2. Model formulationWe consider the

2. Model formulation
We consider the mechanical response of a quasi-brittle material
under a general, three-dimensional stress state. The material is assumed
to contain a large number of penny-shaped cracks with different
sizes and orientations. As in previous work (Addessio and
Johnson, 1990; Zuo et al., 2006), the size distribution of the cracks
is assumed to remain isotropic (i.e., independent of the crack orientation)
and exponential during loading. Under such assumptions,
the probability density function (pdf) of the crack numbers can
be written as (Addessio and Johnson, 1990)
nðc; tÞ ¼
No
cðtÞ
expðc=cðtÞÞ; ð1Þ
where cðtÞ is the mean crack radius, and No is the initial crack number
density per solid angle. In the current model, No is kept as a
material constant, and the damage in the material is reflected
through the evolution of cðtÞ.
In the DCA model, the total strain rate _e is decomposed into the
contributions from the matrix (uncracked solid) and from the response
(open, shear, and growth) of microcracks. Here, to include
plastic deformation, the decomposition is modified as (Dienes
et al., 2006)
_e ¼ _ em þ _edc
þ e_ gr
c þ _ep; ð2Þ
where the strain rates related to the matrix, the opening and shear
of cracks (with the current sizes), and the growth of cracks are given
by, respectively,
e_m ¼ Cmr_ ;
_ edc
¼ DðcÞr_ ;
e_ gr
c ¼
@DðcÞ
@c
_
cr;
ð3Þ
where Cm is the compliance tensor of the matrix, DðcÞ is the damage
tensor, and _ ep is the plastic strain rate, which is to be defined later.
The plastic deformation considered in the current work refers to
deformation that cannot be recovered upon removal of the stress
on the material. For a crystalline solid, the physical (micromechanical)
origin of such deformation is the movement of dislocations
(slip) on the slip planes in the material. Deformation mechanisms
such as mechanical twinning and phase transformation are not
considered.
If the matrix is modeled by linear isotropic elasticity, then the
compliance tensor Cm of the matrix can be written as
Cm ¼
1
3K
Psp þ
1
2G
Pd; ð4Þ
where K and G are, respectively, the bulk and shear moduli of the
matrix, which are constants for the model. The spherical and deviatoric
projection operators are (e.g., Hansen and Schreyer, 1994)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2. แบบจำลองกำหนด
เราพิจารณาการตอบสนองทางกลของวัสดุเปราะกึ่ง
ภายใต้สภาวะความเครียดทั่วไป แบบสามมิติ สันนิษฐานวัสดุ
มีจำนวนเศษสตางค์รูปรอยแตกกับแตกต่าง
ขนาดและแนวการ ในงานก่อนหน้า (Addessio และ
Johnson, 1990 ซูยูเกธีมและ al., 2006), การกระจายขนาดของรอยแตกใน
ถือว่ายังคง isotropic (เช่น อิสระของแนวรอยแตก)
และเนนระหว่างการโหลด ภายใต้สมมติฐานดังกล่าว,
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าเป็น (pdf) ของรอยแตกสามารถ
เขียนเป็น (Addessio และ Johnson, 1990)
nðc tÞ ¼
ไม่มี
cðtÞ
expð c = cðtÞÞ ð1Þ
ที่ cðtÞ รัศมีหมายถึงแตก และไม่มีการเริ่มต้นถอดเลข
ความหนาแน่นต่อมุม ในรุ่นปัจจุบัน ไม่มีเก็บไว้เป็น
ค่าคงของวัสดุ และสะท้อนความเสียหายในวัสดุ
ผ่านวิวัฒนาการของ cðtÞ
ใน DCA แบบ แยกเป็น _e อัตราต้องใช้ทั้งหมด
ผลงาน จากเมทริกซ์ (uncracked ทึบ) และ จากการตอบสนอง
(เปิด เฉือน โต) ของ microcracks ที่นี่ รวม
แมพพลาสติก ปรับเปลี่ยนเป็นการเน่า (Dienes
et al., 2006)
_edc þ _e ¼_เอ็ม
þ e_ gr
c þ _ep ð2Þ
ราคาต้องใช้เกี่ยวข้องกับเมตริกซ์ เปิด และแรงเฉือนที่
รอยแตก (โดยปัจจุบันขนาด), และการเติบโตของรอยแตกได้
