While the various axiomatic systems

While the various axiomatic systems of set theory saved mathematics from its immediate peril, they failed to satisfy a great many people. In particular, many who were sensitive to the elegance and universality of mathematics were quick to point out that the creations of Zermelo and von Neumann must be regarded as provisional solutions—as expedients to solve a temporary problem; they will have to be replaced, sooner or later, by a mathematical theory of broader scope, which treats the concept of “set” in its full, intuitive generality. This argument against axiomatic set theory—that it deals with an amputated version of our intuitive conception of a set—has important philosophical ramifications; it is part of a far wider debate, on the nature of mathematical “truth.” The debate centers around the following question: Are mathematical concepts creations (that is, inventions) of the human mind, or do they exist independently of us in a “platonic” realm of concepts, merely to be discovered by the mathematician? The latter opinion is often referred to as “platonic realism” and is the dominant viewpoint of classical mathematics. We illustrate these two opposing points of view by showing how they apply to a particular concept—the notion of natural numbers. From the viewpoint of platonic realism, the concepts “one,” “two,” “three,” and so on, exist in nature and existed before the first man began to count. If intelligent beings exist elsewhere in the universe, then, no matter how different they are from us, they have no doubt discovered the natural numbers and found them to have the same properties they have for us. On the other hand, according to the opposing point of view, while three cows, three stones, or three trees exist in nature, the natural number three is a creation of our minds; we have invented a procedure for constructing the natural numbers (by starting from zero and adding 1 each time, thus producing successively 1, 2, 3, etc.) and have in this manner fashioned a conceptual instrument of our own
