Chapter 1LogarithmsAs we mentioned

Chapter 1
Logarithms
As we mentioned in the BIG PICTURE in Volume 1, logarithms were originally devised to turn
multiplication and division problems into addition and subtraction ones. Let’s take a closer look at
how this works.
Suppose we are asked to find (1234)(5678). Normal multiplication would be quite tedious.
Instead, we note that for some x and y, we can write
10x = 1234 and 10y = 5678,
so that
log 1234 = x and log 5678 = y.
Hence, (1234)(5678) = 10x10y = 10x+y. Taking logarithms of this last relation (remember that a
logarithm with no base indicated is assumed to be base 10), we have
log(10x10y) = log(10x+y) = x + y = log 10x + log 10y.
In other words, log(1234)(5678) = log 1234 + log 5678. Neat! The logarithm of a product of two
numbers is the sum of the logarithms of the two numbers.
Think about why this must be so. Recall that the value of a logarithm is an exponent. We add
exponents when we multiply two numbers with the same base. As logarithms are these exponents
(x and y above), their sum must be the exponent of the product (log(1234)(5678) = x + y above).
Now to find the product, we merely look up log 1234 and log 5678 in logarithm tables, find the
sum of the two values, then find the number z from the tables such that log z = log 1234 + log 5678.
If you try this, you may find that your logarithm table only goes from 1 to 10. How can you find
log 1234? Use scientific notation, so that
log 1234 = log(1.234)(103) = log(1.234) + log(103) = 3 + log 1.234.
This relationship between multiplication and addition is not the only useful property of logarithms.
Using the same logic as above, division becomes subtraction:
log
1234
5678
= log 1234 − log 5678,
and exponentiation becomes multiplication:
log 12345678 = 5678 log 1234.
⊳ 3 ⊲
Excerpted from Art of Problem Solving Volume 2 by Richard Rusczyk and Sandor Lehoczky
www.artofproblemsolving.com
Copyrighted material
4 ⊲ CHAPTER 1. LOGARITHMS
These are by no means proofs, nor are these manipulations confined to base 10 logarithms. In the
following pages, we’ll formalize these rules and introduce a few more, as well as show you how to
prove them.
Properties of Logarithms
1. loga bn = n loga b
2. loga b + loga c = loga bc
3. loga b − loga c = loga b/c
4. €loga bŠ€logc dŠ= €loga dŠ€logc bŠ 5.
loga b
loga c
= logc b
6. logan bn = loga b
WARNING: Note that in Properties 2, 3, and 5, the bases of the logarithms added, subtracted, or
divided are the same. This is very important to understand; we can’t simplify log2 x2 + log3 y3 with
Property 2 for the same reason we can’t add exponents to evaluate the product 2233, as we would
for 2223.
You should try to prove these properties on your own, as the proofs are fairly simple. Some are
proven on page 5, and the proofs of the others are left as exercises.
EXAMPLE 1-1 Evaluate each of the following in terms of x and y given x = log2 3 and y = log2 5.
i. log2 15
Solution: Since 15 = 3(5) we think of Property 2:
log2 15 = log2 3(5) = log2 3 + log2 5 = x + y.
ii. log2(7.5)
Solution: Since we already know log2 15, we note that 7.5 = 15/2 and think of Property 3. This is
a bit tricky, but remember that in addition to log2 3 and log2 5, we also know log2 2 = 1:
log2(7.5) = log2(15/2) = log2 15 − log2 2 = x + y − 1.
iii. log3 2
Solution: Since we have a different base in this than in the given quantities x and y, we look for a
property which allows us to change the base. Thus, we use Property 5:
log3 2 =
log2 2
log2 3
=
1
x
.
In general, it is always true that logw z = 1/ logz w. (Can you prove it?) Remember this; you’ll
probably see it again.
Excerpted from Art of Problem Solving Volume 2 by Richard Rusczyk and Sandor Lehoczky
www.artofproblemsolving.com
Copyrighted material
the ART of PROBLEM SOLVING ⊳ 5
iv. log3 15
Solution: First, 15 = 3(5), and we know log3 3, so we use Property 2 to get log3 15 = log3 3+log3 5 =
1 + log3 5. Now we must find a logarithm with base 3, but we only know base 2 logarithms. This
leads us to Property 5:
log3 15 = 1 + log3 5 = 1 +
log2 5
log2 3
= 1 +
y
x
.
v. log4 9
Solution: Our base is the square of the base we are given in our information, so we look to Property
6. When working problems, always try to manipulate the bases so they are the same, or as close as
possible, throughout the problem. When working with various powers of the same number, like
2 and 4, use Property 6 like this:
log4 9 = log22 32 = log2 3 = x.
vi. log5 6
Solution: Seeing a different base that is not a power of 2, we look to Property 5. Noting that 6=2(3),
we also apply Property 2:
log5 6 =
log2 6
log2 5
=
log2 3 + log2 2
y
=
x + 1
y
.
We’ll now prove three of the six properties; the proofs of the other three are left as exercises. The
first step for the proofs, since we can’t do anything with the expressions as they are written, is to
write the logarithms in exponential notation. Thus, we let
