและตัวอย่างที่กำหนดของการเคลื่อนไหวที่มีตัวเลขต่างๆของ oor ชั้นกับผนังตีกลับ แสดงยังมีช่องว่างที่พารามิเตอร์ของเงื่อนไขเริ่มต้นจำเป็นในการผลิตตัวเลขต่างๆของการตีกลับออกมาจากผนัง ในส่วนที่ 4 การปรับแปรเปลี่ยนเป็นที่รู้จักซึ่งปรับเปลี่ยนแผนที่ที่ไม่ใช่เชิงเส้นของส่วนที่ 2 ในแง่ของการยอมรับพิกัดที่เหมาะสม นี้ส่งผลในแผนที่ที่ไม่ใช่เชิงเส้น threedimensional ลดลงในมิติหนึ่งจากระบบเดิม หมวดที่ 5 ที่มีการจัดผลการค้นหาตัวเลขสำหรับภูมิภาคของเงื่อนไขเริ่มต้นซึ่งจะส่งผลในจำนวนที่กำหนดของการตีกลับกับผนังในตัวแปรที่ยอมรับที่คล้ายกับผู้ที่อยู่ในส่วนที่ 3 สำหรับตัวแปรเดิม ต่อมาอีกสองส่วนของการทำงานผลการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเหล่านี้ในรายละเอียดบางอย่างที่มุ่งเน้นการทำงานของการทำแผนที่บนเครื่องบินสองลำซึ่งประกอบด้วยขอบเขตของพื้นที่ที่สนใจ กระดาษสรุปโดยเสนอจำนวนคำถามเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับปัญหาที่เกิดขึ้น ก่อนที่จะดำเนินการต่อไปการวิเคราะห์ของเราของปัญหาที่เราได้อธิบายเพียงแค่เราทราบว่ามีข้อ จำกัด ในการรูปแบบของการตีกลับของ Superball ที่เราใช้นั้น เป็นที่ยอมรับว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

[ 1 ] ในบทความก่อนหน้าสอง ปัจจุบันผู้เขียนพิจารณารายละเอียดกลศาสตร์ของ superball กระดอนไปมาบนขรุขระระนาบแนวนอน . การพลิกกลับในทิศทางในการเคลื่อนไหวในแนวนอนของผลลูกบอลจากการใช้กฎหมายตามแนวของที่จุดกระทบของลูกบอล และเครื่องบินแนวคิดนี้จึงตัดสินใจเดินทางไปแนะนำด้วย garwin [ 2 ] ที่ใช้สัมผัส coef จึง cient ของคืนหนึ่ง ซึ่งไม่ใช่มีเหตุผลทางกายภาพ garwin นางแบบคือโมดิจึงเอ็ดโดยข้าม [ 3 ] ใครใช้สัมผัส coef จึง cient ของการซ่อมแซม 0oao1 น่าพอใจกับความเร็วแนวนอนจุดกระทบของลูกบอลถูกกลับรายการและลดลงในขนาดโดยปัจจัยในผลกระทบ