and letting t → 0+,f(x) − f(x0) ≥ f

and letting t → 0
+,
f(x) − f(x0) ≥ f
′
(x0)(x − x0) + c k x − x0 k
2
.
For the converse let x1, x2 ∈ Ω, t ∈ [0, 1] and x0 = tx1 + (1 − t)x2. It is clear
that
f(x0) = f(x0) + f
′
(x0)[t(x1 − x0) + (1 − t)(x2 − x0)],
or better
f(x0) = f(x0) + tf′
(x0)(x1 − x0) + (1 − t)f
′
(x0)(x2 − x0),
therefore
f(x0) = t[f(x0) + f
′
(x0)(x1 − x0)] + (1 − t)[f(x0) + f
′
(x0)(x2 − x0)].
By hypothesis,
f(x) ≥ f(x0) + f
′
(x0)(x − x0) + c k x − x0 k
2
, (2)
now we change x by x1 in (2) and multiply by t the resulting expression to get
tf(x1) ≥ t[f(x0) + f
′
(x0)(x1 − x0) + c k x1 − x0 k
2
],
that is,
tf(x0) + tf′
(x0)(x1 − x0) + ct k x1 − x0 k
2≤ tf(x1). (3)
In the same way we change x by x2 in (2) and multiply the expression that
comes out by (1 − t),
(1 − t)f(x2) ≥ (1 − t)[f(x0) + f
′
(x0)(x2 − x0) + c k x2 − x0 k
2
],
or
(1 − t)f(x0) + (1 − t)f
′
(x0)(x2 − x0) + c(1 − t) k x2 − x0 k
2≤ (1 − t)f(x2). (4)
Now by adding up (3) and (4),
f(x0) ≤ tf(x1) + (1 − t)f(x2) − ct k x1 − x0 k
2 −c(1 − t) k x2 − x0 k
2
. (5)
But x1−x0 = x1−(tx1+(1−t)x2) = (1−t)(x1−x2) and x2−(tx1+(1−t)x2) =
t(x2 − x1). Thus, using the fact that Ω is an inner product space we have
k x1 − x0 k= (1 − t) k x1 − x2 k and k x2 − x0 k= t k x1 − x2 k .
Hence, (5) can be written as
f(tx1+(1−t)x2) ≤ tf(x1)+(1−t)f(x2)−ct(1−t)
2
k x1−x2 k
2 −c(1−t)t
2
k x1−x2 k
2
or better
f(tx1 + (1 − t)x2) ≤ tf(x1) + (1 − t)f(x2) − ct(1 − t) k x1 − x2 k
2
.
Therefore f is strongly convex with modulus c > 0.
The following result follows ideas from [2] and [7].

