A non-Euclidean geometry, also call

A non-Euclidean geometry, also called Lobachevsky-Bolyai-Gauss geometry, having constant sectional curvature -1. This geometry satisfies all of Euclid's postulates except the parallel postulate, which is modified to read: For any infinite straight line L and any point P not on it, there are many other infinitely extending straight lines that pass through P and which do not intersect L.

In hyperbolic geometry, the sum of angles of a triangle is less than 180 degrees, and triangles with the same angles have the same areas. Furthermore, not all triangles have the same angle sum (cf. the AAA theorem for triangles in Euclidean two-space). There are no similar triangles in hyperbolic geometry. The best-known example of a hyperbolic space are spheres in Lorentzian four-space. The Poincaré hyperbolic disk is a hyperbolic two-space. Hyperbolic geometry is well understood in two dimensions, but not in three dimensions.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ไม่ใช่เรขาคณิต euclidean ที่เรียกว่าเรขาคณิต Lobachevsky-Bolyai-เกาส์มีความโค้งหน้าตัดคงที่ -1 เรขาคณิตนี้ satisfies ทั้งหมดของ Euclid ของสมมุติฐานยกเว้นสมมุติขนานซึ่งมีการแก้ไขการอ่าน: ใด ๆ l สายที่ไม่มีที่สิ้นสุดตรงและจุด p ใด ๆ ไม่ได้มันมีอีกหลายคนที่ไม่มีที่สิ้นสุดการขยายเส้นตรงที่ผ่าน p และที่ไม่ได้ตัด l .

ในเรขาคณิตผ่อนชำระผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่า 180 องศา, และสามเหลี่ยมมีมุมเดียวกันมีพื้นที่เดียวกัน นอกจากนี้สามเหลี่ยมไม่ได้มีผลรวมมุมเดียวกัน (cf ทฤษฎีบท AAA สำหรับรูปสามเหลี่ยมสองใน euclidean-space) ไม่มีรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันในการผ่อนชำระเป็นรูปทรงเรขาคณิต ตัวอย่างที่ดีที่สุดที่รู้จักของพื้นที่การผ่อนชำระเป็นทรงกลมใน Lorentzian สี่พื้นที่ดิสก์Poincaréการผ่อนชำระคือการผ่อนชำระสองพื้นที่ เรขาคณิตการผ่อนชำระเป็นที่เข้าใจกันดีในสองมิติ แต่ไม่ใช่ในสามมิติ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ไม่ใช่ Euclidean เรขาคณิต เรียกว่าเกาส์ Lobachevsky Bolyai เรขาคณิต มีโค้งตัดคง -1 ตรงนี้ทางเรขาคณิตของยุคลิด postulates ยกเว้น postulate ขนาน ซึ่งมีการปรับเปลี่ยนการอ่านทั้งหมด: อนันต์เส้นตรง L และ P จุดใด ๆ บนไม่ มีหลายอื่น ๆ เพียบยืดเส้นตรงที่ผ่าน P และที่ไม่อิน L.

ในทางเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิ ผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมน้อยกว่า 180 องศา และสามเหลี่ยม มีมุมเดียวกันมีพื้นที่เดียวกัน นอกจากนี้ สามเหลี่ยมไม่มีมุมรวมเดียวกัน (มัทธิว AAA ทฤษฎีบทสำหรับสามเหลี่ยมในสองพื้นที่ Euclidean) มีสามเหลี่ยมไม่คล้ายในเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิ ตัวอย่างสัญลักษณ์ของพื้นที่ไฮเพอร์โบลิมีรัฐบาลท้องถิ่นในพื้นที่ 4 Lorentzian ดิสก์ไฮเพอร์โบลิ Poincaré ไฮเพอร์โบลิสองพื้นที่ได้ ไฮเพอร์โบลิเรขาคณิตดีคือเข้าใจ ในสองมิติ แต่ไม่ใช่ ในสามมิติ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

รูปทรงเรขาคณิตแบบไม่ตามแบบยูคลิดที่เรียกว่ารูปทรงเรขาคณิต lobachevsky-bolyai - เกาซมีคงที่แบบตัดขวางความโค้ง 1 ตำแหน่งและขนาดนี้ได้ทั้งหมดของ postulates ของยู - คลิดเว้นแต่สิ่งที่ถือเป็นหลักแบบคู่ขนานซึ่งเป็นแก้ไขในการอ่านแบบไม่มีขอบเขตตรงสาย L และ P จุดใดๆไม่ได้อยู่ในที่ที่มีสายตรงไม่สิ้นสุดการขยายอื่นๆอีกเป็นจำนวนมากที่ผ่าน P และที่ไม่ได้เรื่องนี้มาบรรจบกัน. L

ในรูปทรงเรขาคณิตจำนวนเงินที่เกินความจริงในมุมของรูปสามเหลี่ยมที่มีน้อยกว่า 180 องศาและรูปสามเหลี่ยมพร้อมด้วยมุมเดียวกันกับที่มีพื้นที่เดียวกันกับที่ ยิ่งไปกว่านั้นยังไม่ได้มีในทุกรุ่นได้รูปสามเหลี่ยมมุมเดียวกันได้(บทพิสูจน์ให้ AAA สำหรับรูปสามเหลี่ยมตามแบบยูคลิดในสองพื้นที่) ไม่มีเครื่องหมายสามเหลี่ยมความเหมือนในรูปทรงเรขาคณิตเกินความจริง ตัวอย่างเช่นที่ดีที่สุดที่มีชื่อเสียงของพื้นที่เกินความจริงที่มีพื้นที่อยู่ใน lorentzian สี่พื้นที่ฮาร์ดดิสก์ poincaré เกินความจริงที่มีเกินความจริงทั้งสองพื้นที่ รูปทรงเรขาคณิตเกินความจริงเป็นที่เข้าใจกันดีในแบบสองมิติแต่ไม่ใช่ในแบบสามมิติ