x = loga b, y = loga c, and z = logb c,
from which we have
ax = b, ay = c, and bz = c.
These relationships will be used in the first two proofs below.
EXAMPLE 1-2 Prove Properties 1, 2, and 4.
i. Property 1: loga bn = n loga b.
Proof: Let w = loga bn. We want to show that w = n loga b = nx. Make sure you understand why
this will complete the proof. Putting our expression for w in exponential notation, we have aw = bn.
Since ax = b, we find aw = bn = (ax)n = axn, so xn = w. Thus, n loga b = loga bn.
ii. Property 2: loga b + loga c = loga bc.
Proof: We wish to show that loga bc = x + y. Since ax = b and ay = c, we can get the quantity x + y
by multiplying ax and ay: axay = ax+y = bc. Putting this last equality in logarithmic notation gives
us loga bc = x + y = loga b + loga c. (Notice how this proof is similar to our discussion of evaluating
log(1234)(5678).)
iii. Property 4: €loga bŠ€logc dŠ= €loga dŠ€logc bŠ.
Proof: We let
x = loga b, y = logc d, w = loga d, and z = logc b.
Excerpted from Art of Problem Solving Volume 2 by Richard Rusczyk and Sandor Lehoczky
www.artofproblemsolving.com
Copyrighted material
6 ⊲ CHAPTER 1. LOGARITHMS
We wish to show that xy = wz. As before, we write the above logarithmic equations exponentially.
We find
b = ax = cz d = aw = cy,
a = c(z/x) a = c(y/w),
c(z/x) = c(y/w).
Thus we have
z
x
=
y
w
,
from which we have the desired xy = wz.
Using this relation we can show that €loga bŠ€logb cŠ= loga c, a frequently occurring identity
sometimes called the chain rule for logarithms.
It is important that you realize that these proofs are not just pulled out of thin air. They involve
methods that you should learn, namely, the practice of changing logarithmic notation to exponential
notation and manipulating the exponential expressions. Make sure you understand this method
before proceeding to the exercises. After writing logarithmic expressions in exponential notation,
ask yourself what you wish to prove in terms of the exponents (x, y, etc. above). Then, manipulate
the exponential equations to complete the proof.
EXERCISE 1-1 Prove Properties 3, 5, and 6 without using Properties 1, 2, and 4.
EXERCISE 1-2 Prove the chain rule for logarithms using Property 4.
WARNING: Don’t overlook the fact that the base and the argument of all logarithms must
be positive, for sometimes devious, or careless, test writers will create problems in which some
seemingly correct solutions violate one of these rules.
EXAMPLE 1-3 Find all x such that log6 (x + 2) + log6 (x + 3) = 1.
Solution: Seeing the sum of two logarithms with the same base, we think of Property 2, which
yields
log6 (x + 2) + log6 (x + 3) = log6 (x2 + 5x + 6) = 1.
Putting this equation in exponential notation gives x2 + 5x + 6 = 6, or x2 + 5x = 0, so our solutions
are x = −5 and x = 0. You may be tempted to stop here and claim that these are both valid solutions,
but your last step in all problems involving logarithms must be checking that each solution makes
the argument and the base of all logarithms positive. In the given problem the arguments of the
initial logarithms are negative when x = −5, so this is not a valid solution. The only valid solution
is x = 0.
EXAMPLE 1-4 Find the sum
log
1
2
+ log
2
3
+ log
3
4
+ · · · + log
99
100
.
Excerpted from Art of Problem Solving Volume 2 by Richard Rusczyk and Sandor Lehoczky
www.artofproblemsolving.com
Copyrighted material
the ART of PROBLEM SOLVING ⊳ 7
Solution: Seeing the sum of logarithms we think of log x + log y = log xy. Calling our given sum
S, this identity gives
S = log1
2 ·
2
3 ·
3
4 · · · · ·
97
98 ·
98
99 ·
99
100= log
1
100
= log 10−2 = −2.
Notice that in the product every number from 2 to 99 appears once in the numerator and once in the
denominator, so they all cancel.
EXERCISE 1-3 Find log3 10 and log3 1.2 in terms of x = log3 4 and y = log5 3.
EXERCISE 1-4 I want to use my calculator to evaluate log2 3, but my calculator only does logarithms
in base 10. Should I go find a better calculator, or should I be able to find a way to make my calculator
tell me log2 3?
EXERCISE 1-5 Show that xlogx y = y.
Problems to Solve for Chapter 1
1. Evaluate the product (log2 3)(log3 4)(log4 5)(log5 6)(log6 7)(log7 8).
2. If log 36 = a and log 125 = b, express log(1/12) in terms of a and b. (MA 1992)
3. In how many points do the graphs of y = 2 log x and y = log 2x intersect? (AHSME 1961)
4. Find all the solutions of
xlog x =
x3
100
.
(AHSME 1962)
5. If a > 1, b > 1, and p =
logb(logb a)
logb a
, then find ap in simplest form. (AHSME 1982)
6. If one uses only the information 103 = 1000, 104 = 10000, 210 = 1024, 211 = 2048, 212 = 4096,
213 = 8192, what are the largest a and smallest b such that one can prove a < log10 2 < b? (AHSME 1967)
7. For all positive numbers x , 1, simplify
1
log3 x
+
1
log4 x
+
1
log5 x
.
(AHSME 1978)
8. Given that log10 2 = 0.3010, how many di