making.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในขณะระบบ axiomatic ต่าง ๆ ของทฤษฎีเซตบันทึกคณิตศาสตร์จากมังกรของทันที พวกเขาล้มเหลวเพื่อตอบสนองคนจำนวนมาก หลายคนที่มีความไวต่อความสง่างามและ universality ของคณิตศาสตร์ ได้อย่างรวดเร็วเพื่อชี้ให้เห็นว่าการสร้างสรรค์ของ Zermelo โดยเฉพาะ และฟอน Neumann ต้องถือเป็นโซลูชั่นสำรองซึ่งเป็น expedients แก้ปัญหาชั่วคราว พวกเขาจะต้องถูกแทน ช้า ด้วยทฤษฎีคณิตศาสตร์ของขอบเขตที่กว้างขึ้น ซึ่งปฏิบัติต่อแนวคิดของ "ตั้งค่า" ในการ generality เต็ม ใช้งานง่าย อาร์กิวเมนต์นี้กับทฤษฎีเซต axiomatic — ที่มันเกี่ยวข้องกับการคิดของเราง่ายของชุดรุ่น amputated — มี ramifications ปรัชญาสำคัญ เป็นส่วนหนึ่งของการอภิปรายที่กว้างไกล ในธรรมชาติของคณิตศาสตร์ "ต้อง" ดำเนินการอภิปรายรอบคำถามต่อไปนี้: มีการสร้างสรรค์แนวคิดทางคณิตศาสตร์ (นั่นคือ ประดิษฐ์) ของจิตใจมนุษย์ หรือพวกเขาไม่มีอิสระเราในแดน "platonic" ของแนวคิด เพียงการค้นพบ โดยนักคณิตศาสตร์ที่ ความคิดเห็นหลังมักจะเรียกว่า "สัจนิยม platonic" และเป็นจุดหลักของคณิตศาสตร์คลาสสิก เราแสดงเหล่านี้สองฝ่ายตรงข้ามเห็น ด้วยแสดงว่าพวกเขากับแนวคิดเฉพาะตัวความจำนวนธรรมชาติ จากจุดชมวิวของ platonic สมจริง "หนึ่ง แนวคิด"สอง "สาม" และอื่น ๆ มีอยู่ในธรรมชาติ และมีอยู่ก่อนที่มนุษย์คนแรกเริ่มนับ ถ้าอัจฉริยะมีอยู่ในจักรวาลอื่น แล้ว ไม่แตกจะจากเรา มีข้อสงสัยพบหมายเลขธรรมชาติ และพบพวกเขามีคุณสมบัติเดียวกันที่มีให้เรา บนมืออื่น ๆ ตามฝ่ายตรงข้ามมอง ในขณะที่วัวสาม หินสาม หรือสามต้นที่มีอยู่ในธรรมชาติ ธรรมชาติสามเป็นการสร้างจิตใจของเรา เราได้คิดค้นขั้นตอนการสร้างตัวเลขธรรมชาติ (โดยเริ่มต้นจากศูนย์ และการเพิ่มแต่ละครั้งที่ 1 การผลิตดังนั้น ติด ๆ กัน 1, 2, 3 ฯลฯ) และมีในลักษณะนี้แบบเครื่องมือแนวคิดของเราเองทำให้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในขณะที่ระบบซึ่งเป็นจริงต่างๆของทฤษฎีเซตบันทึกคณิตศาสตร์จากอันตรายของมันทันทีที่พวกเขาล้มเหลวในการตอบสนองที่ดีหลาย ๆ คน โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลายคนที่มีความไวต่อความสง่างามและความเป็นสากลของคณิตศาสตร์ได้อย่างรวดเร็วเพื่อชี้ให้เห็นว่าการสร้างสรรค์ของ Zermelo von Neumann และจะต้องได้รับการยกย่องให้เป็นโซลูชั่นที่เป็นชั่วคราว expedients ในการแก้ปัญหาชั่วคราว พวกเขาจะต้องถูกแทนที่ไม่ช้าก็เร็วโดยทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของขอบเขตที่กว้างซึ่งถือว่าแนวคิดของ "การตั้งค่า" ในการเต็มรูปแบบที่ใช้งานง่ายทั่วไป โต้แย้งกับชุดจริงนี้ทฤษฎีที่มันเกี่ยวข้องกับรุ่นด้วนของความคิดที่ใช้งานง่ายของเราในการตั้งเครือข่ายมีปรัชญาที่สำคัญ มันเป็นส่วนหนึ่งของการอภิปรายที่กว้างไกลในลักษณะของคณิตศาสตร์ศูนย์การอภิปรายรอบคำถามต่อไปนี้ "ความจริง." มีความคิดสร้างสรรค์แนวคิดทางคณิตศาสตร์ (นั่นคือสิ่งประดิษฐ์) ของจิตใจมนุษย์หรือพวกเขามีอยู่เป็นอิสระของเราใน "สงบ" ขอบเขตของแนวความคิดเพียงจะได้รับการค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์? ความเห็นหลังมักจะถูกเรียกว่า "ความสมจริงอย่างสงบ" และมีมุมมองที่โดดเด่นของคณิตศาสตร์คลาสสิก