In mathematics, the error function

In mathematics, the error function (also called the Gauss error function) is a special function (non-elementary) of sigmoid shape that occurs in probability, statistics, and partial differential equations describing diffusion. It is defined as:[1][2]

operatorname{erf}(x) = frac{2}{sqrtpi}int_0^x e^{-t^2},mathrm dt.
The complementary error function, denoted erfc, is defined as

egin{align}
operatorname{erfc}(x) & = 1-operatorname{erf}(x) \
& = frac{2}{sqrtpi} int_x^{infty} e^{-t^2},mathrm dt \
& = e^{-x^2} operatorname{erfcx}(x),
end{align}
which also defines erfcx, the scaled complementary error function[3] (which can be used instead of erfc to avoid arithmetic underflow[3][4]). Another form of operatorname{erfc}(x) is known as Craig's formula:[5]

egin{align}
operatorname{erfc}(x) & = frac{2}{pi} int_0^{pi/2} exp left( - frac{x^2}{sin^2 heta}
ight) d heta.
end{align}
The imaginary error function, denoted erfi, is defined as

egin{align}
operatorname{erfi}(x) & = -ioperatorname{erf}(ix) \
& = frac{2}{sqrtpi} int_0^x e^{t^2},mathrm dt \
& = frac{2}{sqrt{pi}} e^{x^2} D(x),
end{align}
where D(x) is the Dawson function (which can be used instead of erfi to avoid arithmetic overflow[3]).

Despite the name "imaginary error function", operatorname{erfi}(x) is real when x is real.