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทที่ 1
ลอการิทึม
ตามที่กล่าวไว้ในรูปภาพขนาดใหญ่ในปริมาณ 1 , ลอการิทึม เดิมทีวางแผนที่จะเปิด
ปัญหาการบวกและการลบ การคูณ และการหาร เป็นคน ขอใช้เวลามองใกล้ที่วิธีการทำงานนี้
.
คิดว่าพวกเราจะมาหา ( 1234 ) ( 5678 ) การคูณแบบปกติจะค่อนข้างน่าเบื่อ
แทน เราทราบว่ามี X และ Y ,
) = 1234 เราก็สามารถเขียนและ 5678 10y =
,เพื่อเข้าสู่ระบบและเข้าสู่ระบบ 1234 = x
5678 = Y
ดังนั้น ( 1234 ) ( 5678 ) = 10x10y = 10x . สละลอการิทึมนี้สุดท้ายความสัมพันธ์ ( จำได้ว่าไม่มีฐานลอการิทึม
พบจะถือว่ามีฐาน 10 ) เรามี
log ( 10x10y ) = log ( 10 x y ) = X Y = เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ 10y 10x .
ในคำอื่น ๆเข้าสู่ระบบ ( 1234 ) ( 5678 ) = เข้าสู่ระบบ 1234 ล็อก 5678 . เรียบร้อย ! ค่าลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สอง
ตัวเลขคือผลรวมของลอการิทึมของตัวเลขสอง .
คิดว่าทำไมมันต้องเป็นเช่นนั้น จำได้ว่า ค่าของเลขยกกำลังเป็นผู้สนับสนุน . เราเพิ่ม
เมื่อเราคูณเลข 2 เลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกัน เป็นลอการิทึมเหล่านี้เลขยกกำลัง
( X และ Y ข้างต้น ) , ผลรวมของพวกเขาจะต้องเป็นผู้สนับสนุนของผลิตภัณฑ์ ( log ( 1234 ) ( 5678 ) = x y ข้างต้น ) .
ตอนนี้เพื่อค้นหาผลิตภัณฑ์เราแค่ขึ้นไปดูเข้าสู่ระบบ 1234 และเข้าสู่ระบบ 5678 ในดานหา
ผลรวมของค่าสองค่าแล้วหาเบอร์ Z จากตารางที่เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ 5678 Z = 1234 .
ถ้าคุณพยายามนี้คุณอาจพบว่าตารางลอการิทึมของคุณเพียงไปจาก 1 ถึง 10 วิธีที่คุณสามารถค้นหา
เข้าสู่ระบบ 1234 ? ใช้สัญกรณ์ทางวิทยาศาสตร์เพื่อให้
เข้าสู่ระบบ 1234 = log ( 1.234 ) ( 103 ) = log ( 1.234 ) เข้าสู่ระบบ ( 103 ) = 3 บันทึก 1.234 .
ความสัมพันธ์ระหว่างการคูณและนอกจากนี้ไม่เพียงประโยชน์คุณสมบัติของลอการิทึม .
ใช้ตรรกะเดียวกันกับข้างต้น ส่วนจะลบ :



