3. Applications3.1. One-dimensional

3. Applications
3.1. One-dimensional Burger's equation

Consider that the one-dimensional Burger's equation has the form [4]
equation(3)
ut+uux-νuxx=0ut+uux−νuxx=0
Turn MathJax on
with an initial condition
equation(4)
View the MathML sourceu(x,0)=α+β+(β−α)exp(γ)1+exp(γ),t⩾0,
Turn MathJax on
where γ=(α/ν)(x-λ)γ=(α/ν)(x−λ) and the parameters αα, ββ, λλ, and νν are arbitrary constants.

To solve Eq. (3) by means of the variational iteration method, we construct a correction functional which reads
equation(5)
View the MathML sourceun+1(x,t)=un(x,0)+∫t0λ{ut+uux∼−νuxx∼}dτ,
Turn MathJax on
where View the MathML sourceδun∼ is considered as a restricted variation. Its stationary conditions can be obtained as follows:
equation(6a)
λ′(τ)=0,λ′(τ)=0,
Turn MathJax on
equation(6b)
1+λ(τ)⌋τ=t=0.1+λ(τ)⌋τ=t=0.
Turn MathJax on

Eq. (6a) is called Lagrange–Euler equation, and Eq. (6b) natural boundary condition.

The Lagrange multiplier, therefore, can be identified as λ=-1λ=-1, and the following variational iteration formula can be obtained:
equation(7)
View the MathML sourceun+1(x,t)=un(x,0)-∫0t{(ut)n+ununx-νunxx}dτ.
Turn MathJax on

We start with an initial approximation u0=u(x,0)u0=u(x,0) given by Eq. (4), by the above iteration formula (7), we can obtain directly the other components as
equation(8)
View the MathML sourceu1(x,t)=α+β+(β-α)exp(γ)1+exp(γ)+2αβ2exp(γ)ν[1+exp(γ)]2t,
Turn MathJax on
equation(9)
View the MathML sourceu2(x,t)=α+β+(β-α)exp(γ)1+exp(γ)+2αβ2exp(γ)ν[1+exp(γ)]2+α3β2exp(γ)[-1+exp(γ)]ν2[1+exp(γ)]3t2,
Turn MathJax on
equation(10)
View the MathML sourceu3(x,t)=u2+α4β3exp(γ)[1-4exp(γ)+exp(γ)2]3ν3[1+exp(γ)]4t3
Turn MathJax on
and so on, in the same manner the rest of components of the iteration formula (7) were obtained using the Maple Package. The solution of u(x,t)u(x,t) in a closed form is
equation(11)
View the MathML sourceu(x,t)=α+β+(β-α)exp(ζ)1+exp(ζ),
Turn MathJax on
where ζ=(α/ν)(x-βt-λ)ζ=(α/ν)(x-βt-λ), which are exactly the same as obtained by Adomian decomposition method [26].

The behavior of the solutions obtained by the variational iteration method is shown for different values of times in Fig. 1.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3. โปรแกรมประยุกต์
3.1 สมการของเบอร์เกอร์ one-dimensional

พิจารณาว่า one-dimensional เบอร์เกอร์ของสมการมีรูปแบบ [4]
สมการ (3)
ut uux-νuxx = 0ut uux−νuxx = 0
เปิด MathJax ใน
ด้วยเงื่อนไขการเริ่มต้น
สมการ (4)
ดู sourceu MathML (x, 0) =αβ (β−α) ประสบการณ์ (γ) 1 exp (γ), t⩾0,
เปิด MathJax ใน
ที่ γ=(α/ν)(x-λ)γ=(α/ν)(x−λ) และพารามิเตอร์αα ββΛΛ และννได้กำหนดค่าคงที่

แก้ Eq. (3) โดยวิธีการเกิดซ้ำ variational เราสร้างการแก้ไขงานที่อ่าน
สมการ (5)
ดู MathML sourceun 1(x,t)=un(x,0) ∫t0λ {ut uux∼−νuxx∼ } dτ,
MathJax เปิดบน
ที่ดู MathML sourceδun∼ ถือว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงที่จำกัด สภาพเครื่องเขียนได้เป็น follows:
equation(6a)
Λ′ (τ) = 0 λ′ (τ) = 0,
เปิด MathJax ใน
สมการ (6b)
1 λ (τ) ⌋τ = t = 0.1 λ (τ) ⌋τ = t = 0.
เปิด MathJax ใน

Eq. (6a) คือสมการของออยเลอร์โรงแรมลากรองจ์ ก Eq. (6b) ธรรมชาติขอบเขตเงื่อนไข

โรงแรมลากรองจ์คูณ ดังนั้น จึงสามารถระบุเป็นλ = 1λ =-1 และสูตร variational เกิดซ้ำต่อไปนี้ได้:
สมการ (7)
ดู MathML sourceun 1 (x, t) = (x สหประชาชาติ0) -∫0t dτ {(ut) n ununx-νunxx } .
เปิด MathJax บน