โดย ตาม ลำดับ,
e_m ¼ Cmr_;
_ edc
¼ Dð cÞr_;
e_ gr
cÞ c ¼
@Dð
@ c
_
cr;
ð3Þ
Cm tensor ปฏิบัติตามกฎระเบียบของเมตริกซ์ Dð cÞ เป็นความเสียหาย
tensor _ ep เป็น อัตราต้องใช้พลาสติกซึ่งจะกำหนดในภายหลัง
แมพพลาสติกที่พิจารณาในการทำงานปัจจุบันอ้างถึง
แมพที่ไม่สามารถกู้คืนเมื่อเอาความเครียด
บนวัสดุ สำหรับของแข็งผลึก กายภาพ (micromechanical)
จุดเริ่มต้นของแมพดังกล่าวเป็นการเคลื่อนที่ของ dislocations
(slip) บนเครื่องบินบันทึกในวัสดุนั้น กลไกแมพ
เช่น twinning กลและขั้นตอนการแปลง
ถือ
ถ้าเมตริกซ์จะจำลองตามความยืดหยุ่นเชิงเส้น isotropic นั้น
ปฏิบัติ tensor ซม.ของเมตริกซ์สามารถเขียนเป็น
ซม.¼
1
3K
Psp þ
1
2G
Pd ð4Þ
K และ G ตามลำดับ moduli จำนวนมากและแรงเฉือนของการ
เมตริกซ์ ซึ่งเป็นค่าคงที่สำหรับรูปแบบการ ทรงกลม และ deviatoric
ฉายดำเนินอยู่ (เช่น แฮนเซ่นและ Schreyer, 1994)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2 รุ่นกำหนด
เราพิจารณาการตอบสนองทางกลของวัสดุเสมือนเปราะ
ภายใต้ทั่วไปรัฐความเครียดสามมิติ วัสดุที่จะสันนิษฐาน
ว่ามีเป็นจำนวนมากของรอยแตกเงินรูปที่แตกต่างกัน
ขนาดและทิศทาง ในขณะที่การทำงานก่อนหน้า (Addessio และ
จอห์นสัน, 1990. Zuo, et al, 2006) การกระจายขนาดของรอยแตก
จะถือว่ายังคง isotropic (คือเป็นอิสระจากแนวรอยแตก)
และชี้แจงระหว่างการโหลด ภายใต้สมมติฐานดังกล่าว
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (PDF) ของตัวเลขร้าวสามารถ
เขียนเป็น (Addessio และจอห์นสัน, 1990)
NDC; TTH ¼
ไม่มี
cðtÞ?
EXPD c = cðtÞÞ?; ð1Þ
ที่ไหนcðtÞเป็นรอยแตกรัศมีเฉลี่ยและไม่มีรอยแตกเป็นจำนวนเริ่มต้น
ความหนาแน่นต่อมุมตัน ในรูปแบบปัจจุบันไม่มีจะถูกเก็บไว้เป็น
ค่าคงที่วัสดุและความเสียหายในวัสดุที่สะท้อนให้เห็น
ผ่านวิวัฒนาการของ? cðtÞ
ในรูปแบบ DCA, _e อัตราความเครียดทั้งหมดจะถูกย่อยสลายเป็น
เงินอุดหนุนจากแมทริกซ์ (Uncracked ของแข็ง) และจากการตอบสนอง
(เปิดแรงเฉือนและการเจริญเติบโต) ของ microcracks ที่นี่จะรวม
การเสียรูปพลาสติกย่อยสลายมีการแก้ไขเป็น (Dienes
et al, 2006).
_e ¼ _ em þ _edc
þ e_ กรัม
คþ _ep; ð2Þ
ที่อัตราความเครียดที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์เปิดและแรงเฉือน
ของรอยแตก (มีขนาดปัจจุบัน) และการเจริญเติบโตของรอยแตกจะได้รับ
โดยตามลำดับ
e_m ¼ Cmr_;
_ edc
¼ DD cÞr_?
e_ กรัม
ค¼
@ DD CTH?
@ ค?
_?
cr:
ð3Þ
? ที่ซมเป็นเมตริกซ์การปฏิบัติตามของเมทริกซ์, DD CTH ความเสียหาย
เมตริกซ์และอี _ เป็นอัตราความเครียดพลาสติกซึ่งจะกำหนดภายหลัง
การเสียรูปพลาสติกพิจารณาใน การทำงานในปัจจุบันหมายถึง
ความผิดปกติที่ไม่สามารถกู้คืนเมื่อการกำจัดของความเครียด
บนวัสดุ สำหรับผลึกแข็งทางกายภาพ (กลไกจุลภาค)
ที่มาของความผิดปกติดังกล่าวเป็นความเคลื่อนไหวของผลกระทบ
(สลิป) บนเครื่องบินลื่นในวัสดุ กลไกความผิดปกติ
เช่นการจับคู่ทางกลและการเปลี่ยนเฟสไม่ได้
รับการพิจารณา
หากเมทริกซ์เป็นแบบจำลองโดยความยืดหยุ่น isotropic เชิงเส้นแล้ว
เมตริกซ์การปฏิบัติตามเซนติเมตรของเมทริกซ์สามารถเขียนเป็น
เซนติเมตร¼
1
3K
PSP ของþ
1
2G
Pd; ð4Þ
ที่ K และ G เป็นตามลำดับกลุ่มและเฉือนมอดูลัสของ
เมทริกซ์ซึ่งเป็นค่าคงที่สำหรับรูปแบบ ทรงกลมและ deviatoric
ผู้ประกอบการมีการฉาย (เช่นแฮนเซนและ Schreyer, 1994)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 . รูปแบบการกำหนด
เราพิจารณาการตอบสนองเชิงกลของวัสดุกึ่งเปราะ
ภายใต้ทั่วไป , รัฐความเครียดสามมิติ วัสดุถือว่า
มีตัวเลขขนาดใหญ่ของเพนนีรูปรอยแตกมีขนาดแตกต่างกัน
และการอบรม ในผลงานที่ผ่านมา ( addessio และ
จอห์นสัน , 1990 ; จั่ว et al . , 2006 ) , การกระจายขนาดของรอยแตก
ถือว่ายังคงอยู่แบบ ( เช่นอิสระของรอยแตกและปฐมนิเทศ )
ชี้แจงในระหว่างการโหลด ภายใต้สมมติฐานดังกล่าว
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ( PDF ) ของรอยแตกตัวเลขสามารถ
สามารถเขียนเป็น ( addessio และจอห์นสัน , 1990 )
n ð C ; T Þ¼