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

และ t → 0+,f(x) − f(x0) ≥ f′(x 0) (x − x 0) + c k k x − x 02.สำหรับตรงกันข้ามให้ x 1, x 2 Ω∈ t ∈ [0, 1] และ x 0 = tx1 + (1 − t) x 2 เป็นที่ชัดเจนที่f(x0) = f(x0) + f′(x 0) [t (x − 1 x 0) + (1 − t) (x − 2 x 0)],หรือดีกว่าf(x0) = f(x0) + tf′(x 0) (x − 1 x 0) + f (1 − t)′(x 0) (x 2 − x 0),ดังนั้นf(x0) = t[f(x0) + f′(x 0) (x 1 − x 0)] (T)[f(x0) 1 − + f′(x 0) (x 2 − x 0)]โดยสมมติฐานf(x) ≥ f(x0) + f′(x 0) (x − x 0) + c k k x − x 02, (2)ตอนนี้เราเปลี่ยน x 1 x (2) และคูณ ด้วย t นิพจน์ผลลัพธ์จะได้รับtf(x1) ≥ t[f(x0) + f′(x 0) (x − 1 x 0) + k c x 1 − x 0 k2],นั่นก็คือtf(x0) + tf′(x 0) (x − 1 x 0) ct k x 1 − x 0 + k2≤ tf(x1) (3)แบบเดียวกับ ที่เราเปลี่ยน x 2 x (2) และคูณนิพจน์ที่ออกมา ด้วย (1 − t),(1 − t)f(x2) ≥ (1 − t)[f(x0) + f′(x 0) (x − 2 x 0) + c k x 2 − x 0 k2],หรือ(1 − t)f(x0) + f (1 − t)′(x 0) (x − 2 x 0) + c (1 − t) − k x 2 x 0 k2≤ (1 − t)f(x2) (4)ขณะนี้ โดยเพิ่มขึ้น (3) และ (4),f(x0) ≤ tf(x1) + (1 − t)f(x2) − ct k x 1 − x 0 k−c (t 1 −) 2 k x 2 − x 0 k2. (5)แต่ x1−x0 = x1−(tx1+(1−t)x2) = (1−t)(x1−x2) และ x2−(tx1+(1−t)x2) =t (x − 2 x 1) ใช้ความจริงที่Ωจึงมีพื้นที่ภายในผลิตภัณฑ์ที่เรามีk x 1 − x 0 k = (1 − t) k x 1 − x 2 k และ k x 2 − x 0 k t k x 1 − x 2 = kดังนั้น, (5) สามารถเขียนเป็นf(tx1+(1−t)x2) ≤ tf(x1)+(1−t)f(x2)−ct(1−t)2k x1−x2 kT −c 2 (1−t)2k x1−x2 k2หรือดีกว่าf (tx1 (1 − t) + x 2) ≤ tf(x1) + (1 − t)f(x2) − ct (t 1 −) k x 1 − x 2 k2.ดังนั้น f เป็นอย่างยิ่งนูนกับโมดูลัส c > 0ผลลัพธ์ต่อไปนี้ตามความคิดเห็นจาก [2] และ [7]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

และให้เสื้อ→ 0
+
f (x) - f (x0) ≥ฉ
'(x0) (x - x0) + CKX - x0 k 2. สำหรับปล่อย x1 สนทนา x2, ∈Ω, เสื้อ∈ [0, 1 ] และ x0 = TX1 + (1 - t) x2 เป็นที่ชัดเจนว่าf (x0) = f (x0) + F '(x0) [t (x1 - x0) + (1 - t) (x2 - x0)] หรือดีกว่าf (x0) = f (x0) + TF '(x0) (x1 - x0) + (1 - t) ฉ' (x0) (x2 - x0) จึงf (x0) t = [f (x0) + F '(x0) (x1 - x0 )] + (1 - t) [f (x0) + F '(x0) (x2 - x0)]. โดยสมมติฐานf (x) ≥ f (x0) + F' (x0) (x - x0) + CKX - x0 k 2 (2) ตอนนี้เราเปลี่ยน x โดย x1 ใน (2) และคูณด้วยเสื้อแสดงออกผลที่จะได้รับTF (x1) เสื้อ≥ [f (x0) + F '(x0) (x1 - x0) + CK x1 - x0 k 2], ที่อยู่, TF (x0) + TF '(x0) (x1 - x0) + กะรัต k x1 - x0 k 2≤ TF (x1) (3) ในลักษณะเดียวกับที่เราเปลี่ยน x โดย x2 (2) และคูณแสดงออกที่ออกมาจาก(1 - t) (1 - t) f (x2) ≥ (1 - t) [f (x0) + F '(x0) (x2 - x0) + CK x2 - x0 k 2] หรือ(1 - t) f (x0) + (1 - t) ฉ' (x0) (x2 - x0) + C (1 - t) x2 k - x0 k 2≤ (1 - t) f (x2) (4) ตอนนี้โดยการเพิ่มขึ้น (3) และ (4), f (x0) ≤ TF (x1) + (1 - t) f (x2) - กะรัต k x1 - x0 k 2 -c (1 - t) k x2 - x0 k 2 (5) แต่ x1-X1 ความ x0 = (TX1 + (1-t) x2) = (1-t) (x1-x2) และ x2- (TX1 + (1-t) x2) = ตัน (x2 - x1) ดังนั้นการใช้ความจริงที่ว่าΩเป็นพื้นที่สินค้าภายในเราได้k x1 - x0 k = (1 - t) k x1 - x2 k และ k x2 - x0 k = tk x1 -. x2 k ดังนั้น (5) สามารถ เขียนเป็นf (TX1 + (1-t) x2) ≤ TF (x1) + (1-t) f (x2) -ct (1-t) 2 k-x1 x2 k 2 -c (1-t) ที2 k x1-x2 k 2 หรือดีกว่าf (TX1 + (1 - t) x2) ≤ TF (x1) + (1 - t) f (x2) - กะรัต (1 - t) k x1 - x2 k 2. ดังนั้นฉ เป็นอย่างยิ่งนูนกับโมดูลัค> 0 ผลต่อไปดังต่อไปนี้ความคิดจาก [2] และ [7]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