When the error function is evaluated for arbitrary complex arguments z, the resulting complex error function is usually discussed in scaled form as the Faddeeva function:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันข้อผิดพลาดที่ (เรียกว่าข้อผิดพลาดฟังก์ชันเกาส์) เป็นฟังก์ชันพิเศษ (ที่ไม่ใช่ระดับประถม) รูปร่าง sigmoid ที่เกิดขึ้นน่าเป็น สถิติ และอธิบายการกระจายสมการความแตกต่างบางส่วน มีกำหนดเป็น: [1] [2]operatorname{erf}(x) = frac{2}{sqrtpi}int_0^x e ^ {-t ^ 2 } ,mathrm dtฟังก์ชันข้อผิดพลาดเพิ่มเติม erfc ระบุ กำหนดเป็นegin{align } operatorname{erfc}(x) และ = 1-operatorname{erf}(x) \ และ = frac{2}{sqrtpi } int_x^{infty } e ^ {-t ^ 2 } ,mathrm dt \ และ = e ^ {-x ^ 2 } operatorname{erfcx}(x) end{align } ซึ่งยังกำหนด erfcx ฟังก์ชันข้อผิดพลาดเพิ่มเติมเพื่อปรับ [3] (ซึ่งใช้แทน erfc เพื่อหลีกเลี่ยงการ underflow[3][4]) ทางคณิตศาสตร์ รูปแบบของ operatorname{erfc}(x) ที่เรียกว่าสูตรของเครก: [5]egin{align } operatorname{erfc}(x) & = frac{2}{pi } int_0^{pi/2 } exp left (-frac{x^2}{sin^2 heta }
ight) d heta end{align } ฟังก์ชันข้อผิดพลาดในจินตนาการ erfi ระบุ กำหนดเป็นegin{align } operatorname{erfi}(x) และ =-ioperatorname{erf}(ix) \ และ = frac{2}{sqrtpi } int_0^x e ^ { t ^ 2 } ,mathrm dt \ และ = frac{2}{sqrt{pi } } e ^ { x ^ 2 } D(x) end{align } ที่ D(x) เป็นฟังก์ชันดอว์สัน (ซึ่งใช้แทน erfi เพื่อหลีกเลี่ยงการ overflow[3]) ทางคณิตศาสตร์แม้จะชื่อ "จินตนาการข้อผิดพลาดฟังก์ชัน" operatorname{erfi}(x) เป็นจริงเมื่อ x เป็นจริงเมื่อฟังก์ชันข้อผิดพลาดจะถูกประเมินสำหรับอาร์กิวเมนต์ซับซ้อนโดยอำเภอใจ z ฟังก์ชันซับซ้อนข้อผิดพลาดผลลัพธ์มักจะกล่าวถึงในแบบฟอร์มการปรับเป็นฟังก์ชัน Faddeeva:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันข้อผิดพลาด (ที่เรียกว่าฟังก์ชั่นข้อผิดพลาดเกาส์) เป็นฟังก์ชั่นพิเศษ (Non-ประถม) ของรูปร่าง sigmoid ที่เกิดขึ้นในความน่าจะเป็นสถิติและสมการเชิงอนุพันธ์อธิบายการแพร่กระจาย มันถูกกำหนดให้เป็น: [1] [2] operatorname {ERF} (x) = frac {2} { sqrt Pi} int_0 ^ XE ^ {- T ^ 2} , mathrm DT. เสริม ฟังก์ชั่นความผิดพลาด ERFC แสดงถูกกำหนดให้เป็น begin {align} operatorname {ERFC} (x) = & 1- operatorname {ERF} (x) \ & = frac {2} { sqrt Pi} int_x ^ { infty} ^ {E - T ^ 2} , mathrm DT \ & E = ^ {- x ^ 2} operatorname {erfcx} (x) end {} จัดซึ่งยังกำหนด erfcx, ฟังก์ชั่นปรับขนาดข้อผิดพลาดเสริม [3] (ซึ่งสามารถนำมาใช้แทนเพื่อหลีกเลี่ยงการ ERFC underflow เลขคณิต [3] [4]) รูปแบบของ operatorname {ERFC} (x) เป็นที่รู้จักกันเป็นสูตรของเครกอื่น: [5] begin {align} operatorname {ERFC} (x) และ = frac {2} { Pi} int_0 ^ { Pi / 2} ประสบการณ์ left. (- frac {x ^ 2} { บาป ^ 2 theta} ขวา) d theta end {align} ฟังก์ชั่นข้อผิดพลาดจินตนาการ erfi แสดงถูกกำหนดให้เป็น begin { จัด} operatorname {erfi} (x) = & -i operatorname {ERF} (ix) \ & = frac {2} { sqrt Pi} ^ int_0 XE ^ T ^ {2} , mathrm DT \ & = frac {2} { sqrt { Pi}} E ^ {x ^ 2} D (x) end {} จัดที่ D (x) เป็นฟังก์ชั่นดอว์สัน (ซึ่งสามารถนำมาใช้ แทนการ erfi เพื่อหลีกเลี่ยงการล้นเลขคณิต [3]). แม้จะมีชื่อ "ฟังก์ชั่นในจินตนาการข้อผิดพลาด" operatorname {erfi} (x) เป็นจริงเมื่อ x เป็นจริง. เมื่อฟังก์ชั่นข้อผิดพลาดจะประเมินข้อโต้แย้งที่ซับซ้อนโดยพล Z, ที่เกิด ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนข้อผิดพลาดมักจะกล่าวถึงในรูปแบบปรับขนาดเป็นฟังก์ชั่น Faddeeva:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันข้อผิดพลาด ( เรียกว่าฟังก์ชันเกาส์ข้อผิดพลาด ) เป็นฟังก์ชันพิเศษ ( ไม่ถม ) ของรูปแบบที่เกิดขึ้นใน สถิติ ความน่าจะเป็น และสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยการแพร่ มันหมายถึง : [ 1 ] [ 2 ]operatorname ERF } { ( x ) = frac SQRTPI } { 2 } { int_0 ^ x e ^ { - t ^ 2 } , mathrm DT .ฟังก์ชันข้อผิดพลาดประกอบกล่าวคือ ACOS , มีการกําหนด เช่นegin { จัด }operatorname ACOS } { ( x ) = 1-operatorname ERF } { ( x ) n= frac & { 2 } { } { } infty SQRTPI int_x ^ E ^ { - t ^ 2 } , N mathrm แฟรช& = e ^ { - x ^ 2 } { erfcx operatorname } ( x )จบ { จัด }ซึ่งกำหนด erfcx , ปรับเสริมฟังก์ชันข้อผิดพลาด [ 3 ] ( ซึ่งสามารถใช้แทน ACOS เพื่อหลีกเลี่ยงค่าขีดเส้นใต้ [ 3 ] [ 4 ] ) อีกรูปแบบหนึ่งของ operatorname ACOS } { ( x ) เป็นที่รู้จักกันเป็นเครกสูตร : [ 5 ]egin { จัด }operatorname ACOS } { ( x ) = frac { 2 } { พาย } ^ { 2 } int_0 pi / EXP ซ้าย ( - frac { x ^ 2 } { } ^ 2 กีซา บาปight ) D กีซา .จบ { จัด }ฟังก์ชันข้อผิดพลาดที่แสดง erfi , หมายถึงegin { จัด }operatorname { erfi } ( x ) = - ioperatorname { ERF } ( 9 )= frac & { 2 } { ^ ^ } int_0 SQRTPI x e { t ^ 2 } , N mathrm แฟรช= frac & { 2 } { { พาย } } SQRT E ^ { x ^ 2 } D ( x )จบ { จัด }ที่ d ( x ) คือฟังก์ชันดอว์สัน ( ซึ่งสามารถใช้งานแทน erfi เพื่อหลีกเลี่ยงค่าล้น [ 3 ] )แม้ชื่อ " ฟังก์ชัน " ข้อผิดพลาดในจินตนาการ operatorname { erfi } ( x ) เป็นจริงเมื่อ x คือจริงเมื่อฟังก์ชันข้อผิดพลาดจะถูกประเมินสำหรับข้อที่ซับซ้อนอาร์กิวเมนต์ Z ผลซับซ้อนข้อผิดพลาดการทำงานมักจะถูกกล่าวถึงในการปรับรูปแบบเป็นฟังก์ชัน faddeeva :