ไม่  C ð T
Þ EXP ð  C =  C ð T ÞÞ ; ð 1 Þ
ที่  C ð T Þคือหมายถึงรอยแตกรัศมี และไม่แตกเป็นครั้งแรกหมายเลข
ความหนาแน่นต่อของแข็งมุม ในรุ่นปัจจุบัน ไม่เก็บไว้เป็น
วัสดุคงและความเสียหายของวัสดุสะท้อน
ผ่านวิวัฒนาการของ  C ð T Þ .
ใน DCA แบบ , _e อัตราความเครียดทั้งหมดถูกย่อยสลายไป
เขียนจากเมทริกซ์ ( uncracked แข็ง ) และจากการตอบรับ
( เปิด แรงเฉือน และการเจริญเติบโตของ microcracks . ที่นี่ รวม
การเสียรูปพลาสติก , การดัดแปลง ( อีน
et al . , 2006 )
_e ¼ _ เอ็มþ _edc
þ e_ GR
c þ _ep ; ðÞ
2ซึ่งสายพันธุ์อัตราที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ เปิด 0
ของรอยแตก ( ที่มีขนาดในปัจจุบัน ) และการขยายตัวของรอยแตกให้

e_m โดยตามลำดับ ¼ cmr_ ;
_ EDC
¼ D ð  C Þ r_ ;
e_ GR
c ¼
@ D ð  c Þ
@  C
_ 
CR ;
3
ðÞที่เซน ใช้เมตริกซ์ของเมทริกซ์ , D ð  C Þคือความเสียหาย
เมตริกซ์ และ _ EP คืออัตราความเครียดพลาสติก ซึ่งจะกำหนดในภายหลัง
พลาสติกในงานปัจจุบัน หมายถึง การพิจารณา

รูปที่ไม่สามารถกู้คืนเมื่อการกำจัดความเครียด
บนวัสดุ สำหรับผลึกของแข็ง , ฟิสิกส์ ( micromechanical )
กำเนิดเช่นเสียรูป คือการเคลื่อนที่ของภาพยนตร์ชีวประวัติ
( ลื่น ) ในการจัดส่งเครื่องบินในวัสดุ กลไกการเปลี่ยนรูป
เช่นเครื่องจักรกลและบิดเปลี่ยนเฟสไม่
ถือว่า
ถ้าเมทริกซ์แบบเชิงเส้นแบบยืดหยุ่นแล้ว
ตามเมตริกซ์ซม. ของเมทริกซ์สามารถเขียนเป็น

1
3 k
ซม. ¼ PSP þ
1
G
PD ; ð 4 Þ
ที่ K และ g คือ ตามลำดับ และค่าโมดูลัสแรงเฉือน เป็นกลุ่มของ
Matrix ซึ่งเป็นค่าคงที่สำหรับรูปแบบ ทรงกลม deviatoric
และผู้ประกอบการประมาณการ ( เช่น แฮนเซน และ ไชเรอร์ , 1994 )