เราแสดงให้เห็นถึงทั้งสองจุดในมุมมองของฝ่ายตรงข้ามโดยการแสดงวิธีที่พวกเขานำไปใช้กับแนวคิดความคิดโดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวเลขธรรมชาติ จากมุมมองของความสมจริงสงบแนวคิด "หนึ่ง", "สอง", "สาม" และอื่น ๆ ที่มีอยู่ในธรรมชาติและมีอยู่ก่อนคนแรกเริ่มที่จะนับ ถ้าสิ่งมีชีวิตที่มีความคิดสร้างสรรค์ที่มีอยู่ในจักรวาลอื่น ๆ แล้วไม่ว่าวิธีการที่แตกต่างกันพวกเขาจะจากเราพวกเขามีข้อสงสัยใดค้นพบจำนวนธรรมชาติและพบว่าพวกเขามีคุณสมบัติเหมือนกันที่พวกเขามีให้เรา บนมืออื่น ๆ ตามจุดของมุมมองของฝ่ายตรงข้ามในขณะที่สามวัวสามก้อนหินหรือสามต้นไม้ที่มีอยู่ในธรรมชาติจำนวนธรรมชาติสามคือการสร้างจิตใจของเรา; เราได้คิดค้นขั้นตอนในการสร้างจำนวนธรรมชาติ (โดยเริ่มต้นจากศูนย์และการเพิ่ม 1 ในแต่ละครั้งจึงผลิตอย่างต่อเนื่อง 1, 2, 3, ฯลฯ ) และมีในลักษณะนี้ fashioned เครื่องมือของความคิดของเราเอง
ทำ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ส่วนต่าง ๆของระบบสัจพจน์คณิตศาสตร์ทฤษฎีเซตช่วยชีวิตจากอันตรายของมันทันที พวกเขาล้มเหลวที่จะตอบสนองคนมากมาย โดยเฉพาะหลายคนที่อ่อนไหวกับความสง่างามและความเป็นสากลของคณิตศาสตร์ได้อย่างรวดเร็วเพื่อชี้ให้เห็นว่า การสร้าง ของเซอร์เมโล และ ฟอน นอยมันน์ต้องถือว่าเป็นโซลูชั่นที่เป็น expedients ชั่วคราวเพื่อแก้ปัญหาชั่วคราวพวกเขาจะต้องถูกแทนที่ ไม่ช้าก็เร็ว โดยทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ในขอบเขตที่กว้างขึ้น ซึ่งถือว่าเป็นแนวคิดของ " การตั้งค่า " ในสภาพทั่วไปได้ง่ายของมันเต็ม . การโต้เถียงกับทฤษฎีเซตสัจพจน์นี้ว่า มันเกี่ยวข้องกับการตัดรุ่นของความคิดของเราที่ใช้งานง่ายของชุดมีปัญหาทางปรัชญาที่สำคัญ ; มันเป็นส่วนหนึ่งของการอภิปรายกว้างไกลในธรรมชาติของความจริงทางคณิตศาสตร์ " . " การอภิปรายศูนย์รอบคำถามต่อไปนี้ : แนวคิดทางคณิตศาสตร์สร้างสรรค์ ( ที่เป็นสิ่งประดิษฐ์ของมนุษย์ หรือจะอยู่เป็นอิสระของเราใน " ดินแดนบริสุทธิ์ " ของแนวคิด แต่ถูกค้นพบโดยนัก ?ความคิดเห็นที่หลังมักจะถูกเรียกว่า " สัจนิยมเพลโต " และเป็นจุดชมวิวเด่นของคณิตศาสตร์ดั้งเดิม เราแสดงให้เห็นถึงทั้งสองและจุดของมุมมองโดยแสดงวิธีที่พวกเขาใช้เฉพาะแนวคิดความคิดของตัวเลขที่เป็นธรรมชาติ จากมุมมองของสัจนิยมบริสุทธิ์ แนวคิด " หนึ่ง " , " สอง " , " สาม " และอื่น ๆมีอยู่ในธรรมชาติ และเกิดขึ้นก่อนมนุษย์คนแรกที่เริ่มนับ ถ้าคนฉลาดมีอยู่ที่ใดที่หนึ่งในจักรวาลแล้ว ไม่ว่ายังไง จะแตกต่างจากเรา พวกเขามีไม่มีการสงสัยค้นพบธรรมชาติจำนวนมากและพบว่าพวกเขามีคุณสมบัติเดียวกันพวกเขามีให้เรา บนมืออื่น ๆ ตามมุมมองของฝ่ายตรงข้าม ในขณะที่สามตัวสามหินหรือ 3 ต้นไม้ที่มีอยู่ในธรรมชาติ ธรรมชาติ ข้อสามคือการสร้างจิตใจของเรา เราได้มีการคิดค้นขั้นตอนการสร้างธรรมชาติ ( โดยเริ่มต้นจากศูนย์ และ เพิ่ม 1 ครั้ง ดังนั้น การผลิตอย่างต่อเนื่องที่ 1 , 2 , 3 ฯลฯ ) และมีลักษณะนี้ซึ่งเครื่องมือแนวคิดของเราเอง
า .