THE MOST COMMON ERRORS IN UNDERGRAD

THE MOST COMMON ERRORS IN
UNDERGRADUATE MATHEMATICS

This web page describes the errors that I have seen most frequently in undergraduate mathematics, the likely causes of those errors, and their remedies. I am tired of seeing these same old errors over and over again. (I would rather see new, original errors!) I caution my undergraduate students about these errors at the beginning of each semester. Outline of this web page:

ERRORS IN COMMUNICATION, including teacher hostility or arrogance, student shyness, unclear wording, bad handwriting, not reading directions, loss of invisible parentheses, terms lost inside an ellipsis
ALGEBRA ERRORS, including sign errors, everything is additive, everything is commutative, undistributed cancellations, dimensional errors
CONFUSION ABOUT NOTATION, including idiosyncratic inverses, square roots, order of operations, ambiguously written fractions, stream-of-consciousness notations.
ERRORS IN REASONING, including going over your work, overlooking irreversibility, not checking for extraneous roots, confusing a statement with its converse, working backward, difficulties with quantifiers, erroneous methods that work, unquestioning faith in calculators.
UNWARRANTED GENERALIZATIONS, including Euler's square root error, xx.
OTHER COMMON CALCULUS ERRORS, including jumping to conclusions about infinity, loss or misuse of constants of integration, loss of differentials.
(There is some overlap among these topics, so I recommend reading the whole page.) ... Of related interest: Paul Cox's web page, and the books of Bradis, Minkovskii, and Kharcheva and E. A. Maxwell.
Ultimately, what are the sources of errors and of misunderstanding? What kinds of biases and erroneous preconceptions do we have? Two of my favorite historic discoveries are Einstein's discovery of relativity and Cantor's discoveries of some of the most basic rules of infinities. These discoveries are remarkable in that neither involved long, involved, complicated computations. Both are fairly simple, in retrospect, to anyone who has studied them. But both involved "thinking outside the box" par excellence -- i.e., seeing past the assumptions that were inherent in our culture and our language. As philosopher John Culkin said, "We don't know who discovered water, but we are certain it wasn't a fish." That certain mathematical errors are common among students may be partly a consequence of biases that are built into our language and culture, some of which we aren't even aware of.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ข้อผิดพลาดทั่วไปใน ปริญญาตรีคณิตศาสตร์เว็บนี้อธิบายถึงข้อผิดพลาดที่ฉันได้เห็นบ่อยในคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี สาเหตุของข้อผิดพลาด และการเยียวยาของพวกเขา ฉันเหนื่อยเห็นข้อผิดพลาดเก่าเดียวกันเล่า (จะค่อนข้างเห็นข้อผิดพลาดใหม่ เดิม) ฉัน caution ฉันเรียนเกี่ยวกับข้อผิดพลาดเหล่านี้ที่จุดเริ่มต้นของแต่ละภาคเรียน เค้าโครงของหน้าเว็บนี้:เงื่อนไขข้อผิดพลาดในการสื่อสาร รวมถึงครูศัตรู หรือหยิ่ง ความอายนักเรียน ข้อความชัดเจน ลายมือไม่ดี ไม่อ่านคำแนะนำ สูญเสียมองไม่เห็นวงเล็บ หายไปภายในไข่พีชคณิตข้อผิดพลาด ข้อผิดพลาดในการเข้าสู่ระบบ รวมถึงทุกสิ่งทุกอย่างเป็นสามารถ ทุกอย่างจะสลับ ไม่ได้กระจายยกเลิก มิติข้อผิดพลาดความสับสนเกี่ยวกับสัญกรณ์ รวม idiosyncratic inverses ราก ลำดับการดำเนินการ ambiguously เขียนเศษส่วน กระแสสำนึกฯลฯข้อผิดพลาดในด้าน รวมจะมากกว่างานของคุณ มองเห็น irreversibility ไม่ตรวจสอบสำหรับรากที่ไม่เกี่ยวข้อง confusing งบกับตรงกันข้ามของ ทำงานย้อนหลัง ความยากลำบากกับบอก วิธีการมีข้อผิดพลาดที่ทำงาน ความเชื่อ unquestioning ในเครื่องคิดเลขUNWARRANTED GENERALIZATIONS รวมถึงข้อผิดพลาดรากของออยเลอร์ xxอื่น ๆ ทั่วไปแคลคูลัสข้อผิดพลาด รวมถึงกระโดดไปบทสรุปเกี่ยวกับอินฟินิตี้ สูญหาย หรือนำค่าคงที่ของการรวม การสูญหายของ differentials(มีเป็นบางอย่างทับซ้อนระหว่างหัวข้อเหล่านี้ ดังนั้นฉันขอแนะนำให้อ่านหน้าทั้งหมด) ... น่าสนใจที่เกี่ยวข้อง: Paul ค็อกซ์เว็บเพจ และหนังสือ Bradis, Minkovskii, Kharcheva และ แมกซ์เวลล์ A. E.