เราเริ่มต้น ด้วย u0=u(x,0)u0=u(x,0) ประมาณเริ่มต้นที่กำหนด โดย Eq. (4), โดยสูตรคำนวณซ้ำด้านบน (7) เราสามารถได้รับโดยตรงส่วนประกอบอื่น ๆ เป็น
สมการ (8)
ดู MathML sourceu1 (x, t) =αβ (β-α) ประสบการณ์ (γ) 1 exp(γ) 2αβ2exp 2t ν [1 exp(γ)] (γ),
เปิด MathJax
สมการ (9)
ดู MathML sourceu2(x,t) =αβ (β-α) ประสบการณ์ (γ) 1 exp(γ) 2αβ2exp (γ) ν [1 exp(γ)] α3β2exp(γ) 2 [exp(γ)-1] ν2 [1 exp(γ)] 3t2,
เปิด MathJax ใน
สมการ (10)
ดู MathML sourceu3 (x, t) = u2 α4β3exp(γ)[1-4exp(γ) exp (γ) 2] 4t3 [1 exp(γ)] 3ν3
MathJax เปิดบน
และ ในลักษณะเดียวกันของส่วนประกอบของสูตรการเกิดซ้ำ (7) ได้รับมาใช้แพคเกจเมเปิ้ล การแก้ปัญหาของคุณ (x, t) u (xt) ในรูปแบบปิดคือ
สมการ (11)
ดู sourceu MathML (x, t) =αβ (β-α) ประสบการณ์ (ζ) 1 exp (ζ),
MathJax เปิดบน
ที่ ζ=(α/ν)(x-βt-λ)ζ=(α/ν)(x-βt-λ) ซึ่งประการเหมือนกับที่ได้รับ โดยวิธีการแยกส่วนประกอบ Adomian [26]

ค่าแตกต่างของเวลาใน Fig. 1 แสดงลักษณะการทำงานของโซลูชั่นได้รับ โดยวิธีการเกิดซ้ำ variational

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3 . โปรแกรม
3.1 . หนึ่งมิติของสมการเบอร์เกอร์

พิจารณาว่า มิติ เบอร์เกอร์ของสมการมีรูปแบบ [ 4 ]

แต่ uux สมการ ( 3 ) - ν uxx = 0ut uux −ν uxx = 0 =

เปิด mathjax บนกับสมการเงื่อนไขเริ่มต้น ( 4 )

ดู MathML sourceu ( X ( , 0 ) = αบีตา ( β−α ) exp ( γ ) exp ( γ ) , T ⩾ 0

เปิด mathjax ในที่γ = ( α / ν ) ( x - λ ) γ = ( α / ν ) ( x −λ ) และพารามิเตอร์ααββλλ , , ,เป็นค่าคงที่ และννพล

แก้อีคิว ( 3 ) โดยวิธีทำซ้ำแบบที่เราสร้างการแก้ไขการทำงานที่อ่านสมการ ( 5 )

ดู MathML sourceun 1 ( X ( , t ) = a ( x , 0 ) ∫λ t0 { UT uux ∼−ν uxx ∼ } D τ

เปิด , mathjax บนที่ดู MathML แหล่งδอุน∼ถือว่าเป็นแบบจํากัดกระจาย เงื่อนไขของเครื่องเขียนได้ดังนี้ สมการ ( 6a )

λ′ ( τ ) = 0 , λ′ ( τ ) = 0

เปิด mathjax ในสมการ ( 6B )
1 λ ( τ ) ⌋τ = t = 0.1 λ ( τ ) ⌋τ = t = 0


เปิด mathjax ในอีคิว ( 6a ) เรียกว่าสมการออยเลอร์และลากรองจ์ ( และอีคิว บนเงื่อนไขขอบเขตธรรมชาติ

ที่ลากรองจ์คูณ จึงสามารถระบุได้ด้วยλ = - 1 λ = - 1 และตามสูตรการทำซ้ำได้ : สมการ ( 7 )

ดู MathML sourceun 1 ( X ( , t ) = a ( X0 ) - ∫ 0t { ( UT ) n ununx - ν unxx } D τ .
เปิด mathjax บน

เราเริ่มต้น ด้วยการเริ่มประมาณ U0 U ( x = 0 ) U0 U ( x = 0 ) โดยให้อีคิว ( 4 ) โดยสูตรซ้ำข้างบน ( 7 ) , เราสามารถ ได้รับโดยตรงส่วนประกอบอื่น ๆเช่นสมการ ( 8 )

ดู MathML sourceu1 ( x ( , t ) = αบีตา ( บีตา - α ) exp ( γ ) exp ( γ ) 2 αβ 2exp ( γ ) ν [ 1 exp ( γ 2t ) ] ,

เปิด mathjax ในสมการ ( 9 )
ดู sourceu2 MathML ( Xt ) = αบีตา ( บีตา - α ) exp ( γ ) exp ( γ ) 2 αβ 2exp ( γ ) ν [ 1 exp ( γ ) ] 2 α 3 2exp บีตา ( γ ) [ - 1 exp ( γ ) ] ν 2 [ 1 ] 3t2 EXP ( γ ) , mathjax
เปิดบน สมการ ( 10 )

ดู MathML sourceu3 ( x ( , t ) = U2 α 4 3exp บีตา ( γ ) [ 1-4exp ( γ ) exp ( γ ) 2 ] 3 ν 3 [ 1 exp ( γ ) ] 4t3

เปิด mathjax บนและอื่น ๆ ในลักษณะเดียวกันกับส่วนที่เหลือขององค์ประกอบของ ซ้ำสูตร ( 7 ) ได้ใช้เมเปิล แพคเกจ โซลูชั่นของ U ( x , t ) U ( Xt ) ในรูปสมการ ( 11 ) ปิดอยู่

ดู MathML sourceu ( x ( , t ) = αบีตา ( บีตา - α ) exp ( ζ ) exp ( ζ )

เปิด mathjax ในที่ζ = ( α / ν ) ( x - บีตา - t λ ) ζ = ( α / ν ) ( x - บีตา - t λ ) ซึ่งเป็นเหมือนที่ได้จากการย่อยสลาย adomian วิธี [ 26 ] .

พฤติกรรมของโซลูชั่นได้โดยวิธีทำซ้ำแบบที่แสดงในรูปของค่าต่าง ๆครั้งที่ 1