If a sequence converges strongly, t

If a sequence converges strongly, then it converges weakly as well.
Since every closed and bounded set is weakly relatively compact (its closure in the weak topology is compact), every bounded sequence x_n in a Hilbert space H contains a weakly convergent subsequence. Note that closed and bounded sets are not in general weakly compact in Hilbert spaces (consider the set consisting of an orthonormal basis in an infinitely dimensional Hilbert space which is closed and bounded but not weakly compact since it doesn't contain 0). However, bounded and weakly closed sets are weakly compact so as a consequence every convex bounded closed set is weakly compact.
As a consequence of the principle of uniform boundedness, every weakly convergent sequence is bounded.
The norm is (sequentially) weakly lower-semicontinuous: if x_n converges weakly to x, then

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ถ้าลำดับ converges อย่างยิ่ง แล้วมัน converges weakly เช่นเนื่องจากทุกชุดปิด และกี่สูญค่อนข้าง กะทัดรัด (ปิดในโทโพโลยีอ่อนมีขนาดเล็ก), x_n ทุกกี่ลำดับในพื้นที่ฮิลแบร์ท H ประกอบด้วย subsequence convergent การสูญ หมายเหตุว่า ปิด และกี่ชุดไม่ทั่วไปกระชับสูญในช่องว่างของฮิลแบร์ท (พิจารณาประกอบด้วยการเป็น orthonormal ในการพื้นที่ฮิลแบร์ทเพียงมิติ ที่ถูกปิดล้อมรอบแต่กระชับไม่สูญเนื่องจากมันไม่ได้ประกอบด้วย 0 ชุด) อย่างไรก็ตาม ชุดปิดกี่ และสูญกระชับสูญจึงเป็นสัจจะเป็น ชุดปิดกี่ทุกนูน กระชับสูญทุกลำดับ convergent สูญอยู่ล้อมรอบเป็นลำดับหลักของ boundedness รูปปกติเป็นสูญ (ตามลำดับ) ต่ำกว่า semicontinuous: ถ้า x_n converges weakly เพื่อ x แล้ว

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ถ้าลำดับลู่อย่างยิ่งแล้วมันลู่อ่อนเช่นกัน.
เนื่องจากทุกคนปิดและล้อมรอบชุดอ่อนค่อนข้างมีขนาดกะทัดรัด (ปิดในโครงสร้างที่อ่อนแอมีขนาดเล็ก) ทุก x_n ลำดับล้อมรอบในพื้นที่ Hilbert H มี subsequence มาบรรจบกันอย่างอ่อน โปรดทราบว่าปิดและชุดที่สิ้นสุดไม่ได้อยู่ในทั่วไปที่ไม่ค่อยมีขนาดกะทัดรัดในพื้นที่ Hilbert (พิจารณาชุดประกอบด้วย orthonormal พื้นฐานในพื้นที่ Hilbert มิติอนันต์ซึ่งถูกปิดและล้อมรอบ แต่ไม่อ่อนขนาดกะทัดรัดเพราะมันไม่ได้มี 0) แต่ล้อมรอบและชุดปิดที่ไม่ค่อยมีความอ่อนขนาดกะทัดรัดเพื่อให้เป็นผลทุกนูนล้อมรอบปิดชุดมีขนาดเล็กอย่างอ่อน.
เป็นผลมาจากหลักการของ boundedness เครื่องแบบทุกลำดับมาบรรจบกันที่ไม่ค่อยเป็นที่สิ้นสุด.
บรรทัดฐานคือ (ตามลำดับ) อ่อนล่าง semicontinuous ถ้า x_n ลู่ที่ไม่ค่อยจะ x แล้ว

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ถ้าลำดับ converges ขอแล้วมันๆอย่างอ่อนเช่นกัน
เนื่องจากทุกปิดและล้อมรอบไว้อย่างอ่อนค่อนข้างกะทัดรัด ( ปิดในโครงสร้างที่อ่อนแอมีขนาดเล็ก ) , ทุก x_n จำกัดลำดับใน H พื้นที่ที่แท้จริงประกอบด้วยจากนั้นลู่เข้าอย่างอ่อน .หมายเหตุ ปิดและจำกัดชุดไม่ทั่วไปอย่างอ่อนขนาดกะทัดรัดในฮิลเบิร์ตเป็น ( พิจารณาชุดประกอบด้วยพื้นฐานการทในมิติที่แท้จริงซึ่งเป็นอนันต์พื้นที่ปิดและจำกัด แต่ไม่เบามากกะทัดรัดเนื่องจากไม่ประกอบด้วย 0 ) อย่างไรก็ตาม ล้อมรอบและ weakly ปิดชุดติดปีกกระชับเพื่อผลทุกนูนล้อมรอบปิดชุดติดปีก
ขนาดกะทัดรัดผลที่ตามมาของหลักการมีขอบเขตเหมือนกัน ทุก ๆลำดับลู่เข้าอย่างอ่อนล้อมรอบ .
บรรทัดฐาน ( ตามลำดับ ) อย่างอ่อนลด semicontinuous : ถ้า x_n ป้อแป้ๆ X แล้ว