ในที่สุด อะไรคือแหล่ง ของข้อผิดพลาด และเข้าใจผิด เรามีชนิดของยอมและ preconceptions พลาด ค้นพบประวัติศาสตร์ของฉันชื่นชอบทั้งสองได้ค้นพบทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์และการค้นพบของคันทอร์ของกฎพื้นฐานที่สุดของสระ การค้นพบเหล่านี้จะโดดเด่นที่ไม่เกี่ยวข้องกับยาว ซับซ้อน ส่วนร่วมประมวลผล ทั้งสองจะค่อนข้างง่าย retrospect สำหรับทุกคนที่ได้ศึกษา แต่ทั้งสองเกี่ยวข้องกับ "คิดนอกกล่อง" ตราเลิศ - เช่น เห็นสมมติฐานที่มีในภาษาและวัฒนธรรมของเราที่ผ่านมา เป็นนักปราชญ์ จอห์นเลย์คัลกินกล่าวว่า "เราไม่รู้ที่ค้นพบน้ำ แต่เรามีบางอย่างมันไม่ได้ปลา" ข้อผิดพลาดบางอย่างทางคณิตศาสตร์ใช้ทั่วไปในหมู่นักเรียนได้บางส่วนเวรยอมที่อยู่ในภาษาและวัฒนธรรม บางที่ที่เราไม่รับรู้ของเรา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ข้อผิดพลาดที่พบมากที่สุดในระดับปริญญาตรีคณิตศาสตร์หน้าเว็บนี้อธิบายถึงข้อผิดพลาดที่ฉันได้เห็นบ่อยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีที่สาเหตุของความผิดพลาดเหล่านั้นและการเยียวยาของพวกเขา ผมเบื่อเห็นข้อผิดพลาดเก่าเดียวกันนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก (ผมค่อนข้างจะเห็นใหม่ข้อผิดพลาดเดิม!) ฉันเตือนนักศึกษาระดับปริญญาตรีของฉันเกี่ยวกับข้อผิดพลาดที่จุดเริ่มต้นของแต่ละภาคการศึกษา โครงร่างของหน้าเว็บนี้: ข้อผิดพลาดในการสื่อสารรวมทั้งความเป็นปรปักษ์ครูหรือหยิ่งขี้อายนักเรียนถ้อยคำที่ชัดเจนเขียนด้วยลายมือที่ไม่ดีไม่ได้อ่านทิศทางการสูญเสียของวงเล็บที่มองไม่เห็นแง่หายไปภายในจุดไข่ปลาข้อผิดพลาด ALGEBRA รวมทั้งข้อผิดพลาดของสัญญาณทุกอย่างเป็นสารเติมแต่ง ทุกอย่างเป็นสับเปลี่ยนยกเลิกไม่ได้แจกข้อผิดพลาดมิติความสับสนเกี่ยวกับNOTATION รวมถึงการแปรผกผันกันนิสัยรากตารางการดำเนินงานเพื่อเศษส่วนเขียนคลุมเครือ, สัญลักษณ์กระแสของสติ. ข้อผิดพลาดในการให้เหตุผลรวมทั้งไปกว่าการทำงานของคุณสามารถมองเห็นกลับไม่ได้, ไม่ได้ตรวจสอบ รากภายนอกสับสนคำสั่งที่มีการสนทนาของการทำงานย้อนหลังความยากลำบากที่มีปริมาณวิธีการที่ผิดพลาดที่ทำงานความเชื่อกังขาในเครื่องคิดเลข. ไม่มีเหตุผล generalizations รวมทั้งข้อผิดพลาดรากที่สองออยเลอร์, XX. ผิดพลาดอื่น ๆ CALCULUS ทั่วไปรวมทั้งการกระโดดไปสู่ข้อสรุปเกี่ยวกับอินฟินิตี้ การสูญเสียหรือผิดของค่าคงที่ของการรวมการสูญเสียของความแตกต่าง. (มีการทับซ้อนกันในหัวข้อเหล่านี้บางอย่างดังนั้นผมขอแนะนำให้อ่านทั้งหน้า.) ... ที่น่าสนใจที่เกี่ยวข้องกันหน้าเว็บของพอลคอคส์และหนังสือของ Bradis, Minkovskii และ Kharcheva และ EA แมกซ์เวล. ในที่สุดสิ่งที่เป็นแหล่งที่มาของข้อผิดพลาดและความเข้าใจผิดหรือไม่ สิ่งที่ชนิดของอคติและอคติที่ผิดพลาดเราไม่ได้? สองของการค้นพบประวัติศาสตร์ที่ชื่นชอบที่มีการค้นพบของ Einstein ของความสัมพันธ์และการค้นพบต้นเสียงของบางส่วนของกฎพื้นฐานที่สุดของอนันต์ การค้นพบเหล่านี้เป็นที่โดดเด่นในการมีส่วนร่วมที่ไม่ยาวที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณที่ซับซ้อน ทั้งสองจะค่อนข้างง่ายในการหวนกลับไปยังทุกคนที่ได้ศึกษาพวกเขา แต่ทั้งสองมีส่วนร่วม "คิดนอกกรอบ" เลิศ - คือเห็นสมมติฐานที่ผ่านมาที่มีอยู่ในวัฒนธรรมและภาษาของเรา ในฐานะที่เป็นนักปรัชญาจอห์นคัลกินกล่าวว่า "เราไม่ทราบว่าใครค้นพบน้ำ แต่เรามีบางอย่างที่มันไม่ได้ปลา." ว่าข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์บางอย่างเป็นเรื่องธรรมดาในหมู่นักเรียนอาจจะเป็นส่วนหนึ่งเป็นผลมาจากอคติที่ถูกสร้างขึ้นเป็นภาษาและวัฒนธรรมของเราบางอย่างที่เราไม่ได้ตระหนักถึง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในระดับปริญญาตรีคณิตศาสตร์

