ANGULAR MOMENTUM AND TORQUEProve Th

ANGULAR MOMENTUM AND TORQUE

Prove Theorem 7.4, page 168: The total external torque on a system of particles is equal to the time rate of change of angular momentum of the system, provided that the internal forces between particles are central forces.



as in equation (1) of Problem 7.4, we have


multiplying both sides of (1) by r+, we have



since


(2) becomes


Summing over v in (4), we find



Now the double sum in (5) is composed of terms such as



Which becomes on writing f=f according to Newton's third law,



Then since we suppose that the forces are central, i.e. f has the same direction as r-r, it follows that (7) is zero and also that the double sum in (5) is zero. Thus equation (5) becomes


where

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

โมเมนตัมเชิงมุมและแรงบิดพิสูจน์ทฤษฎีบท 7.4 หน้า 168: แรงบิดภายนอกทั้งหมดในระบบของอนุภาคมีค่าเท่ากับระยะเวลาของการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมของระบบ ที่กองภายในระหว่างอนุภาคเป็นกองกลางในสมการ (1) ของปัญหา 7.4 เรามีคูณทั้งสองข้างของ (1) โดย r + เรามี ตั้งแต่(2) กลายเป็นเรารวมกว่า v ใน (4), ค้นหาตอนนี้ ผลรวมสองใน (5) ประกอบด้วยเงื่อนไขเช่น ซึ่งจะเกี่ยวกับการเขียน f = f ตามกฎหมายที่สามของนิวตันแล้วเนื่องจากเราสมมติว่า กองกำลังที่เป็นกลาง เช่น f มีทิศทางเดียวกันเป็น r-r เป็นไปตามที่ (7) เป็นศูนย์ และยัง ว่าคู่รวมใน (5) เป็นศูนย์ ดังนั้น สมการ (5) จะซึ่ง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โมเมนตัมเชิงมุมและแรงบิดพิสูจน์ทฤษฎีบท 7.4, หน้า 168: แรงบิดภายนอกทั้งหมดในระบบของอนุภาคเท่ากับอัตราเวลาของการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมของระบบโดยมีเงื่อนไขว่าแรงภายในระหว่างอนุภาคกองกำลังกลาง. เช่นเดียวกับในสมการ ( 1) ปัญหา 7.4 เราได้คูณทั้งสองข้างของ (1) โดย r + เรามีตั้งแต่(2) จะกลายเป็นข้อสรุปในช่วงวีใน (4) เราพบว่าตอนนี้ผลรวมคู่ใน (5) ประกอบด้วยข้อตกลงเช่นซึ่ง จะกลายเป็นในการเขียน f = ฉตามกฎข้อที่สามของนิวตัน, แล้วตั้งแต่เราคิดว่ากองกำลังเป็นศูนย์กลางเช่น F มีทิศทางเดียวกับท้าย, มันตามที่ (7) เป็นศูนย์และว่าผลรวมคู่ใน (5) เป็น ศูนย์ ดังนั้นสมการ (5) กลายเป็นที่