Case y >1: If x = 0 , we have 1+ 2y

Case y >1: If x = 0 , we have 1+ 2y = z2 . By lemma 2.3, the solution (3,3) is a
unique solution ( y, z) for the Diophantine equation z2 − 2y =1.
Hence, x ≥1. Note that z is odd. Then z2 ≡1(mod4). Since y ≥ 2 ,
so 2y ≡ 0 (mod 4) . Thus 19x ≡1 (mod 4) . Since 19 ≡ 3 (mod 4)
and 192 ≡ 33 ≡1 (mod 4) , so , but 192n+1 ≡ 3 (mod4).
Hence, x is even. Let x = 2k where k is a positive integer.
Then z2 −192k = 2y . Then (z −19k )(z +19k )= 2y . So z −19k = 2u
and z +19k = 2y−u where u is a non-negative integer. Then
2(19k )= 2y−u − 2u = 2u (2y−2u −1) where y > 2u . It follows that u =1.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กรณี Y> 1: ถ้า x = 0 เรามี 1+ 2y = z2 โดยแทรก 2.3 การแก้ปัญหา (3,3)
เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน(y, z) สำหรับสม Diophantine z2. - 2y = 1
ดังนั้น x ≥1 หมายเหตุซีที่เป็นเลขคี่ จากนั้น z2 ≡1 (mod4) ตั้งแต่ปี≥ 2
เพื่อ 2y ≡ 0 (4 สมัย) ดังนั้น 19X ≡1 (4 สมัย) ตั้งแต่วันที่ 19 ≡ 3 (4 สมัย)
และ 192 ≡ 33 ≡1 (4 สมัย) แต่ 192n + 1 ≡ 3 (mod4).
ดังนั้น x คือแม้ ให้ x = 2k ที่ k เป็นจำนวนเต็มบวก.
แล้ว z2 -192k = 2y จากนั้น (ซี -19k) (ซี + 19k) = 2y ดังนั้นซี -19k = 2u
z และ + 19k = 2y-U ที่ u เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ จากนั้น
2 (19k) = 2y-U - 2u = 2u (2y-2u -1) โดยที่ y> 2u มันตามที่ยู = 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กรณี y > 1 : ถ้า x = 0 , เรามี 1 2y = กขึ้น . โดยแทรก 2.3 , โซลูชั่น ( 3 , 3 ) เป็นโซลูชั่น
( Y , Z ) สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์กขึ้น 2y = − 1 .
ดังนั้น x ≥ 1 ทราบว่า Z เป็นคี่ แล้ว≡กขึ้น 1 ( mod4 ) ตั้งแต่ Y ≥ 2 2y
ดังนั้น≡ 0 ( mod 4 ) ดังนั้น 19x ≡ 1 ( mod 4 ) ตั้งแต่ 19 ≡ 3 ( mod 4 )
และ 192 ≡ 33 ≡ 1 ( mod 4 ) ดังนั้น แต่ 192n 1 ≡ 3 ( mod4 ) .
ดังนั้น x จะได้ ให้ x = 2k ที่ k เป็นจำนวนเต็มบวก .
จากนั้นกขึ้น− 192k = 2y . แล้ว ( Z − 19k ) ( Z 19k ) = 2y . ดังนั้น y − 19 k = 2U
และ Z = 2y 19K − U ที่เป็นไม่ลบจำนวนเต็ม งั้น
2 ( 19k ) = 2y −− U 2U = 2U ( 2y − 2U − 1 ) ที่ Y > 2U . มันคือ u = 1