= 5678 เข้าสู่ระบบ 1234 1234 − log 5678 เข้าสู่ระบบ , และกลายเป็นการคูณการยกกำลัง
:
เข้าสู่ระบบ 12345678 = 5678 เข้าสู่ระบบ 1234 .
3
⊳⊲ตัดตอนจากศิลปะของ การแก้ปัญหา เล่ม 2 โดย ริชาร์ด rusczyk แซนด ์และ lehoczky

www.artofproblemsolving . comลิขสิทธิ์
4 ⊲บทที่ 1 ลอการิทึม
เหล่านี้จะไม่มีทางพิสูจน์ หรือมี manipulations คับฐาน 10 ลอการิทึม . ใน
หน้าต่อไปนี้ เราจะทำให้เป็นรูปเป็นร่างกฎเหล่านี้และแนะนำไม่กี่เพิ่มเติม รวมทั้งแสดงวิธีการ
พิสูจน์คุณสมบัติของลอการิทึม .

1 . loga BN = n loga b
2 loga B loga C = loga BC
3 loga B C = − loga loga B / C
4€ loga B Š€ logc D Š = € loga D Š€ logc B Š 5
loga B
loga C
= logc B
6 โลแกน BN = loga B
คำเตือน : โปรดทราบว่าในคุณสมบัติของ 2 , 3 , และ 5 ฐานของลอการิทึมเพิ่ม , ลบ , หรือ
แบ่งเหมือนกัน นี้เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะเข้าใจ เราไม่สามารถลดความซับซ้อนของ LOG X2 log3 Y3
คุณสมบัติ 2 ด้วยเหตุผลเดียวกันเราไม่สามารถเพิ่มเลขยกกำลังเพื่อประเมินผลิตภัณฑ์ของ เรา จะ สำหรับ 1911

.คุณควรพยายามที่จะพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้เอง เป็นข้อพิสูจน์ได้ค่อนข้างง่าย บาง
พิสูจน์ในหน้า 5 และหลักฐานอื่น ๆ ด้านซ้ายเป็นแบบฝึกหัด
ตัวอย่าง 1-1 ประเมินแต่ละต่อไปนี้ในแง่ของ X และ Y ให้ x = y = LN LN 3 และ 5 .
. LOG 15
ทางออก : ตั้งแต่ 15 = 3 ( 5 ) เราคิดว่าคุณสมบัติ 2 15 =
LN LN 3 ( 5 ) = LN LN Y .
3 = 5 x 2 LOG ( 7.5 )
โซลูชั่น :ในเมื่อเรารู้แล้วว่า 15 LOG , เราทราบว่า 7.5 = 15 / 2 และคิดว่าคุณสมบัติ 3 นี่คือ
ยุ่งยากนิดหน่อย แต่จำได้ว่านอกจาก LN LN 3 และ 5 เรายังรู้ว่า LN 2 = 1 :
LN ( 7.5 ) = LN ( 15 / 2 ) = − 2 = LN LN 15 x y − 1
3
log3 2 โซลูชั่น : เนื่องจากเรามีฐานต่าง ๆ ในนี้มากกว่าที่ได้รับในปริมาณที่ X และ Y ที่เราค้นหา
คุณสมบัติซึ่งช่วยให้เราสามารถเปลี่ยนฐานดังนั้นเราจึงใช้คุณสมบัติ 5 :
2 = 2