และให้ T → keyboard - key - name 0
,
f ( x ) − F ( x0 ) ≥ f

( x0 School ) ( X x0 −− x0 K ) C K x
2
.
สำหรับ X1 X2 ให้สนทนา∈Ω T ∈ [ 0 , 1 ] และ x0 = tx1 ( 1 − t . . . มันเป็นที่ชัดเจนว่า

F ( x0 ) = f ( x0 ) F

( MBC x0 ) [ T ( , 1 x0 − ( − 1 ) t ) X ( − x0 ) ] ,
หรือดีกว่า
F ( x0 ) = f ( x0 ) TF นั้น
( x0 ) ( x1 − x0 ( − 1 ) t ) f

( x0 School ) ( x2 − x0 ) ดังนั้น f (

x0 ) = t [ f ( x0 ) F

( x0 ( MBC ) x1 ( 1 −− x0 ) ] [ f ( t ) x0 ) F

( x0 School ) บริษัท เวสเทิร์น x0 X2
) ]โดยสมมุติฐาน
f ( x ) f ( ≥ x0 ) F

( x0 School ) ( X x0 −− x0 K ) C K x
2
2 )
ตอนนี้เราเปลี่ยน X X1 ใน ( 2 ) และคูณด้วยผลการแสดงออกเพื่อให้ได้
TF ( x1 ) ≥ T [ f ( x0 ) F

( x0 School ) ( X1 C K −− x0 ) x1 x0 k
2


] , นั่นคือ TF ( x0 ) TF นั้น
( x0 ) ( x1 x1 K −− x0 ) CT x0 k
2 ≤ TF ( x1 ) ( 3 )
ในทางเดียวกันเราเปลี่ยน x X2 ใน ( 2 ) และคูณที่แสดงออก
ออกมาด้วย ( T
1 − )( − 1 t ) f ( x2 ) ≥ ( 1 − f ( t ) [ x0 ) F

( x0 School ) ( X2 X2 C K −− x0 ) x0 k
2
,

( หรือ 1 − t ) f ( x0 ) ( 1 − t ) f

นั้น ( x0 ) ( X2 C ( 1 −− x0 ) T ) k X2 − x0 k
2 ≤ ( 1 − t ) f ( x2 ) ( 4 )
ตอนนี้โดยการเพิ่มขึ้น ( 3 ) และ ( 4 ) ,
F ( x0 ) ≤ TF ( x1 ) ( 1 − t ) f ( x2 ) −− x0 CT K x1 k
2 C ( 1 −−− x0 X2 t ) k k
2

( 5 )
แต่ x0 = x1 x1 −− ( tx1 ( 1 − t ) x 2 ) = ( − ( − 1 ) X1 และ X2 X2 ) − ( tx1 ( − 1 ) X2
t ( X2 ) = − 1 ) ดังนั้น