เว็บนี้อธิบายข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดในคณิตศาสตร์ ปริญญาตรี ที่เป็นสาเหตุให้เกิดข้อผิดพลาดเหล่านั้นและวิธีแก้ของ ฉันเบื่อที่จะเห็นข้อผิดพลาดเหล่านี้เดิมซ้ำแล้วซ้ำอีก ( ผมค่อนข้างจะเห็นข้อผิดพลาดเดิมใหม่ !) ฉันเตือนฉันของนักศึกษาเกี่ยวกับข้อผิดพลาดเหล่านี้ที่จุดเริ่มต้นของแต่ละภาคการศึกษา เค้าโครงของหน้าเว็บนี้ :

ผิดพลาดในการสื่อสาร รวมถึงความเป็นปรปักษ์ ครู หรือ ความจองหอง นักเรียนไม่กล้า หรือถ้อยคํา , ลายมือไม่ดี ไม่อ่านเส้นทางการสูญเสียวงเล็บมองไม่เห็นแง่เสียภายในสะเก็ดดาว
พีชคณิตข้อผิดพลาด รวมถึงข้อผิดพลาดเข้าสู่ระบบทุกอย่างการบวกทุกอย่างที่เกี่ยวกับการสับเปลี่ยน undistributed ยกเลิก , มิติ , ข้อผิดพลาด
สับสนเกี่ยวกับโน้ต รวมทั้งมีตรงกันข้าม รากสแควร์ เพื่อปฏิบัติการ การเขียนเศษส่วน , กระแสของสัญกรณ์สติ .
ความผิดพลาดในการให้เหตุผล รวมทั้งจะไปทำงาน เห็นวิวต่อ ไม่ได้ตรวจสอบรากนอกกาย แถลงการณ์ของ Converse สับสนทำงานไป ปัญหากับตัวบ่งปริมาณ ระเบียบวิธีที่ทำงานผิดพลาดเชื่อไม่มีปัญหาในเครื่องคิดเลข
เหตุผลทั่วไป รวมทั้งข้อความคาดการณ์ของกรณฑ์ข้อผิดพลาด , X%
ข้อผิดพลาดอื่น ๆแคลคูลัสทั่วไป รวมทั้งจะได้ข้อสรุปเกี่ยวกับ Infinity , การสูญเสียหรือการใช้ค่าคงที่ของการรวม , การสูญเสียข้อมูล .
( มีบางส่วนทับซ้อนในหัวข้อเหล่านี้ ,