log3 LN LN 3
=
1
x
.
โดยทั่วไปมักจริงที่ logw z = 1 / logz W . ( คุณสามารถพิสูจน์ได้ ? ) จำไว้ว่า คุณจะเจอมันอีก
.
ตัดตอนมาจากศิลปะของการแก้ปัญหาเล่ม 2 โดย ริชาร์ด rusczyk แซนด ์และ lehoczky
www.artofproblemsolving . com

ลิขสิทธิ์ศิลปะของการแก้ปัญหา⊳ 5
4 log3 15
โซลูชั่นแรก 15 = 3 ( 5 )และเรารู้ว่า log3 3 เราจึงใช้คุณสมบัติ 2 จะได้ log3 15 = log3 3 log3 = 5
1 log3 5 ตอนนี้เราต้องหาลอการิทึมที่มีฐานที่ 3 แต่เรารู้แค่ 2 หลักลอการิทึม . นี้ทำให้เราคุณสมบัติ 5 :

log3 15 = 1 log3 5 = 1
5
3
LN LN = 1
y
x
.
V
log4 9 โซลูชั่น : ฐานของเราคือตารางของฐานเรายกให้เป็นข้อมูลของเรา เพื่อให้เราดูทรัพย์สิน
6 เมื่อมีปัญหาในการปฏิบัติงานพยายามที่จะจัดการกับฐาน ดังนั้นพวกเขาเป็นเดียวกันหรือใกล้เคียงเป็น
ไปได้ตลอดหรอก เมื่อทำงานกับพลังต่าง ๆ ของเบอร์เดียวกัน เช่น
2 และ 4 ใช้คุณสมบัติ 6 แบบนี้ :
log4 9 = 32 = 3 = x log22 LN log5 6

6 โซลูชั่น : เห็นฐานต่าง ๆ ที่ไม่ใช่พลังของ 2 เราดูทรัพย์สิน 5 . สังเกตว่า 6 = 2 ( 3 ) ,
เรายังใช้คุณสมบัติ 2 :
log5 6 =
LN 6
5
=
LNLN LN Y
2
3 =
x 1
y
.
ตอนนี้เราจะพิสูจน์สามหกคุณสมบัติ ; หลักฐานของอีก 3 คน ที่เหลือเป็นแบบฝึกหัด
ขั้นตอนแรกเพื่อพิสูจน์ เพราะเราไม่สามารถทำอะไรกับสิ่งที่เขาเขียนคือ
เขียนลอการิทึมในสัญกรณ์เลขยกกำลัง . ดังนั้นเราจึงปล่อยให้
x = loga B , Y = loga C และ Z = logb C
จากที่เรามี
Ax = b เอ = C และ BZ =
Cความสัมพันธ์เหล่านี้จะใช้ในแรกสองปรู๊ฟตัวอย่างด้านล่าง .
1-2 พิสูจน์คุณสมบัติ 1 , 2 และ 4 .
. คุณสมบัติ 1 : loga BN = n loga B .
: W = loga พิสูจน์ให้เช่นกัน เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่า loga B = w = n NX ให้แน่ใจว่าคุณเข้าใจว่าทำไม
นี้จะเสร็จสมบูรณ์พิสูจน์ ทำให้การแสดงออกของเราสำหรับ W ในสัญกรณ์เลขชี้กำลังเรามี AW = BN .
ตั้งแต่ Ax = b เราเจออะ = 3 = ( ขวาน ) n = AXN ดังนั้นคริสเตียน = W . ดังนั้นN loga B = loga BN .
2 คุณสมบัติที่ 2 : loga B loga C = loga BC .
พิสูจน์ : เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่า loga BC = X Y ตั้งแต่ขวาน = b และเอ = C เราสามารถได้รับปริมาณที่ X Y
โดยคูณขวานและ AY : axay = ขวาน Y = BC ให้ความเสมอภาคนี้ล่าสุดในสัญกรณ์ลอการิทึมให้
เรา loga BC = x = y loga B loga C ( สังเกตว่าหลักฐานนี้จะคล้ายกับการสนทนาของเราประเมิน
log ( 1234 ) ( 5678 ) )
3โรงแรม 4 € loga B Š€ logc D Š = € loga D Š€ logc B Š .
พิสูจน์ : เราปล่อย
x = loga B , Y = w = loga logc D , D , และ z = logc B .
ตัดตอนมาจากศิลปะของการแก้ปัญหาเล่ม 2 โดย ริชาร์ด rusczyk แซนด ์และ lehoczky
www.artofproblemsolving . com ลิขสิทธิ์

6 ⊲บทที่ 1 ลอการิทึม
เราต้องการแสดงให้เห็นว่า XY = Wz . เมื่อก่อนเราเขียนลอการิทึม สมการข้างต้นเราพบ

ชี้แจงB = Ax = CZ D = AW = ไซ
= C ( Z / x ) = C ( y / W )
c ( Z / x ) = C ( y / W )
ดังนั้นเรา
Z
x
=
y
w

จากที่เรา มีที่ต้องการ XY = Wz .
ใช้ความสัมพันธ์ เราสามารถแสดงให้เห็นว่า € loga B Š€ logb C Š = loga C เกิดขึ้นบ่อยเอกลักษณ์
บางครั้งเรียกว่ากฎโซ่ลอการิทึม .
มันเป็นสิ่งสำคัญที่คุณทราบว่า หลักฐานเหล่านี้ไม่ได้เป็นเพียงแค่ดึงออกจากอากาศบาง พวกเขาเกี่ยวข้องกับ
วิธีที่คุณควรเรียนรู้คือการปฏิบัติของการเปลี่ยนสัญกรณ์สัญกรณ์แบบเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม
ใช้สำนวนแบบเอกซ์โพเนนเชียล ให้แน่ใจว่าคุณเข้าใจวิธีนี้
ก่อนดำเนินการกับแบบฝึกหัด หลังจากเขียนนิพจน์ลอการิทึมในสัญกรณ์ชี้แจง
ถามตัวเองสิ่งที่คุณต้องการพิสูจน์ในแง่ของเลขยกกำลัง ( X , Y , ฯลฯ ข้างต้น ) แล้วจัดการ
สมการเอกซ์โพเนนเชียลเพื่อให้หลักฐาน
ออกกำลังกาย 1-1 พิสูจน์คุณสมบัติ 3 , 5 และ 6 โดยใช้คุณสมบัติ 1 , 2 และ 4 .
ออกกำลังกาย 1-2 พิสูจน์กฏลูกโซ่สำหรับลอการิทึมที่ใช้คุณสมบัติ 4 .
คำเตือน : ไม่มองข้ามความจริงที่ว่าฐานและข้อโต้แย้งของลอการิทึมต้อง
เป็นบวก สำหรับบางครั้งที่คดเคี้ยว หรือประมาท นักเขียนทดสอบจะสร้างปัญหาที่บาง
หนึ่งในโซลูชั่นที่ดูเหมือนถูกต้องละเมิดกฎเหล่านี้ .
ตัวอย่าง 1-3 พบทั้งหมดเช่นที่ log6 X ( x 2 ) log6 ( x 3 ) = 1 .
ทางออก : เห็นผลรวมของสองลอการิทึมที่มีฐานเดียวกัน เราคิดว่าคุณสมบัติ 2 ซึ่งผลผลิต

log6 ( x 2 ) log6 ( x 3 ) log6 ( X2 = 5 x 6 = 1
ใส่สมการนี้ในสัญกรณ์เลขชี้กำลังให้ x2 5 x 6 = 6 หรือ X2 x 5 = 0 ดังนั้น
โซลูชั่นของเราเป็น x = − 5 และ x = 0 คุณอาจจะอยากหยุดที่นี่และอ้างว่าเหล่านี้มีทั้งใช้โซลูชั่น
แต่ขั้นตอนสุดท้ายของคุณในปัญหาทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึม ต้องตรวจสอบว่า แต่ละโซลูชั่นทำให้
อาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึมบวก ได้รับในปัญหาข้อโต้แย้งของ
ลอการิทึมเบื้องต้น ลบเมื่อ x = − 5 ดังนั้นนี้ไม่ได้เป็นวิธีที่ถูกต้อง ที่ใช้ได้เฉพาะโซลูชั่น
คือ x = 0
ตัวอย่าง 1-4 หาผลรวม

1
2
เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ
2
3
)
3
4
· · · log

99 100
.
ตัดตอนมาจากศิลปะของการแก้ปัญหาเล่ม 2 โดย ริชาร์ด rusczyk แซนด ์และ lehoczky
www.artofproblemsolving . com

มีลิขสิทธิ์วัสดุ ศิลปะของการแก้ปัญหา⊳
7 โซลูชั่น : เห็นผลรวมของลอการิทึมเราคิดว่าเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ X Y = XY . โทรของเราได้รับผลรวมของตัวตนนี้ให้

, S = เข้าสู่ระบบด้วย  1
2
2
3
3
ด้วย4 ด้วย· · ·ด้วย

98 97 98 99 ด้วยด้วย



99 100  = เข้าสู่ระบบ
1

= 100 ล็อก 10 − 2 = − 2 .
สังเกตเห็นว่าในผลิตภัณฑ์ทุกเบอร์ 2 ถึง 99 จะปรากฏเมื่อในเศษและเมื่อใน
ตัวส่วน ดังนั้นพวกเขาทั้งหมด ยก
ออกกำลังกาย 1-3 พบ log3 10 และ log3 1.2 ในแง่ของ x และ y = = log3 4 log5 3
การออกกำลังกาย 1-4 ผมต้องการใช้เครื่องคิดเลขของฉันเพื่อประเมิน LOG 3 แต่เครื่องคิดเลขของฉันเพียงไม่ลอการิทึม
ในฐาน 10ฉันควรจะไปค้นหาเครื่องคิดเลขที่ดีหรือฉันควรจะสามารถที่จะหาวิธีที่จะทำให้
เครื่องคิดเลขของฉันบอกฉัน LOG 3
ออกกำลังกาย 1-5 แสดงให้เห็นว่า xlogx Y
Y = แก้ปัญหา สำหรับบทที่ 1
1 ประเมินผลิตภัณฑ์ ( LOG ) ( log3 4 ) ( log4 5 ) ( log5 6 ) ( log6 7 ) ( log7 8 )
2 ถ้าเข้าสู่ระบบและเข้าสู่ระบบ 36 = 125 = B , บริการเข้าสู่ระบบ ( 1 / 12 ) ในแง่ของ A และ B ( MA  1992 )
3วิธีการหลายจุดที่ทำกราฟของ y = 2 x และ y = 2x เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบอินเตอร์เซ็ก ( ahsme 1961 )
4 พบทั้งหมดโซลูชั่นของ
xlog x =
3
100
.
( ahsme 1962 )
5 ถ้า > 1 , B > 1 และ p =
logb ( logb )

logb เป็นแล้วหา AP ในแบบฟอร์มที่ง่ายที่สุด . ( ahsme 1982 )
6 ถ้าใช้เฉพาะข้อมูลที่ 103 = 1 , 000 , 000 104 = 210 , 211 = = 1024 , 2048 , 212 = 4096
= 8192 , 213 ,อะไรที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด B เช่นที่หนึ่งสามารถพิสูจน์ < LN 2 < B ( ahsme 1967 )
7 ทั้งหมดบวกตัวเลข x 1 , ลดความซับซ้อนของ log3
1
x

1
log4 x

1
log5 x
.
( ahsme 1978 )
8 ระบุว่า LN 2 = 0.3010 กี่ ดี